GROUPES NILPOTENTS ET N-GROUPES DÉFINIS PAR LA FORMULE DE HAUSDORFF

l. Surres rypiques. — Rappelons d’abord quelques résultats concernant la formule de Hausdorff (**). Considérons l’algèbre de Magnus A à coefficients rationnels engendrée par les générateurs indépendants x et y (chap. 1. S 4). Comme précédemment, w désignera l’ordre dans A. Pour tout ze A tel que W(z) 1, nous définissons expzeA et Log(1+:)eA au moyen des séries classiques

zi gi

EXD — 2, A et Log(i+z)=2?,(— 1)" :

Nous avons bien Log(expz) =: el exp (Log(1 + 5))=1+ z.

Mais, si 3, : € À avec [w(z), w(z3') 1], on n’a pas

(expz)(expz') —exp(s +3)

(13) La formule de Hausdorff s’est dégagée assez lentement de la théorie des groupes de Lie. Son histoire es marquée par les noms de Poincaré, Schur, Campbell, Baker, Pascal, Hausdorff (sans que la liste soit probablement épuisée). Le mérite de Hausdorff est, semble-t-il, d'en avoir donné une démonstration [9] algébrique (ou « symbolique ») assez brève et compréhensible.

parce que z et 3° ne commutent pas (en général). Nous poserons (expæ)(expy)— exp(®D(x, Dh P(x, y)E A est définie par

DL) — Log((expx) (expy)) = D +Y + [er val +...

Nous admettrons que toutes les composantes homogènes de (x, y) appartiennent à la sous-algèbre de Lie engendrée par x et y dans l'algèbre de Lie portée par À (où l’on prend comme crochet | z, z|— 23! — z'z); cette sousalgèbre est une algèbre de Lie libre de générateurs + et y (chap. I, $ 4). On peut donc écrire b(æx, y) comme une somme infinie d’alternants en æ et y

multipliés par des coefficients rationnels ; c’est ainsi qu’on obtient la formule de Hausdor/ff :

D(z,p)=e+y+ le, y] (fe yly1+ [Cr eh 21+..

Nous n'aurons pas besoin de connaître une loi explicite de formation des termes de cette formule, qui peut être écrite de diverses manières puisqu'on n’a pas de base canonique pour les alternants d’un degré donné. Par contre, dans l'algèbre associative A, (x, y) s'écrit comme une suite infinie de monomes en æ et y dont les coefficients (nombres rationnels) sont bien déterminés. Une remarque simple jouera un grand rôle dans la suite : désignons par Q, l’anneau des nombres rationnels qui, écrits comme fractions irréductibles, n’admettent au dénominateur que des facteurs premiers “nr (nombres rationnels p-entiers pour p >n); alors le coefficient d’un monome de degré total z en æet y du développement de D(x, y) dans A appartient à Q, | conséquence immédiate de la propriété arithmétique correspondante des développements de expx et de Log(r1+x)|]. Or, le sous-anneau associatif engendré dans A par æ et y contient comme facteur direct (en tant que groupe abélien libre) le sous-anneau de Lie libre engendré par æ et y (chap. I, $ 4); il en résulte qu'on peut écrire la formule de Hausdorff de telle manière que les alternants de degré total » en æ et y se troûvent multipliés par des coefficients appartenant à Q,.

Soit maintenant L l’algébre de Lie libre complétée à coefficients rationnels engendrée par les générateurs indépendants (x,)., où l’ensembls d'indices 1 contient plus d’un élément : nous l’obtenons en construisant d’abord l’algebre de Lie libre à coefficients rationnels de générateurs (æ,).e, qui est munie d’une graduation naturelle (où chaque x, a le degré 1), puis en complétant, c’est-à-dire en formant l'algèbre des « séries » dont les termes ont des degrés qui croissent indéfiniment. Nous désignerons par « l’ordre dans L [w(y) est le degré minimum des composantes homogènes non nulles de yeL], et nous noterons L; l'idéal de L constitué par les éléments d'ordre ==1(1—1,2, ...). La défini-