VAN
Nous supposons désormais que la N-suite restreinte (H;) est finie, c'est-à-dire que H,—(1) pour un certain entier n. Alors tout élément z de G s'écrit, d’une manière et d’une seule, sous la forme
D — CRETE NL avec UT les CNPSEURO ESA p, 1 A(pour AG).
ve
La démonstration procède par récurrence modG; [cf. (5.3)]. Nous écrivons z—Il,x*, où tous les , sont nuls, sauf pour t=1,, :.., 1, et où 0h," p—1. Les facteurs sont ordonnés dans l’ordre croissant, de gauche à droite. Montrons qu’une base de A sur Z, est constituée par les éléments IL(x,—1}", où les familles d'exposants (4), sont caractérisées par 0 <h,-<p—1 pour tout: et ,— o sauf pour un nombre fini d'indices t. En écrivant
h PA (i + (A — 1) = D CES à
et en remplaçant chaque x par son développement dans le produit z —ILx", nous voyons que tout 2€ G est une combinaison linéaire des IL(æ,— 1)* qui engendrent donc A. D'autre part, Ë,,4,,1L.(x,— 1)" (où tous les 4, sont nuls sauf un nombre fini) ne peut être nul que si les coefficients 4,, eZ, sont nuls. En effet, ordonnons lexicographiquement les familles (4,), c’est-à-dire, posons (h,) <C(&,) s'il existe AE tel que À.—4, pour: << X, et h;, <[k,. Alors, parmi les familles (2,) telles que 4,,3< 0, il existe un maximum, soit (4), et l’on voit que, rapportée à la base de A constituée par les éléments de G, la composante de 2,4, (x,— 1)" suivant ILxf est a,,< 0.
Convenons d’appeler «représentation » de y € A une égalité de la forme
où Z est le symbole d’une sommation finie, et où tous les z, appartiennent à G; la «filtration apparente» de cette représentation sera, par définition, le nombre Inf(>., æ(3,)), la borne inférieure étant prise pour tous les termes de la somme. Alors, si nous supposons #(y) 1, (y) est égal à la borne supérieure des filtrations apparentes de toutes les représentations de y. Si nous exprimons y comme une combinaison linéaire des éléments basiques I(x,—1}*, nous obtenons une représentation de y que nous appellerons représentation réduite. Nous allons montrer que e(y) coïncide avec la filtration apparente de la représentation réduite de y. Il en résultera bien 4(z)— 6(2— 1) pour tout 2€G: si, en effet, z—Ilx", il existe au moins un t, soit À tel que ko et que æ(æ,)=#(32). Or la représentation réduite de z contient le terme h,(x, — 1) et, par conséquent
p(z —1)2Zw(s), donc P(3—1) —=w(2).
Nous voulons montrer qu'on peut passer d’une représentation quelconque à
la représentation réduite sans diminuer la filtration apparente. Supposons ce résultat vrai pour toutes les représentations X(TI(z—1)) où tous les 3€G qui
apparaissent explicitement, sont contenus dans H;,,. Nous allons le démontrer en remplaçant H;,, par H; [notre hypothèse de récurrence est vérifiée pour 1+i—n, puisque H;—(1)]. Si la proposition était fausse, il existerait un produit (z,—1)...(3,—1), où w(3,)=1(1<sCr), dont la filtration apparente diminuerait quand on passe à sa représentation réduite. Si nous remplaçons chaque facteur (3 — 1) pour lequel (2) — x par sa représentation réduite, nous voyons qu'on pourrait trouver un produit de la forme
Pete te eue
où les P, représentent des produits (éventuellement vides) de facteurs (z—1), avec 2€H;,4, w(x,,)=1 pour 1:<s-Zk, la filtration apparente du produit étant strictement supérieure à celle de sa représentation réduite. Raisonnons maintenant par récurrence sur # (pour # = o la proposition est vraie par l’hypothèse de récurrence précédente). Montrons d’abord qu’il est possible de se ramener à un produit de la forme (æx,—1)...(x,—1) P, où P désigne un produit de (3—1), avec z€H;,,. Il suffira pour cela d'appliquer un certain nombre de fois l'identité :
(3 —1)(x —1)= (x —1) (2 tax — 1) + (a taxz !—1) (x — 1) + (x zxz 1 — 1), en tenant compte des relations (x ar) = (2); m(xTlzxz l— 1) w(z) + mx), et de l'hypothèse de récurrence sur #. Ensuite, nous passerons à un produit de la forme (æ,—1)...(æ&,—1) P', où les facteurs (x, —1) sont les facteurs (x, —1) précédents, rangés dans l’ordre croissant de leurs indices, et où P' est un
produit de (z—1) avec z€H;,,. Il suffira pour cela d'appliquer un certain nombre de fois l'identité
(Go—1)(—1) = (di — 1) (Ze —1)
+ ((ai— 1) (a 1) + (ti — 1) + (do — 1) + Mec L> Li — 1).
Nous parvenons donc à un produit de la forme (æy—1)"*...(æy,—1)"P", où Za,— #, et où P” désigne un produit de facteurs (z—1), avec 2€H;,1. Si tous les a,(1.<s.<r) sont inférieurs à p, 1l suffit de réduire P”' pour parvenir à la représentation réduite du produit sans abaisser la filtration apparente. Sinon, il existe un indice stel que &,=p. Nous pouvons alors remplacer (æ,;—1)* par (æi,—1)*7(x— 1), ce qui diminue de p le nombre de facteurs (æ,— 1) sans abaisser la filtration apparente, puisque (x!) > p;[ c'est ici qu'apparait essentiellement la condition que (H;) est une N-suite restreinte |. Nous avons donc achevé la démonstration de la récurrence sur #3; 1l en résulte la démonstration de la récurrence sur c, et la proposition est démontrée pour les N-suites finies. Remarquons que + est une filtration séparante sur À — Z,(G), mais que À ne peut être complet pour la topologie associée que si G est fini : en effet,
THÈSE M. LAZARD. 3
