TRES

tion de Lest entièrement analogue à la définition des algèbres de Magnus. De plus, les résultats du chapitre 1 ($ 4) montrent que L peut être plongée canoniquement dans l'algèbre de Magnus B de générateurs (x,).er à coeflicients rationnels.

A tous æ, 7e L nous pouvons faire correspondre au moyen de la formule de Hausdorff un élément déterminé de L que nous noterons simplement xy et que nous appellerons le produit de x et de y :

DST nn an AA

La propriété fondamentale de la formule de Hausdorff est la suivante : L devient, par rapport au produit æy, un groupe non abélien. Pour le démontrer, il suffit de plonger L dans l’algèbre de Magnus B et de remarquer que

(æy)s = Log((expæ) (expy) (expz)) = z(y2);

l'existence de l’élément neutre (le zéro de L) et de l'inverse de xeL (qui coincide avec — +) s'établit immédiatement.

Lorsque nous parlerons désormais sans préciser de sous-groupes de L, etc., il sera sous-entendu que nous nous référerons à l'opération xy, c’est-à-dire à la structure de groupe non abélien de L.

Pour tous r, s€Q (corps des nombres rationnels) et € L, nous avons :