ER A

les éléments du complété A de À s’identifient canoniquement aux séries Dan l(æ,— 1)" qui convergent formellement (c’est-à-dire qui n’ont qu'un nombre fini de termes de filtration <# pour tout entier Æ).

Soit maintenant G un groupe, (H;) une N-suite restreinte séparante dans G. Nous introduisons dans À —7Z,(G) la filtration e précédemment définie et la topologie associée. Montrons d’abord que sest séparante. Pour cela, considérons les groupes G/H, munis des N-suites restreintes finies (H;/H,),:,, leurs algèbres A,— Z,(G/H,) munies des filtrations v, définies à partir de ces N-suites, et enfin les homomorphismes canoniques ©, de A sur AÀ,. On établit sans peine que En(on(y)) > e(y) pour tout yE A! considérer une représentation de y dont la filtration apparente est e(y}]. Si yo, il existe un entier » pour lequel o,(y)Æ 0; en effet, si y—X,a;z;, 3€ G, il existe un indice » pour lequel tous les z; sont distincts modulo H,, ce qui entraine o,(y)<o. Alors On (Pn(y)) Lo et, a fortiori, (y) est fini. Considérons dans A les éléments IL (x,— 1)* où les familles (k),a vérifient les conditions précédentes : tous les L, sont compris entre o et (p—1) inclus, et sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. Ces éléments sont encore linéairement indépendants (mème démonstration). Soit zE&G; on peut écrire, d’une seule manière, z—Il,x;", où oZu,-<(p—1) pour tout EI, et où les z, non nuls tels que w(x,) Z# sont en nombre fini pour tout entier k. Le produit Il,x* converge dans G pour la (H;)-topologie, ainsi que dans l’algèbre A pour la topologie associée à 6. Ilen résulte que tout élément de G, donc de A, peut être représenté, par une série convergente =, ap, 1L(æx,— 1)", où a,,€Z, : il suffit de remplacer, dans IL.æ“, chaque x: par son développement (1+(a— 1)) . Si Zap, IL(æ,— 1)" converge dans À vers y, e(y)= Inf(2, œ(A)), la borne inférieure étant prise pour toutes les suites (,) telles que 4,,< 0. Posons, en effet,

Ge Inf(3. (2) fu); alor pre ec

Mais, d'après l'étude faite dans le cas des N-suites finies, nous pouvons choisir assez grand pour que En (Pn(Y)) — cAlOrs

és e. (on (»)) era d’où PL.

Comme précédemment, nous en déduisons que 6(z— 1) = (2) pour 2€ G, ce qui achève la démonstration de (6.7).

La topologie induite sur G par la topologie de A est sa (H;)-topologie. Il en

résulte que le complété À de A contient canoniquement le complété G de G. Montrons que À contient l'algèbre Z,(G), c’est-à-dire que les éléments de G sont linéairement indépendants dans A. En effet, l’homomorphisme canonique Pn de Z,(G)—A sur Z,(G/H,) se prolonge en un homomorphisme o, de Z,(G)—A sur Z,(G/H,). Alors, sizeG, 7€G,z::'eH,,ona On(3) AR ML er AS

est combinaison linéaire finie d'éléments de G à coefficients non nuls dans Z,, on peut trouver un entier x et des éléments z, de G tels que

tell. eUev) TH, (DOUR EE ST Se

Alors

PA(2@szs) —— 2œ, Pn(&n) — 24; Dn(3,) = 0;

ainsi Ÿ&,:,<0, ce qui montre que les éléments de G sont linéairement indé-

pendants dans A. Nous pouvons donc préciser le théorème (6.3) :

TaéorëME (6.0). — Soit, dans le groupe G, une N-suite restreinte séparante (M). Définissons la fonction (y) dans Z,(G) comme la borne inférieure des (y), où #' parcourt toutes les filtrations de Z,(G) telles que #'(3—1) 1 s 3e, Alors 6 est une filtration séparante dans Z,(G), 2€ Hi; st et seulement si e(2— 1) 2

(en supposant 2€ G), et le complété Z,(G) de Z,(G) pour la topologie associée à +

contient canoniquement Z A G), e désignant le complété de G pour la (M;)-topologie.

Parmi les N-suites restreintes d’un groupe quelconque G, celle constituée par les groupes de dimension modulo p, (G;,), est celle qui « décroit le plus vite» : si (H;) est une N-suite restreinte, H;3 G;, pour tout z | d’après (5.6) et la définition des N-suites restreintes |. L’algèbre f(G;,)est, en tant qu’algèbre de Lie restreinte, engendrée par ses éléments de degré 1 et l’on peut sans difficulté démontrer une réciproque analogue au théorème (2.5). La N-suite (G:») peut être obtenue au moyen de la filtration 6 du théorème (6.8) sur l'algèbre Z,(G); # est dans ce cas la borne inférieure des filtrations v’ telles que #(z— 1) 1 pour tout ze G [ce résultat est exact même si (G;,) n'est pas séparante |. Nous pouvons donc énoncer :

Tuéorëme (6.10). — On obtient les groupes de dimension modulo p d’un groupe quelconque G en filtrant l'algèbre Z,(G) par les puissances de l’idéal engendré dans Z,(G) par les éléments 3 — 1, où :eû.

Dans le cas où G estun p-groupe fini, ce théorème est dû à S. A. Jennings[12]. Nous allons en faire usage pour étudier la structure des algèbres de Magnus.

Considérons le groupe libre G& de générateurs (e,),e. Nous introduisons sur Z,(G) la filtration v associée, comme en (6.9) aux groupes de dimension modp, (G;,). Nous allons montrer que l'algèbre complétée Z,(G) s’identifie canoniquement à l'algèbre de Magnus de générateurs (e,— 1), et à coefficients dans Z,. Considérons, en effet, l'algèbre de Magnus &, à coefficients dans Z,, de générateurs (æ,),e, (en correspondance biunivoque avec les générateurs e, de G). L'isomorphisme canonique de G dans &, se prolonge en un homomorphisme d de Z,(G) dans &,, avec d(e,) = 1+ 2x, pour tout YEN. D'autre part, © désignant comme précédemment l’ordre dans &,, w(L(y)) SD e(y)pour

Re e

tout yeZ,(G), puisque w(L(y)) définit sur z,(G) une filtration à laquelle est associée, par définition, la N-suite (G;,,)[th. (6.9)]. Désignons par G, le semigroupe multiplicatif engendré par les (e,) et l'unité dans G. Nous pouvons identifier l’algèbre Z,(G,) à une sous-algèbre de Z,(G) : Z,(G)EZ,(G). La restriction de Ÿ à Z,(G,) est un isomorphisme, puisque U(Z,(Go)) est la sousalgèbre avec unité engendrée par les (æ,) dans @,, qui est libre par définition. Mais © est évidemment la plus petite filtration de Ÿ(Z,(G.)) pour laquelle w(x,)=>1 pour tout YEN. Donc, pour tout yEZ,(G),

o(p(y)) Le») et ainsi w(g(y )}=» (y).

Remarquons que Z,(G,) est dense dans Z,(G), ce qui résulte, par exemple,

des relations lime”*—e;" dans Z,(G). La complétée Z,(G,) s’identifie donc TS a

à Z,(G). Alors l’isomorphisme de Z,(G,), qui transforme la filtration + en la filtration w, se prolonge canoniquement en un isomorphisme Ÿ des algèbres complétées (4 :Z,(G)—=Z,(G) + &,); Ÿ coïncide évidemment avec d sur Z,(G). Nous avons donc identifié Z,(G) et &,, avec correspondance des filtrations + et w. Nous allons en déduire le :

Taéorëme (6.11). — St l’on considère le groupe libre G et son complété G,, pour sa p-topologie plongés canoniquement dans les anneaux de Magnus &; et &, à coefficients entiers modp" (resp. entiers p-adiques), l'algèbre du groupe G, à coefficients entiers modp”* (resp. entiers p-adiques) est représentée fidèlement dans À; (resp. &, ).

CoroLLame (6.12). — L'algèbre Z(G) du groupe G complété de G pour la topologie associée à sa suite centrale descendante est représentée fidèlement dans l'anneau de Magnus correspondant &, à coefficients entiers rationnels.

Démonstration. — Nous venons d'établir (6.11) pour le cas où A —1. Soit ARCS OÙ 2€, dE AO, Zs EG,

les z, étant tous distincts (14Zs2Zr). Si £— Inf w,(a,), ona