ROSE
Or, ilest bien connu que (0) )=k sm (r). Posons doncr—p's, avec(s, p)}—1 ;
ainsi À —#,(r). Alors F(ir, æ,((5))) = F,(ip's, k;— h). Mais, sis 1; F,(ipis, k— R)2 FF, (ip, ki h) + iph(s —1)2F,(ipt, k— h) +1.
Cela montre qu'il suffit de donner à r les valeurs p'(o<hZ4k;), et nous obtenons :
p(3r*— 1) — his EGP EE h),
0LhZR; LE s k:
o(a? ir Xi, (21) = Se p(z! ALES 1) DUT, Soit maintenant z— Il; ,2/ ‘comme en (5.3). Nous savons (3.2) que
k> À ML p(z—1)> Inf pari) Inf F, (ip, ki h) = c.
TEL PAEHEA PAT
Montrons que l’on a précisément P(2—1)—c. Pour simplifier, le signe = indiquera dans les lignes suivantes une congruence modulo l’idéal constitué par les éléments de &, dont la filtration est au moins égale à cr. Alors :
20° — 1 + X ÆOZAZRk; (ri): yl° et RME MAIS - (3 Le
0Zh
Il existe, d’après la définition de c, un couple d’entiers mn et n, tels que
POP) = CO Ne et ONE re
D'après (5.1), on ne peut avoir e(z—1) > c que si la composante homogène de degré mp" de z est de filtration >> c. Cela se traduit par :
k, ne Zip mp" ( D) vk = 0; 0LAZRk;
et, pour montrer l'impossibilité de cette relation, il suffit d'établir que :
Caine) = nt (A) Ch
Remarquons que les éléments y; qui apparaissent dans le produit IL (1 + yi+ Ve peuvent, éventuellement, ne pas figurer parmi les éléments d’une même base du groupe abélien libre L. Par contre, la condition w,(L; y;)—0, pour tout #, montre que les y; peuvent figurer parmi les éléments d’une même base, sur l’anneau des entiers p-adiques, de l'algèbre de Lie L, (complétée de L pour la filtration ,) engendrée dans &, par ses générateurs (æ,). Mais nous avons vu que la sous- bre de &, engendrée par les (x,) (dont &, est la complétée pour la filtration ©) est une do enveloppante A de Le Cela implique, comme nous l’avons PL au paragraphe 4, que toutes les puissances entières > o des y; peuvent figurer parmi les éléments d’une même base de cette sous-algèbre sur l'anneau des entiers p-adiques. La relation que
OS
nous cherchons à établir en résulte immédiatement. Nous avons donc achevé la démonstration du :
; TE 5 k, Tnéorème (5.4). — Sie est une filtration de &,, vérifiant (5.1), et sl; est une représentation conune produit de 3€ G vérifiant les conditions de (5:33, alors 6(z—1)=1UnfF,(ip", ki — h), la borne inférieure étant prise pour tous les
couples d'entiers t, h tels que 1<1et0<hZ.
Il est évident que n'importe quelle représentation de z comme produit doit conduire à la même valeur de (3 — 1). La borne inférieure figurant dans (5.4) est donc un invariant de toutes les suites (4Æ;) apparaissant dans les représentations d’un même z€G.
Nous pouvons maintenant déterminer les sous-groupes de la N-suite (H;,) de G associée à la filtration 6 d’après (3.2). Par définition, 2€H;, équivaut à e(3—1) 1, ou encore (5.4):
F, (Jp, k—R)>t POUTENTESJ NN OR er
si z=Il;,3" est une représentation quelconque de 3 comme en (5.3). Pour? et y fixes, désignons par D,(7, j) le plus petit entier # tel que F,(7p", &k— h)=xt pour tout À tel que o<h2Zk, ou bien le symbole æ si de tels entiers n'existent pas. Nous pouvons alors énoncer le :
FHéorène (5.5). — Le 1°" sous-groupe H;, de la N-suite de G associée à la filtration + vérifiant (5.1) est de la forme :
Te TES D(é.j) Hi, TIe, Gr, AR 3 P,(à,j) £ è .
Autrement dit si le produit z =} , 2; appartient à Get st chaque :;,€G; alors ; EP ; s = 3€ H;,; réciproquement, st W?,2} "est une représentation de 3 EM, vérifiant les conditions de (5.3), k; > @®,(4, j) pour tout j.
Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les « groupes de dimension modulo p” » d'un groupe libre, définis à partir de l'algèbre de Magnus Ar à coefficients dans l'anneau Z,; des entiers modp”. Il revient au même d'introduire dans @, la filtration définie par F;(, = sij>hetF;(, jj—isio “j<h—x, car le quotient de &, par l’ensemble de ses éléments de filtration æ s’identifie alors à &s. Un calcul très simple nous montre que
Inf Pa (pr, K—r)=i SIN
{ ou bien
Inf F3 (2p7,, k —r) = pli) SE Lr£Rk A
Nous pouvons écrire dans les deux cas :
