ORAN REG

Ainsi, les puissances entières de xeL coincident avec ses multiples entiers. De plus,

(LY) = Ve MA, Ni

pour tous +,y€ L, les points de suspension indiquant des termes de degré >.3 en æ et y. On en déduit que les idéaux L; de l'algèbre de Lie L constituent une N-suite dans le groupe L et que le groupe quotient L;/L;., coïncide, en tant que groupe de classes suivant L;,,, avec le quotient des groupes abéliens L;; et L;., (pour tout x).

Nous nous proposons d'étudier certaines suites d'éléments de L :

Définition (1.1). — Une suite g(2) d'éléments de L dépendant du paramètre entier positif ou nul £ sera dite suite typique (dans L) si l’on peut trouver des éléments a;€L (+ entier = 1) tels que 4;€L; (pour tout #) et que, pour tout z :

gt) = Zita.

H désignant une partie de L, g(4) sera dite suite typique dans MH si elle est assujettie à la condition supplémentaire 2(1)€H pour tout 4.

Nous désignerons par la mème lettre A l’opérateur qui fait correspondre à une suite d'éléments g(e) la suite Ag(t) = g(t+1)— g(4) et l'opérateur qui

fait correspondre à à un polynome P(#) le polynome AP(4)— P(4+1) — P(4). Les puissances successives de l'opérateur A seront notées A".

Taéorème (1.2). — Une suite d'éléments g(D) EL est une suite typique st et seulement si g(o)— 0 et A g(o)€ Lx pour tout entier k 1.

Démonstration. — Soit d’abord g(4)— EX? t'a; une suite typique. Alors API (Pia 2 tar, ((é +1) — la 2, lu

Plus généralement :

Ato(t) = 2 l A'tia;

pour tout entier #7. Or, Ati=o si k >, donc Ae(t) 3, Ataelx

et, en particulier, A'2(0)E Lx.

Réciproquement, soit g(4) une suite d'éléments de L, avec g(0o)— 0. Nous pouvons calculer les termes de la suite g(t) à partir des Ag(o) (k==1), par la formule connue :

g(t) = 252 (4) Afg(0),

où (;) désigne le coefficient binomial que nous pouvons considérer comme un polynome en #4 à coefficients rationnels et de degré 4. Aucune difficulté de convergence ne se présente, puisque la série considérée n’a qu’un nombre fini de termes non nuls pour toute valeur entière = 0 de £. Pour démontrer que les relations A'2(0)€L, entrainent que g(t) est une suite typique, nous établissons plus généralement le :

Lemme (1.3). — Soit a, une suite d'éléments de L tendant vers zéro et P,(t) une suite de polynomes à coefficients rationnels sans termes constants, telles que degP,(4)-<w(a,) pour tout k=ù1. Alors g(t) = ÈS ,P,(t)a,est une suite typique.

Posons, en effet,

Pet) = 22: cixtl; GE Q.

Alors

gs) = Lf (2 Gta 2 (ER Gixdx).

La condition degP,(1)=w(a,;) peut s’énoncer ainsi : o(&)>t SAC E O0!

‘l’interversion des sommations est donc licite, et V2, CirarE Li,

ce qui montre que g(t)—=È;,t'b; est une suite typique.

Nous pouvons définir sur l’ensemble des suites g(t) à valeur dans L une structure d’algèbre de Lie en posant

Ag)(t)=Ag(t), (g+A)(t)=g(tt +), [& AIG)]=(#C)2C)

et une structure de groupe, en posant (gh)(4) = g(t)h(r). Nous introduisons sur cet ensemble la ee de la convergence simple : une famille g,(4) de suites converge vers g(2) si g,(4) converge vers g (t) pour tout 4 fixé. Avec ces conventions :

TaéorÈmE (1.4). — Les suites typiques constituent, dans l'ensemble de toutes les suite d'éléments de Lune sous-algèbre de Lie fermée, et, par conséquent, un sousgroupe.

Démonstration. — Soient Ut) 2e 00 et PUY Seb; deux suites typiques. Alors

(Ag) (t)= 2?,ta (2€ 0), (g + h)(e) = ZE, dia: + b;) et Lg, A1) = T2 da, 22, 0b;]= 272, (2 a, bi ]).

Les relations 4;€L;, b;€L; impliquent évidemment

la;€eL,, Ait bel; et re | dy, Die leL:.

Les suites typiques constituent donc une sous-algèbre de Lie. Soit g,(4) une famille de suites typiques tendant vers la suite g(t). Alors, pour tout entier #1, Afg,(0) tend vers A"g(0); comme, pour tous », #,

Ats,(0o)e Lx, Afg(o)elLux,

ce qui montre (1.2) que l’ensemble des suites typiques est fermé. Enfin, si nous considérons

nous voyons que la somme des termes de degré = n de ce développement de Hausdorif est, pour tout entier », une suite typique. Nous pouvons donc passer à la limite, puisque l’ensemble des suites typiques est fermé, ce qui établit que gh(æ) est une suite typique.

Nous allons maintenant chercher à caractériser les suites typiques en faisant abstraction de la structure d’algèbre de Lie de L, et en ne retenant que sa structure de groupe.

Nous avons déjà remarqué que si x€L, rez (anneau des ERIC) EEE Nous pouvons caractériser complètement en termes de théorie des groupes la

= pe 2e multiplication des éléments de L par Les scalaires rationnels : sir, s€/Z, xeL., nous définissons &'*=— y par les conditions 7e L et x'— y : alors VC UNS) de Nous voyons donc que les puissances fractionnaires (rationnelles) des éléments de L sont bien déterminées. Elles vérifient évidemment les identités

(ai) = gt et gr vit (A, me Q).

THÉORÈME (1.5). — Sr (P;(4)) désigne une suite de polynomes en t à coefficients rationnels et sans termes constants, chaque polynome P;(t) étant précisément de degré 1, la relation :

PA RTE CMP ROUES établit une correspondance biunivoque entre l’ensemble des suites typiques et l’ensemble des suites (a;) d'éléments de L telles que a; €; pour tout entier positif v.

Démonstration. — Si (a;) est une suite d'éléments de L tels que 4;€L., a; =P;(t)a; est une suite typique pour tout &, d’après (1.3). Il en est donc de mémeduprodute at. et); d'apres (14).

Pour démontrer que la suite (4;) est uniquement déterminée, nous nous appuierons sur le :

Soit H un groupe, (Ki) une suite centrale dans H, c’est-à-dire

Lemme (1.6).

une suite de sous-groupes tels que K;—MH, K;:3K;,, et (H, K:)CK;., pour

tout i>1. On suppose que f\ K;—(e) (l'élément neutre de M), que H est complet

pour la topologie obtenue en prenant les (K;) comme système fondamental de voistnages de e, et que tous les quotients K;/K;,, sont sans torsion. Soit (P;(t)) une suite de polynomes à valeurs entières pour t'entier (*), chaque P;(1) étant précisément de degré 1. Alors, si (a;) et (b;) désignent deux suites d'éléments de W tendant vers e, ON ne peut avoir :

(k) AUD QE Mile = DE NQ DFA CEE DEN 0 pour toute valeur entière ==0 de t que st a;— b; pour tout i == 1.

Supposons que, pour un entier Æ donné, nous ayons démontré les relations b,Ea;H, pour tout : 1 (cela est évident pour #—1).

Posons donc D diCi, ce Hy.

(1*) Rappelons que ces polynomes ne sont autres que les combinaisons linéaires à coefficients entiers des polynomes ({)(1<i<).

Notre relation (x) s'écrit :

A, a ae) AR GC":

Prenons le quotient de H par K4,,, et désignons par à l’image canonique dans H/K,., de el. La relation (&) nous donne :

AP,(/ AP;(t) AN Pl E DS. NET QD, NO; LR (0101) ATEN" .(&;C:) AUS

Mais par hypothèse, 6; appartient au centre de H/K,,,. Donc

Gal pal, GPA GPA à — (QPale) Apio CPU, PA) ) Nous parvenons ainsi à la relation :

GP, , GPA. 8

dans le groupe abélien K,/K;.,. Remarquons que tous les (a;), (b;) appartiennent à Kx4, sauf un nombre fini d’entre eux. Par conséquent, €; — &, sauf pour un nombre fini d'indices. Adoptons la notation additive; supposons, dans un groupe abélien sans torsion, une suite d'éléments d;, tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux, et tels que Z”,P;(t)d;= o, pour toute valeur entière =0 de £. Si tous les d; ne sont pas nuls, soit / le plus grand indice tel que d,< 0. Alors

SAP 4)d 0"

mais A’P;(1)—o pour i<{, et A'P;(4)— ITA [A désignant le coefficient de #! dans P,(4)]. Ainsi (/!2,)d,;— 0, ce qui implique que d;— 0. Tous les d; sont donc nuls. Il en résulte que &;— & pour tout #, autrement dit : b;ea;K;., pour tout z. Cela étant vrai pour tout indice #, nous avons bien démontré les relations a; = b;, Comme conséquence de la relation (x).

Remarques (1.7). — L'énoncé (1.6) admet un certain nombre de variantes, qui n’entrainent que des modifications insignifiantes dans la démonstration. Tout d'abord nous aurions pu supposer que la relation (x) n’est vérifiée que pour une infinité de valeurs de £ (au lieu de toutes les valeurs entières = 0 de #). En effet, tout se ramène à démontrer que, dans un groupe abélien sans torsion, une famille d'éléments d;(1<i<n)ne peut satisfaire à Z* ,P;(0 d, = 0 pour une infinité de valeurs de £ que si tous les d; sont nuls. Si P;(2) — ZA; je, nous pouvons supposer, en multipliant éventuellement tous les P;(#) par un entier convenable, que les coefficients À; ; sont entiers; alors

Ne À 0 el 2m PH Dites

avec

Un calcul de déterminant de Vandermonde montre que tous les e; sont nuls [il suffit que la relation Xe; soit vérifiée pour (n + 1) valeurs de #]; les conditions À;;,<0 (pour 1 in) montrent que tous les d; sont alors nuls. Contentons-nous d'indiquer les énoncés suivants, qui se démontrent comme (1.6) :

a. On remplace dans (1.6) la condition « tous les K;/K;,, sans torsion » par la condition «le coefficient de £ dans chaque polynome P;(#) est 1/5! ». Par exemple :

of}

b. On remplace la condition « les (a;) et (b;) tendent vers e » par a; —b;—e pour? >n, on suppose que le coefficient de 4’ dans chaque P;(4) est égal à 1, et l’on remplace la condition «K;/K;,, sans torsion » par «l’ordre d'aucun élément (excepté l'élément neutre) des quotients K;/K;,, ne divise n! ».

c. On remplace la condition « les (a;) et (b;) tendent vers e » par «a;ekK; et b:EK; pour tout : », on suppose que le coefficient de t’ dans chaque P;(4) est égal à 1, et l’on remplace la condition « K;/K;,, sans torsion » par « l’ordre d'aucun élément (excepté l’élément neutre) de K;/K;,, ne divise z!, quel que SON = 1.)

d. On remplace la condition « K/K;,, sans torsion » par la condition « l'ordre d’aucun élément de K;/K;,, (excepté l’élément neutre) ne divise x », et l’on

suppose que le coefficient de v' dans chaque P;(r) est de la forme ; où r divise PRESCN di

une puissance de l’entier x donné.

L’unicité de la représentation (1.5),

\ pe = Rae

des suites typiques résulte immédiatement de (1.6), en prenant H —L, K;—L;, 4,

et en remplaçant, si nécessaire P;(4) par n;P;(t) et a; par a, (n;) désignant une suite d’entiers convenables.

Nous voyons, de plus, que la suite (a;) d'éléments de L intervenant dans la définition (1.1) des suites typiques est bien déterminée par la suite g(4) : il suffit d'appliquer (1.6) à L considéré comme un groupe abélien. Enfin, g(t)elx pour tout £siet seulement si a;€ L, pour tout : [appliquer (1.6) au groupe abélien L/L;].

Achevons la démonstration de (1.5). Soit g(4) une suite typique. Sapposons que nous ayons déjà construit, pour certain entier #, des éléments 4, ;, Anis 3 din tels que a EL, pour 1.7 1 et que

NN Pal) Pat Pt (gate) dde) el

THÈSE M. LAZARD.

LEURS pour tout £ entier 0. Alors ht et

cst une suite typique dans L;,..

Nous avons donc, d’après la dernière proposition énoncée,

1) ÿ ar 1(4) 24 ;l

RÉ = UD, avec b;eL;nL:,.

Puisque chaque polynome P;(1) est de degré : et sans terme constant, nous Ds calculer sans ambiguité les nombres rationnels À;, tels que 27e : À; k Pi tie Alors :

2e tb DIEEs OS A Patc))o = 3 P;(4) pur ÆDp) Posons ce; —= — 2,7; 1b;,. Alors la formule de Hausdorff montre immédiatement

ER que .

ACOME, chOEL;,: pour tout 4.

Or les éléments c; appartiennent tous à L;,,, ce qui implique que les éléments

cg" permutent, modulol;,,, avec tous les éléments de L. Ainsi : Ci OO oo (es 10) EE (oo) Oo Posons pit — AriCr pour I LA 14 21 et Pace

La famille a,;,, possède, pour l'indice :+1, les mêmes propriétés que la famille a,; pour l'indice 4, et 4,;,,=a,;(modl;,,). Nous pouvons donc poser

= Nina TSir > et nous voyons que PE) Te rater air € Li, quel que soit x, c’est-à-dire que ARE CUIR ras avec 4j€L; pour tout J.

La construction indiquée ne fait pas intervenir de choix arbitraire.

Nous allons d’abord appliquer le théorème (1.5) en prenant P;(4)— Ci)

Définition (1.8). — Soit une suite d'éléments g(4) (4 entier ==0) dans un groupe quelconque H, g(o) étant égal à l’élément neutre. Il existe alors dans H une suite (a;) d'éléments déterminés, telle que :

œ(t) a Celle

le]

PE + ‘pour tout é.

L'élément a;sera dit &" différence non abélienne de la suite g(v), et noté de(t); . ; ÉS à Le il ne dépend que des valeurs de g(t) pour 14 <ù.

En effet, Qi o pour tout :<{1, et il s’agit donc toujours de produits finis

dans H. Supposons déjà calculé a; pour 125: j— 1 : nous devrons avoir

Î NET su= af)...

ce qui détermine univoquement 4;.

Nous pouvons alors, d'après (1.5), énoncer :

TaéorèMe (1.9). — Soit H un sous-groupe quelconque de L. La condition nécessatre et suffisante pour qu'une suite d'éléments g(t) de H soit une suite typique dans H est que g(0)— 0 et que d:g(0) EL: NH pour tout i==1.

Prenons, en particulier, pour H le sous-groupe G de L engendré par ses générateurs (æ,).a. Alors G est un groupe libre par rapport aux générateurs (æ,), et les sous-groupes G;— GNL; constituent la suite centrale descendante de G. Il suffit, en effet, pour le démontrer d’appliquer les théorèmes (3.1) et (4.3) du chapitre [, en remarquant que le sous-anneau de Lie engendré par les (æ.) dans L est libre.

Le théorème (1.9) nous donne donc une caractérisation des suites typiques dans le groupe libre G, sans plus faire aucunementintervenir l'algèbre de Lie L. Ainsi :

TaéoRÈMe (1.10). — Une suite typique dans le groupe libre G, dont la suite centrale descendante est notée (G;), est une suite g(t) d'éléments de G telle que g(o) soit l'élément neutre et que d:g(t) EG: pour tout entier 1==1. Dans l’ensemble des suites d'éléments de G, les suites typiques constituent un sous-groupe fermé. St P;(4) est un polynome à valeurs entières pour t entier et de degré 1, a"i est une suite typique dans G st et seulement si x E Gi.

Le théorème (1.10) nous permet d'établir immédiatement des identités du type de l'identité fondamentale de P. Hall ([8], $ 31). Prenons, par exemple, deux élémentsxet y dans le groupe libre G; x'y'— g(t) est une suite typique et:

Abe

tt) = HET Le 1)

CH RTONE LPS Li Aie QE À AE a dig(t)e Gi.

Pour trouver une identité de la forme (æy) —2x'y"..., il suffit de considérer la suite typique : y ‘x 7'(æy) = h(t). Ainsi :

(413) (ne PATIE

avec

Rappelons que (l.rr), où l’on fait —p, donne l'identité (6.4) du chapitre I.

Des identités analogues s’établissent pour des suites typiques telles que (æ!, y), des suites typiques impliquant plus de deux éléments, etc. L'avantage des formes canoniques que nous trouvons est qu’elles découlent sans calculs de (1.10), et qu’elles ne font intervenir que des produits finis. Par contre, la vérification que les 2°" différences non abéliennes sont des produits de commutateurs de poids 7 entraine des calculs pénibles, même pour les suites typiques les plus simples et les petites valeurs de z. Aussi allons-nous donner une forme non canonique des suites typiques qui met en évidence les sousgroupes Gi

G désigne comme précédemment le groupe libre engendré par les (æ,).e, dans L. Nous choisissons une famille d'éléments (y,),ex d’élément de G, v parcourant un ensemble N bien ordonné, de façon que w(y,) << w(7,) implique v <<», et que les y, pour lesquels w(y,)=7 constituent, modG;,,, une base du groupe abélien libre G;/G;,4 (cf. $ 6, chap. T). Alors, tout élément du complété G de G dans L s’écrit, d’une manière et d’une seule, comme un produit infini ordonné (convergeant au sens de la topologie dans L) : IL,.,y9, où les h, sont des entiers qui doivent vérifier la condition suivante : pour tout , les h, correspondant aux indices » tels que w(y,)= x sont nuls, sauf un nombre fini d’entre eux. Nous énoncerons désormais plus simplement cette condition en disant que le produit doit converger. Les composantes homogènes de degré W(y,) des y, (c'est-à-dire leurs « parties principales ») constituent une base, sur l'anneau Z des entiers rationnels, du sous-anneau de Lie libre engendré par les (æ,) dans L (chap. [, $ 4). Elles constituent donc aussi une base, sur le corps Q des nombres rationnels, de l'algèbre de Lie libre dont Lest le complété. Nous en déduisons sans peine que les éléments de L sont représentés univo-

quement par les produits convergents IL,y}, où les k, sont des nombres rationnels. Une suite d'éléments g(#) dans G (resp. dans L) peut donc être mise sous la forme Il,7%°, où les h,(4) sont des fonctions de { déterminées à

valeurs entières (resp. rationnelles).

THÉORÈME (1.13). — Une suite d'éléments g(t) = IL, y," est une suite typique dans G (resp. dans L) si et seulement si le produit converge pour tout to, h,(0)=— 0, pour tout EN, et enfin st pour tout VEN, la fonction h,(t) peut étre représentée par un polynome à valeurs entières (resp. un polynome à coefficients raonnels) de degré <w(y,).

Démonstration. — Un produit du type considéré représente bien une suite typique, d’après (1.4). Réciproquement, soit g(#)—11,474" une suite typique dans G (resp. dans L). Désignons généralement par v; le plus petit indice » tel

que W(y,)—=1. Supposons démontré que, pour << v;, les fonctions A(4) vérifient les conditions du théorème. Alors (IL,,.y""Y-!£2(4) est une suite typique dans G; (resp. L:), done de la forme X7 Wa), avec a;/eL:nL, pour tout j. D'après les propriétés des y,, nous pouvons trouver des coefficients rationnels Ajs(1Cj< © ; YEN) tels que

dj=inas;vyv (modLl;,;) POUR YEN.

Il en résulté que

RD =ZLEENXR ES

ce qui démontre (1.13).

(1.14) Remarques. — a. Si, dans la définition (1.1) des suites typiques, nous remplacons la condition 4;€el; pour tout # par la condition plus faible

Himw(a;)—=æ, nous parvenons à la notion de suite analytique dans L. Les i% n

suites typiques ne sont donc qu’un cas particulier des suites analytiques, mais ce sont les seules dont nous ayons ici à faire usage. Tous les résultats que nous avons démontrés pour les suites typiques s’établissent, en modifiant convenablement les énoncés, pour les suites analytiques. Ainsi, dans (1.2). on doit remplacer la condition « A'g(o)el; pour tout # » par la condition

« limw(Alg(o)) — x »; la même modification doit intervenir dans le théorème k>

(1.9), les différences A“g9(0) étant remplacés par les différences non abéliennes àg(t). L'énoncé du lemme (1.6) s’applique directement aux suites analytiques, et permet de démontrer, pour les suites analytiques, le théorème (1.5) où il faut seulement remplacer la condition « a; L; pour tout z » par la condi-

tion plus faible «limw(a;)—+ ».