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Enfin, l'anneau de Lie f(G;,)estle produit direct des LP (Gi, ph) POUT 12LS CT. En effet, &, est le produit direct des anneaux de Magnus XF, ce qui montre que F(G;,) est isomorphe à un sous-anneau de Lie du produit direct IL, P(G:,,), et (7.4) montre que cet isomorphisme applique f(G;,) sur IG)

8. REMARQUES ET PROBLÈMES. — La correspondance indiquée au paragraphe 2 qui associe aux sous-groupes d’un groupe G muni d’une N-suite (H;) des sousanneaux de S(H;) n’est ni biunivoque ni sur. Ainsi, par exemple, on peut construire un groupe G d'ordre 16, une N-suite (H;) dans G, et deux idéaux I, et 1, de P(H;) tels que [, soit associé à deux sous-groupes distincts de G, que L, ne soit associé à aucun sous-groupe de G, et que, néanmoins, L, et I, soient transformés l’un en l’autre par un automorphisme de fP(H;).

Un problème qui se pose naturellement est celui de caractériser les anneaux de Lie qui peuvent s’obtenir sous la forme f(H;). On sait, par exemple, qu'une algébre de Lie libre sur le corps Z, des entiers modp (premier) ne peut jamais être ainsi obtenue (Magnus [24]). Comme cas particulier, se pose le problème de caractériser les quotients successifs de la suite centrale descendante d’un p-groupe.

Toutes les N-suites que nous avons étudiées dans un groupe libre ont été obtenues par le procédé du théorème (3.2), qui revient à filtrer l'algèbre du groupe à coefficients entiers rationnels. On peut se poser le problème de caractériser les N-suites d’un groupe donné G qui peuvent être obtenues par

LS hie

le procédé (3.2). Plus particulièrement, peut-on obtenir ainsi la suite centrale descendante de G? Il suffirait alors de filtrer l'algèbre Z(G) par les puissances successives de l’idéal engendré par les éléments (3— 1), où 3€ G. Une réponse affirmative à ce problème semble admise dans les articles de 0. Grün [6] et R.H. Fox [5]; un essai incomplet de démonstration a été donné par P.M. Cohn[4|; j'ignore si une démonstration complète ou un (contre-exemple) ont été trouvés.

Nous avons démontré (6.10) que les groupes de dimension modp d’un groupe quelconque G s’obtiennent en filtrant l’algèbre Z,(G) à coefficients entiers modp. On peut se demander si ce résultat demeure exact en remplaçant les groupes de dimension modp par les groupes de dimension modpl(h > 1), et l'anneau des coefficients par Zn.

L'une des principales difficultés rencontrées dans l’étude de l’anneau f(H;) associé à à une N-suite (H;) d’un groupe G provient de ce que seule l'addition d'éléments homogènes du même degré dans F(H;) s'obtient à partir de la multiplication dans G par passage aux quotients. On ne peut pourtant pas se dispenser de considérer les éléments non homogènes de f(H;). L'intérêt du théorème (3.3) vient principalement de ce qu’il fait correspondre, dans une certaine mesure, des sommes d'éléments homogènes de #(H;) à des sommes d'éléments non homogènes de f(K;). On remarquera que toute l’étude des N-suites associées aux p-filtrations des groupes libres ($5) est fondée sur leur comparaison à la suite centrale descendante par une méthode analogue à celle de (3.3), mais plus précise. D'ailleurs l'anneau f(H;) associé à la N-suite (5.8) est canoniquement isomorphe à l'anneau bigradué obtenu en le filtrant au moyen de la suite centrale descendante, ainsi que nous l’avons indiqué à la fin du paragraphe 6.

Une des principales applications de Ja théorie des anneaux de Lie associés aux N-suites est l’étude du problème de Burnside : il s’agit d'étudier les groupes ayant un nombre donné (fini) de générateurs qui ne sont liés que par les relations résultant de l'identité générique 2"—1 (n étant un entier fixe) et, en particulier, de déterminer s’ils sont finis. Un cas particulier de ce problème, dont la solution générale paraît encore lointaine, est le suivant : » est un nombre premier p et l’on se borne à rechercher si les sous-groupes de la suite centrale descendante du groupe & considéré coincident à partir d’un certain rang. C’est l’«hypothèse faible » de Burnside (Baer [1 }). Elle est équivalente à la nilpotence de l’anneau F(G;) associé à la suite centrale descendante de G. La suite centrale descendante coïncide avec les groupes de dimension modp en raison de l'identité générique æ?/—1. f(G;) est done une algèbre de Lie graduée restreinte sur Z,; de plus, avec les notations du paragraphe 6, x? — 0 pour tout æe F(G;). Cela est évident lorsque x est homogène (6.8), et pour æ non homogène, cela résulte de considérations assez délicates de Sanov | 30], qui à établi, pour les composantes homogènes de degré 2p — 2, l’isomorphisme de F(G:;) avec l’algèbre de Lie restreinte engendrée par des générateurs

LENTORE

en même nombre que ceux de G, et liés par les seules relations découlant de l'identité générique æ2 — 0. On ne sait pas si ce résultat reste valable pour les degrés == 2p —1. Si l'on considère G& comme le quotient d’un groupe libre K par le sous-groupe K(p) engendré par toutes les p“”* puissances dans K, £(G;)s’identifie au quotient de l'anneau de Lie libre Z(K;) par l'idéal associé à K(p) (2.4). Une réponse affirmative à la dernière question mentionnée entrainerait que cet idéal est complètement caractéristique dans P(K;), c'està-dire stable pour tous les endomorphismes de f(K;). À ma connaissance, mème cette hypothèse n’a pas été démontrée.

Les N-suites associées aux p-filtrations des groupes libres permettent d'obtenir, comme conséquence du théorème (5.5), toute une série de relations entre ps puissances et commutateurs, utilisables dans l’étude du problème de Burnside pour un exposant premier ou puissance d’un nombre premier. On en connaît d’autres, obtenues par une voie différente (cf. Sanov[31]et 0. Grün{6}). La suite des exposants d,(r, j), pour z fixé, qui apparaît dans l’énoncé de (5.5), n’est évidemment pas arbitraire. Il serait intéréressant de préciser ce point en déterminant à quelles conditions doit satisfaire une suite (#;) d’entiers = o pour que IL?.,G/" définisse un sous-groupe du groupe libre G, au sens indiqué en (5-5).