L'SENT

ok LRh—1 et Hs — HER

les &, n'étant pas tous nuls modp. L'image de z'= X", & 3, par l'homomorphisme canonique de &,; sur &, n’est pas nulle, ce qui peut s'énoncer : æ,(z')— 0, et par conséquent #,(3)—#<œ, donc 3<0, c'est-à-dire (6.11). La mème démonstration reste valable pour l'algèbre de Magnus &,

Les sous-groupes G; de la suite ENT eat de G sont fermés pour

la p-topologie de G [ef. (5.6)], ce qui permet d'identifier G à un sous-groupe

re.

de G,. Des identifications canoniques évidentes montrent qu'une relation de dépendance linéaire entre éléments de G dans & aurait pour conséquence une

relation de dépendance linéaire entre éléments de G, dans &,, contrairement à (6.11), d’où (6.12). Si l’on se restreint aux éléments de G, on voit que Z(G) est plongé canoniquement dans &, ce qui constitue le «théorème d’unicité pour les développements en séries de puissances » de R. H. Fox [5].

Le théorème (6.11) peut être précisé en considérant certaines bases dans &h et dans &y. Reprenons les notations introduites dans la démonstration de (6.7) : G désigne maintenant

un groupe libre, (H;) = (G;,) ses groupes de dimension modp; Z,(G) s'identifie, comme nous l'avons vu, à @,. Les éléments basiques IE (x,— 1) peuvent être considérés dans toutes les algèbres de Magnus &,x et dans &$. Démontrons que les séries À; 47, (æ,— 1) convergent dans @;» et en représentent univoquement tous les éléments si les conditions suivantes sont bien remplies : 4,,€Z,» pour toute suite (h,) et les 4, non nuls tels que E,h, w(x,) Z k sont en nombre fini pour tout entier k. Établissons d’abord la convergence; nous désignons par &w,» l'ordre dans &,r. Montrons que les coefficients 44, non nuls

pour lesquels Ok (IE, (2 — 1)4) ZZ k sont en nombre fini pour tout entier k. Nous n’avons à

considérer que les familles (2,) pour lesquelles 2,2,-Z£k | puisque w,5(3 —1) 1 pour tout z€G], et nous avons, par hypothèse,

Zh w(&x) = Kk(k +1) pt

pour tous les 4,,<0, à lexception d’un nombre fini entre eux. Mais Z,h,k et 2h w(x,) > K(k + 1) pit impliquent qu'il existe au moins un x, avec ho et mL) (k +) pt. Alors x,€ Gixsipr-1p € Gxra,pa | d'après (5.7)|, et wa —1) = (K +1). A fortiori ok (IL (2, — 1)) D k+ 1. La convergence des séries étudiées est donc établie. Le fait qu’une série 2; ,@7,1L(x,— 1) ne peut être nulle que si tous les 4, sont nuls s'établit en posant

k= Infz, (any); ar = Pa

et en utilisant l'homomorphisme canonique de & sur &,, comme dans la démonstration de (6.11). Enfin, tout y € &,x peut être mis sous la forme Ë,,44 (a, — 1)" toujours l’homomorphisme de &,x sur &,, nous construisons une série y, du type considéré,

: en appliquant

qui approche ymodp, puis nous commençons la construction pour 7 ex tel que Y—=Ys+ py, .... Finalement, nous obtenons y sous la forme yi+ py:+...+plty,, les y, étant des séries du type considéré. =

Si nous considérons &ÿ comime la limite projective des algèbres de Magnus &,» avec, bien entendu, la topologie correspondante, les résultats précédents restent valables, à ceci près qu'il est nécessaire, pour obtenir tous les éléments de &, de remplacer la condition «les 4, non nuls tels que Z,A, w(x,) << k sont en nombre fini pour tout entier Æ» par la condition moins forte «les 4, non nuls tels que Zh, w(x,)2Zket w,(4»,)-<k sont en nombre fini pour tout entier £». Nous pouvons unifier ces énoncés en exigeant seulement que les séries convergent dans l’algèbre considérée.

Si nous étions partis d'une N-suite restreinte séparante de G distincte de (G;,), ces derniers résultats resteraient valables. Mais l’isomorphisme entre Z,(G) filtré à partir de la N-suite considérée (6.8) et &, n’identifierait plus les filtrations.

Déterminons maintenant les anneaux de Lie f(G,,) associés aux groupes de

dimension modp" d’un groupe libre G(=>1). Ge sont des algèbres de Lie graduées sur Z,, qui peuvent être plongées canoniquement dans l'algebre associative libre contenue dans l'algèbre de Magnus &,; (dont les générateurs sont en correspondance biunivoque avec ceux de G). Comme au début de ce paragraphe, nous désignons par L la sous-algèbre de Lie libre contenue dans &,;, et par R la sous-algèbre de Lie de &,, identifiée à f(G,). Alors LER et la forme générale d’un élément de degré p" [où (y, p) = 1]de R est :

RP NE (6.13) Viet Ph pirate pipe",

où y; désigne généralement un élément homogène de degré # de L. Il suffit, en effet, de reprendre le raisonnement qui nous à conduit à (6.1), en remplaçant l'identité BP AIAEET ee 2 750 (modp) par lPidentité 272 NE EE AN x (mod p!).

Nous sommes conduits à considérer R comme une algèbre de Lie « restreinte » sur l'anneau Z,, où l'opération æ + x? vérifiant(adæ)? = (ad(x!)) n’est définie que pour les éléments x tels que px — 0; ces éléments constituent évidemment un idéal, dans lequel l'identité de Jacobson (6.3) s'applique. Avec la définition des Z,;-algèbres de Lie restreintes qui se présente ainsi naturellement, F(G,) est caractérisé comme une Z,,-algèbre de Lie restreinte libre.

Indiquons enfin la structure de l’anneau de Lie F(H;), où (H;) est la N-suite déterminée dans le groupe libre plongé dans &, par la filtration 6 —w+#%,(5.8). P(H;) s’identifie à une sous-algèbre de Lie G(&, ), algèbre associative graduée associée à l'algèbre de Magnus &, filtrée par +. Pour tout entier £ 0, la composante homogène de degré # de G(@&, ) s’identifie canoniquement à la somme directe des composantes homogènes de degré Z# de &, (ou de &, réduit modp) : un élément ye &, tel que e(y) == #4 possède une décomposition homogène de la forme

Y =PEVo+ PEN Yi+s + Yr+..:,

et nous lui faisons correspondre y, + y; +...+ 7, les composantes y! étant les images des y; par l'homomorphisme canonique de &, sur &,. G(&, ) se trouve ainsi naturellement bigradué. Cette identification de G(&,,) permet, en utilisant (5.8), de déterminer la structure de P(H;) : la composante homogène de degré j de f(H;) est canoniquement isomorphe à la somme des composantes homogènes de degré j d’une algèbre de Lie libre sur Z, dont les générateurs sont en correspondance biunivoque avec ceux de G. Plus précisément, si p est un nombre premier impair, G Le groupe libre de générateurs (te, L l'algèbre de Lie libre (non restreinte) de générateurs (y.).a sur Z,. (H;) la N-suite de G définie par (5.8), et pour tout entier 5 ==1,, L; le sous-module de L constitué

par les éléments dont les composantes homogènes de degré >> r sont nulles, nous pouvons, d’une seule manière, définir des applications ©; de H; dans L(t=1,2,...) vérifiant les conditions suivantes : si x:€H;, o;(x:) ne dépend que de la classe de æ;modH;,,, et définit ainsi une application déterminée 9; de H;/H;,, dans L; à; est un isomorphisme de H;/H;,, sur L;; six:eH;, x;eH,,

qiry((æ æ;)) = (qe), g(æ;)|:

si x; EH;, x eH;,, et Dri) = OLA (x); enfin @,(æ)=7y, pour tout :El. Ce résultat doit être légèrement modifié pour p = 2.

7. LES GROUPES DE DIMENSION MODULO n. — Si n est un entier ==2 quelconque, on obtient la N-suite (G;,) des groupes de dimension modulo x du groupe libre G en considérant l’algèbre de Magnus correspondante &, à coefficients dans l’anneau Z, des entiers modulo ». Nous pouvons aussi considérer l'algèbre de Magnus & à coefficients entiers rationnels, et définir (G;,) à partir de la filtration #,, image réciproque de l’ordre w, par l’homomorphisme canonique de & sur &,. Si z —p#...p} est la décomposition de x en facteurs premiers distincts, v,(y)= Infes.(y), pour tout ye& (cela résulte du fait qu'un

1£SZ£r entier est divisible par n si et seulement s’il est divisible par tous les p“). Nous en déduisons immédiatement :

(7.1) Gi,n = M Gps

AE à ce qui ramène l'étude de la N-suite (G;,) aux suites (G;,," )déjà étudiées. Nous pouvons indiquer la forme générale des éléments de G;, en modifiant légèrement la représentation des éléments de G donnée par le lemme (5.3) :

Lemme (7.2). — Tout élément Z de G peut être réprésenté par un produit

| convergeant au sens de la topologie associée à la suite centrale descendante (G:;)]

z— 3Mz®.. .3ù,.., tel que, pour tout 1, 3:€G:; et que : ou bien z;—=1, ou bien 1 2 i 1 q ) P ? ?

la classe 3; de 3; modG:;,, puisse figurer parmu les éléments d’une base du groupe

abélien libre G;/Gi,1.

Cette dernière condition est équivalente à w,(3;) = 0 dans GjG;,, pour tout nombre premier p. Les éléments z; et leurs exposant#k; sont choisis successivement comme dans la démonstration de (5.3). Alors :

Taéorème (7.3). — Si z—Il;3" comme en (7.2), 3EG,, st et seulement SO D RE M DOUPIOULTESDCUIQUISE SET):

Il suffit, en effet, d'appliquer (7.1) et (5.7) en remarquant que, si lon

mue

pose z= 7", 2 TI;7 "est une représentation de z vérifiant les conditions de (5.3).

Nous pourrions de même généraliserles p-filtrations ($5) en considérant les filtrations de & qui ne dépendent que des propriétés de divisibilité des composantes homogènes.

La topologie de G définie par la N-suite (G;,) est la moins fine parmi les topologies de G plus fines que toutes les p,-topologies(1.<s<r).Remarquons que les diverses p-topologies du groupe G sont indépendantes, comme le sont les diverses valuations d’un corps. Plus précisément :

Taéorkme (7.4). — Soient p,(1.<s<r) des nombres premiers disuncts, H, des voisinages de l'unité dans G, pour les p,-topologies respectives, z, des éléments quelconques de G. Il existe alors 3€ G tel que z,3" EH, pour 1 sr.

Nous pouvons, en effet, supposer que les parties H, sont des sous-groupes invariants contenant toutes les puissances #*où 2€ G, n, désignant des entiers convenablement choisis. Il suffit alors de déterminer des entiers «, tels que a,=1(modp}) et a; —=o(modp*}, pour 1Zs, s Zr,s£s! et de prendre Cr