LS LOTUS

Magnus &,, à coefficients dans Z,; (anneau des entiers modp!) obtenues comme quotients de &, : Aui—=A,/p'&,. Nous avons alors le diagramme d’homomorphismes suivant :

App. <= ph... <— Ap,

qui fait apparaitre &, comme la limite projective des &,.. Plus précisément, si l’on prend sur chaque &,; la topologie associée à l’ordre, la topologie ainsi définie sur leur limite projective &, coïncide avec la topologie définie par une p-filtration séparante. Chacune des algèbres de Magnus contient une image isomorphe du groupe libre GC &,,, ainsi que de son complété G, pour la p-topologie. Les isomorphismes de ces différents groupes les uns sur les autres sont induits par les homomorphismes des algèbres &, les unes sur les autres, et il en résulte à nouveau que la limite projective &, contient G,. L’anneau des entiers p-adiques apparaît ainsi plus naturellement comme limite projective des anneaux 2».

Si G a un nombre fini de générateurs, les groupes G;/G;,, sont des groupes abéliens libres de dimensions finies d;(cf. Witt[ 33 |). Alors si (H;) est La N-suite associée à une p-filtration +, G/H; est, pour tout :, un p-groupe fini. En effet, G; CH; et une formule connue de la théorie des groupes donne, pour le calcul des indices :

(GH) = (Gi: HG) (Go HG; 0 G)... (GG 0 G;). (Gi He Gi) ; or, d’après (5.5), (GG N G;) — par), Par conséquent :

(9:12) (G:H;) = pl),

Le complété G, de G peut s'identifier à la limite projective des groupes finis G/H; (munis de la topologie discrète). Il est donc compact. Soit, d'autre part, N un sous-groupe invariant de G tel que G/N soit un p-groupe fini. Alors G/N estnilpotent ; sicest sa classe, G.,, EN. Si p' est l’ordre maximum d’un élément de G/N, 2"E€N pour tout EG; donc (5.6) G.,, 4 CN, ce qui montre que N est un sous-groupe invariant ouvert de G. Réciproquement, tout sous-groupe invariant ouvert N de G est tel que G/N soit un p-groupe fini. Si z est le nombre des générateurs de G, on peut considérer que les p-groupes finis ayant » générateurs déterminés forment une catégorie partiellement ordonnée : si les génerateurs de G,; et G sont respectivement e,, ...,e, et f1, ..., fn, on pose G,.<G s’il existe un homomorphisme, nécessairement unique, de G, sur G, appliquant /; sur e;. Nous pouvons alors prendre la limite projective de ces p-groupes finis, qui s’identifie à G,. Le groupe compact G, apparait dans la théorie de Shafarevitch [32] comme le groupe de Galois de la p-extension maximale d’un corps p-adique ne contenant pas les racines p"® de l’unité.

Les sous-groupes H; d’une N-suite obtenue à partir d’une p-filtration dans un groupe libre sont entièrement définis à partir des sous-groupes G; et de la fonction F,(6, j). Si f est un homomorphisme de G sur un groupe GC, l’image directe (/(Hi)) de la N-suite (H;) de G est une N-suite dans G, construite par le même procédé à partir des sous-groupes de la suite centrale descendante de G'et, par conséquent, ne dépend que de F,(#, j), et non pas de G ni de f. C'est ainsi, par exemple, que nous pouvons parler des groupes de dimension modp" dans un groupe G’ quelconque. Remarquons que dans le cas où G’ est un p-groupe fini, les groupes de dimension modp" se confondent avec les sous-groupes de la suite centrale descendante dès que À est suffisamment grand.

G. ALGÈBRES DE Lik RESTREINTES ET N-SUITES RESTREINTES. — Nous nous proposons d’abord d'étudier l'anneau de Lie f(G;,) associé à la N-suite (G;,) des groupes de dimension modp d’un groupe libre G (p désigne comme précédemment un nombre premier fixe). La N-suite (G;,) est obtenue par le procédé du théorème (3.2) en plongeant G dans l'algèbre de Magnus &, (à coefficients dans le corps Z, des entiers modp) filtrée par l’ordre w. L’algèbre graduée G(Œ&,), associée à l'algèbre filtrée &,, s’identifie canoniquement à l’algèbre associative libre de générateurs (&,)a contenue dans &, (et obtenue en prenant les éléments qui n’ont qu'un nombre fini de composantes homogènes non nulles). £(G:;,) s’identifie, d’après (3.2), à une sous-algèbre de Lie homogène de &,, que nous désignerons par R. R contient déjà la sous-algèbre de Lie libre L, engendrée dans &, par les générateurs (+,) qui correspondent aux classes modG, , des générateurs (1+x,) de G. Plus précisément, ce sont les classes modG;,, , des éléments z; de G; tels que #,(Gj/G:1: z:modG;,,)= 0 qui ont pour images canoniques les éléments homogènes de degré x de L; autrement dit, ces éléments z; S'écrivent dans @&, sous la forme z;:=1+7;+1,,, avec y;eL, yo et o(t1) 1 +1. Alors

k k Ca à 2 =} lp avec O(épe) pi + ir.

Il nous suffit d'appliquer (5.6) pour obtenir le :

TaéoRÈME (6.1) — Soit 1— jp", j étant premier à p. Alors les éléments homogènes de degré 1 de la sous-algèbre de Lie R de &,,, à laquelle nous avons dentifié P(Gi,n), sont les éléments de la forme :

J'iph + Vhpha + es + 7n + 72", où y désigne un élément homogène de degré jp' appartenant à L, sous-algèbre de Lie engendrée par les générateurs (æ,),a dans &,.

Le fait que R soit une sous-algèbre de Lie dans un algèbre associative libre sur Z, nous conduit à retrouver les propriétés fondamentales des algèbres de

Lie retreintes sur un corps de caractéristiques p, dont la théorie est due à N. Jacobson [11]. Supposons pour simplifier que les générateurs (x,) soient au nombre de deux, notés x et y. Alors, puisque p +1 n’est pas divisible par p et que x, Y’]ER, nous devons avoir [x, y’|eL. [æ, y? | est homogène de degré 1 par rapport à æ et de degré p par rapport à y; il ne peut donc être égal qu’à L...[[æ, y, y} 27], multiplié par un scalaire dont on vérifie immédiatement

p fois qu'il est égal à 1. Si «dy désigne l’endomorphisme défini par x = [x, y], nous avons : :

(6.2) ad(37) = (ad y},

résultat valable dans toute algèbre associative sur un corps de caractéristique p, et d'ailleurs aisé à vérifier directement.

Considérons maintenant x’ + y” ER. D’après (6.1), il existe « et 5€Z,, tels que æ/+ y?—(ax+fBy}eL. En égalant les coefficients de x” et de y?, on obtient immédiatement x = G— 1. Ainsi :

| (6.3) /dentité de Jacobson | 10] :

GLEN) = ARE PE À (0): où A,(x,y)eL.

A,(æ, y) est un élément de l'algèbre de Lie de générateurs x et y à coefficients dans Z,. On peut donc calculer A,(x, y) dans toute algèbre de Lie sur un corps de caractéristique p. L'identité (6.3) est ainsi valable dans toute algèbre associative sur un corps de caractéristique p. (Pour un calcul plus explicite de A, (x, y), d’après un procédé de E. Artn, cf. Zassenhaus [35 |).

A cette identité de Jacobson correspond dans un groupe une identité de P. Hall: soit G le groupe libre engendré par x et y. Alors d’après (5.6)x?/»7eG,,, ce qui implique :

(6.4) HPIFRÉEURY RAP, RE, où z€G:; Co p),

Une algèbre de Lie restreinte f sur un corps Æ de caractéristique p est, par définition, une algèbre de Lie telle qu’à tout élément xef se trouve associé un élément 47 ef, pour lequel ad(x”)—(adx}). Cette conditition détermine univoquement x” si le centre de £ est réduit à (o); sinon x” est seulement déterminé modulo le centre. Nous exigerons donc de plus que (Ax}= Val pour À€EÉ, et que

(x+y)}=xE+ yE+ A,(z, y);

x! est alors déterminé pour tout x € £ dès qu'il est connu pour les éléments d’une base de £ sur 4. Réciproquement, la donnée d’éléments e? tels que

ad(el) — (ade,},

où e, parcourt les éléments d’une base de © sur # détermine bien une structure d’algèbre de Lie restreinte sur #.

ont

Une représentation linéaire restreinte f d’une algèbre de Lie restreinte dans une algèbre associative A devra vérifier, en plus des conditions générales d’une représentation linéaire, f(x” = On en déduit la notion d’algèbre enveloppante restreinte universelle d’une algèbre de Lie restreinte, et la construction d’une base de cette algèbre [11]. Comme dans le cas des algèbres de Lie ordinaires, on démontre que la sous-algèbre de Lie restreinte engendrée par les générateurs d’une algèbre associative libre est libre (cf. $ 4). Nous pouvons donc énoncer le :

Taéorëme (6.5). — L'algèbre de Lie P(G;,) assocrée à la N-sutte des groupes de dimension modp d'un groupe libre G de générateur (x.),a est l'algèbre de Lre restreinte libre à coefficients entiers modp ayant pour générateurs les classes

des (æ,) mod G ,.

Définition. — Nous appellerons N-suite restreinte dans un groupe G& une N-suite (H;) telle que, pour tout xeH;, x’EH;, (p désignant toujours le même nombre premier fixe).

Nous montrerons quesi (H;) est une N-suite restreinte, (H;) est, canoniquement, une algèbre de Lie restreinte sur Z, [il est évident que £(H;) est une algèbre sur Z,, puisque tout élément non nul de H;H;,, est d'ordre p|. Démontrons d’abord un résultat qui précise (3.2).

Taéorbme (6.6). — Soient À une algèbre associative sur le corps Z, des entiers modp possédant une unité notée 1 et munie d'une filtration +: G un groupe, f un homomorphisme de G dans le groupe multiplicatif des éléments inversibles de À, tel que e(/(æ) — 1) 1 pour tout x EG. Alors la N-suite (H;), définie en posant æEH; st et seulement si e( f(æ) — 1) 1, est une N-suite restreinte. Si Z; désigne généralement la classe modH;,, de x; EM, la correspondance #;- ?! — x est bien déterminée, et définit sur f(M;) une structure d'algèbre de Lie restreinte sur Z,.

L'isomorphisme canonique de P(H;) dans G(A) est en méme temps une représenlation restreinte.

Démonstration. — Soit x;eH;; alors e( (ai) — 1) D z. Mais

PCF) 1) = (fr 1) = 0 (fe) 1 Y) ip.

Donc x/ell;, et (H;) est une N-suite restreinte. Soit de plus 4,€H;,; æ;— #! équivaut à e{ /(æ:) — /(x,)) ti +1. Dans ce cas,

JC) — fe) = (en — (fe) = (fe) + (Je) — fe) (fx) Y et, par conséquent, v(f(a?) — f(er)) D ip +7,

rare

ce qui signifie que 4? —4Ÿ, en considérant +? et x” comme des éléments de H;,. L'application #;-> 2? — &! est donc bien déterminée, et, en appelant ç l’isomorphisme canonique de F(H,;) dans G(A), le calcul précédent montre que o(&?) — (o(&)). Ainsi æ? définit sur f(H;) une structure d’algèebre de Lie restreinte sur Z,; on doit étendre la définition de æ/ aux éléments non homogènes

au moyen de (my) = REIN, Ce,

Toute N-suite restreinte ainsi obtenue à partir d’un homomorphisme de G dans une Z,-algèbre associative À peut aussi s’obtenir en prenant sur l'algèbre Z,(G) du groupe G à coefficient dans Z, l’image réciproque de la filtration de A par l’homomorphisme associé de Z,(G) dans A. Nous allons établir la réciproque de (6.6), c’est-à-dire :

Taéorëme (6.9). — Toute N-suite restreinte de G peut étre obtenue par le procédé du théorème (6.6) à partir d’une filtration convenable de Z,(G). D'où en appliquant (6.6), le :

CoROLLAIRE (6.8). — Sr (H;) est une N-suite restreinte dans le groupe G, fP(H;) est, canoniquement, une algèbre de Lxe restreinte sur L, avec &° = x?.

Démonstration. — Soit G un groupe, (H;) une N-suite restreinte dans G. Nous avons seulement à démontrer (6.7) dans le cas où (H;) est séparante : il nous suffira ensuite de prendre l’image réciproque dans Z,(G) d’une filtration

convenable de Z,(G/H), où H= (Nu; par l’homomorphisme canonique

de Z,(G) sur Z,(G/H). Supposons donc M E= 0). Pour tout xeG, nous

définirons æ#(æx) pare, et, Ainsi 1Z#(æ)<{c, sauf si æ—=1. Nous cherchons une filtration sur Z,(G) telle que e(æ—1)—=#(x) pour tout xeG. Or, dans l'algèbre A —Z,(G), les sous-modules A; constitués par les sommes d'élément de la forme (z,—1)(z; —1)...(z,—1), où z;eûG et 2, æ(z;) 1 définissent une filtration 6 (il est évident que A;A;CA:,;), et e(æ— 1) 4 (x) pour x € G. Si’ est une filtration de À vérifiant #’(æ—1)=#(x) pour tout æeG, on a #'(y)==e(y) pour tout yE A. Nous sommes donc ramené à démontrer que e(x—1)=#(x) pour tout reG.

Choisissons une famille (x,) d'éléments de G, où : parcourt l’ensemble bien ordonné I, possédant les propriétés suivantes : si æ(æ,) <æ(æ,), on at <CX; les classes modH;,, des x, tels que w(x,)— 1 forment une base du Z,-module H;/H;., pour tout entier 11. Pour construire une telle famille, 1l suffit de prendre, pour chaque , une famille de représentants d’une base bien ordonnée de HyH;,,, et d’ordonner leur réunion en accord avec la première condition.