SES

b. Si deux suites typiques (resp. analytiques) £(#) et A(t) coincident pour une infinité de valeurs de 4, elles coincident pour toutes les valeurs (entières 0) de #. [ suffit, en effet, d'appliquer aux deux suites le théorème (1.5) en prenant, par exemple, P;(4) — à [c/. (1.9)], puis d'appliquer la remarque (1-7).

c. Nous avons supposé, dans la définition d’une suite typique (resp. analytique) g(1) que g(o)—o. Cette condition n’est pas essentielle, mais elle simplifie certains énoncés, et correspond aux besoins des applications.

d. Nous aurions pu, dans la définition (1.1) des suites typiques faire intervenir toutes les valeurs entières de £. Alors les théorèmes (1.2) et (1.9) ne seraient plus exacts | puisqu'ils ne font intervenir que les valeurs de g(1) pour t= o|. Par contre, les théorèmes (1.4) et (1.5) restent valables (une seule modification doit être apportée, pour démontrer que l’ensemble des suites typiques, considéré comme partie de l’ensemble des applications de Z

LR AE

dans L, est fermé). De même, nous aurions pu faire intervenir toutes les valeurs rationnelles de 4. Mais, avec ces définitions, la remarque b précédente resterait valable : deux suites typiques coincidant pour une infinité de valeurs de # coincideraient pour toutes les valeurs (entières ou rationnelles, suivant la définition adoptée) de . Il en résulte que nous n’avons essentiellement qu’une seule définition des suites typiques, car l'extension d’une suite typique, définie comme en (1.1). à toutes les valeurs entières ou rationnelles de z est évidemment possible, et n’est possible que d’une seule manière.

Application. — Les identités telles que (1.11) et (1.12) que nous avons établies pour £ entier 0 restent vraies pour # négatif, les produits envisagés étant alors effectivement infinis. (Si l’on veut considérer les valeurs non entières de #, on doit évidemment se placer dans le groupe L.) Toutes ces considérations s'appliquent au cas des suites analytiques. |

e. Tous les résultats concernant les suites typiques (resp. analytiques) peuvent se généraliser à des familles d'éléments dépendant de plusieurs paramètres. On pourrait ainsi donner des identités du type de P. Hall pour æx'y"z!l, .... Les énoncés seraient sensiblement plus compliqués, et, pour avoir des représentations en produit [cf. (1.8), (1.9)], on serait obligé d'ordonner totalement les couples (ou n-uples) d’entiers positifs, ce qui laisserait subsister beaucoup d’arbitraire. Aussi, semble-t-il raisonnable d'attendre les applications éventuelles avant de développer la théorie dans cette direction.

2. INVERSION DE LA FORMULE DE HAusporrr (Formules génériques). — Nous commençons par appliquer le théorème (1.5) en prenant P;(4)— #. Il en résulte la correspondance biunivoque entre les suites typiques

ANA D UC et les développements en produit :

LUE) = be avec b;eL; pour tout é.

Nous appellerons b; le 2°" résidu de la suite typique 2(4). Contrairement à ce qui se passe pour les différences non abéliennes, les résidus ne se calculent pas simplement à partir des valeurs g(4) de la suite typique dans le groupe L; par contre, nous allons voir comment ils se calculent au moyen des coefficients a; et des opérations de l’algèbre de Lie L.

Nous désignons par Q; l’ensemble des nombres rationnels qui, écrits comme fractions irréductibles, n'admettent au dénominateur que des facteurs premiers au plus égaux à #. Rappelons alors que, dans la formule de Hausdorff,

LY=X+y+ [x yl+..

la composante homogène de degré & peut s’écrire sous la forme d’une somme

APE qe d’alternants de degré total £ par rapport à æ et y, multipliés par des coefficients de Q:. Nous remarquons d’abord que, dans le développement

ER 7e le coefficient a;, ne dépend que des b; pour lesquels 1:<j<5. En passant à la

limite, nous voyons qu’il en est de même du coefficient a; dans le développement de I[7,b;. Les premiers coefficients 4; sont donnés par les formules :

== 01, (2.1) ay b+ = [b:, be], da bd, + SET b;] En [[ D», b:|, bi|, Ç On voit facilement que, pour calculer 4;, il suffit de connaître b,, b,, ....b, et lestermes de la formule de Hausdorff jusqu’au degré (:—1)inclus. Nous en déduisons que a; — b; est une somme d’alternants par rapport à b,, ...,b;;,

multipliés par des coeflicients appartenant à Q; ,; nous pouvons préciser que ces alternants ont le poids #, si l’on attribue à chaque b; le poids 7, et si l’on attribue au crochet | #, e| un poids égal à la somme des poids dewet de v.

Nous savons déjà (1.5), qu'on peut calculer les b; en fonction des 4;. Les formules (2.1)conduisent à ;

' bar, Eee (2.2) b3—= a3— —[a, & |, | b,= a — -[a, a; ]+ a [Las di], |.

Nous pouvons énoncer généralement le :

Taéorème (2.3). — Toute suite typique g(t) = È t'a; peut étre représentée,

d’une manière et d’une seule, par un produit ordonné g(t) =. b;. Le 1°" résidu

| b; de la suite g(t) se calcule au moyen des opérations de l'algèbre de Lie à partir des coefficients a;(1<7j“1); plus précisément, pour tout 1, b; — a; est égal à une

somme d’alternants par rapport aux a;(1=j1—1) mulupliés des coefficients

de Qrr L'intérêt principal de ce théorème est qu'il nous permet de décrire complètement, à partir de la structure de groupe de L, sa structure d’algèbre de Lie : THéorÈme (2.4). — Soient x et y deux éléments de L. Alors 1l existe une suite d'éléments b; de L tendant vers zéro, et une seule, telle que pour tout entier t :

2 i LV 0e Die,

et l’on a bi=x +7, Bee

Démonstration. — Il suffit de considérer la suite typique

dy =t(r+y)+ it, y PERE

et d'appliquer (2.3). Nous aurions pu, pour calculer [æ, y], utiliser la suite typique PE ee oO OÙ CG |

Ce théorème nous permet de caractériser la structure d’algèbre de Lie de L à partir de sa structure de groupe topologique. Il réalise, en quelque sorte, l'inversion « descriptive » de la formule de Hausdorff, c’est-à-dire qu'il définit les opérations ++ yet[x, y] à partir de propriétés du groupe L. Il nous faut encore rechercher comment calculer ces opérations à partir des opérations connues du groupe : produit, exponentiation, passage à la limite. Remarquons qu'il est impossible de calculer la somme x +y à le crochet [x, y] de deux éléments de L'au moyen de produits et de passages à la limite (sans considérer les puissances fractionnaires). En effet, le groupe libre G engendré par les générateurs indépendants (æx,) de L n'est pas un sous-anneau de Lie, non plus

que son adhérence G.

Il serait sans doute intéressant (pour le problème de Burnside en particulier) de pouvoir caractériser, de façon « constructive », le plus petit sous-groupe de L qui contienne G et soit en même temps un sous-anneau de Lie. Faute de pouvoir résoudre ce problème, nous allons considérer un sous-groupe M de L qui contiendra G, sera un sous-anneau de Lie, et ne sera « pas trop grand » pour les applications que nous en voulons donner.

Définition (2.5). — Dans l'algèbre de Lie libre complétée à coefficients rationnels L, nous désignerons par M l’ensemble des éléments dont les composantes homogènes de degré z sont des sommes d’alternants de degré x par rapport aux générateurs indépendants (x+,) de L, multipliés par des coefficients appartenant à Q;(pour tout entier : 1). M est en même temps une sous-algèbre de Lie fermée et un sous-groupe de L.

Le fait que M soit une sous-algèbre fermée de L résulte immédiatement de la définition ; la propriété Rae des coefficients de la formule de Hausdorff, rappelée plus haut, montre que M est un sous-groupe.

Fa£orime (2.6). — Soit Lite 2 Cor

une suite typique à valeurs dans M. Alors, pour tout i>=1,

«aeM et b;eM.

PR

Démonstration. — Considérons le groupe abélien L/M — N. Le groupe abélien N est gradué, comme L et son sous-groupe homogène M. Sa composante homogène de degré x est le quotient des composantes homogènes de degré x de L et de M : c’est donc un groupe de torsion, mais (d’après la définition de M), l’ordre d'aucun de ses éléments ne divise! Considérons alors la relation g()—X". t'ai, où g(t)E M pour tout entier £==0. Si nous désignons par à la classe modM de a€L, nous avons done E? ,#'4;— 0 dans N. De plus, puisque g(t) est une suite typique, 4;€ L;pour tout 7, et4;eN; = L;+ M/M — L:/M N L:. Le quotient N;/N;,, s’identifie à la composante homogène de degré x de N, et nous pouvons appliquer (1.7c), qui nous donne le résultat cherché : 4;— 0 pour tout z.

Pour démontrer que b;e M pour tout 7, nous ne pouvons pas appliquer la même méthode au groupe non abélien L, car M n’en est pas un sous-groupe invariant. Par contre, il nous suffit d'appliquer le résultat précédent, joint au théorème (2.3) (nous pourrions aussi établir la proposition directement, en démontrant par récurrence sur 7, que b;eM-- L; pour tous £, j).

Considérons maintenant dans le groupe libre G engendré par les générateurs (æ,).a de L'une famille d'éléments (y,),e, possédant les mêmes propriétés qu’en (1.13). Nous avons vu que tout élément de L s'écrit univoquement comme un produit bien ordonné convergent : Il,y?, où h,eQ.

Lemme (2.9). — Soit EL, 3: —Il,y,. Alors :EM «1 et seulement sh,eQ.,, pour toutveN.

La démonstration procède, comme d'habitude, par récurrence sur w(7,). Désignons généralement par v; le plus petit indice v pour lequel w(y,)—:. Supposons déjà démontré h,€Q,,,,, pour v <{ vi. Considérons 3;—(IL,., 7%) "2. Pour tout y << v;, nous avons y,eM(puisque y,eG)et y} —A,y, EM; puisque he Qu. Ainsi zeMNL,;, et les exposants L,(v;<v<{v;,,) sont uniquement déterminés par le relation :

— 2 hRSYS EL:

Cette relation entraine 4,€ Q; pour v;<v <°v;,,, puisque zeMnL:et que les (huzves., constituent, modulo L;,,, une base de la composante homogène de degré : du sous-anneau de Lie libre engendré par les (x, ),ar.

Nous pouvons maintenant définir des formules « constructives » d’inversion de la formule de Hausdorff. Supposons que L possède deux générateurs indépendants, notés æ et y, et qu’on ait fait choix d’une suite d'éléments 2; possédant les propriétés de la famille (y,),e, précédente. Cela peut se faire, par exemple, en utilisant le procédé de Marshall Hall [7]. Alors il existe deux suites d’exposants rationnels, h; et 4;, tels que l’on ait :

(2.8) eye 25; RNA I EST TES

RE Quinn HEQvr