RIT

On aura, par exemple,

PV (ET dos Le Yh= (0) (Ge #}; DE Ne

Connaissant les premiers termes de la formule de Hausdorff, on pourra calculer les premiers termes des formules d’inversion, par l'algorithme exposé dans la démonstration de (2.7).

Nous étudierons plus loin ($ 4) dans quels groupes il est possible d'appliquer les formules d’inversion de façon qu’elle définissent une structure d’anneau de Lie, et qu’on puisse, au moyen de la formule de Hausdorff, retrouver la structure de groupe dont on était parti. Nous aurons besoin, pour cela, de résultats auxiliaires, exposés au paragraphe 3. Par contre, on démontre immédiatement que les formules d’inversion s'appliquent dans M.

(2.9) Remarque. — Les formules d’inversion (2.8) dépendent formellement du choix de la suite 3;, mais les valeurs des produits correspondants n’en dépendent manifestement pas. Nous pouvons plus généralement chercher à résoudre le problème suivant : soit À un nombre rationnel; existe-t-1l une suite v; de produits de commutateurs en x et y de poids = 3 etune suite d’exposants 4;, telles que le produit infini ordonné æy(x, y }ufu®...uf... converge lorsque l’on substitue à æ et y deux éléments quelconques de Let définisse ainsi dans L une opération associative? La réponse est affirmative, quel que soit #.

Si 4 — : on obtient la loi de groupe non abélien (ar y: ji, et en parti-

: £ se De LS I Ê :

culier la loi du groupe opposé yx pour #—— =; si k=— =; on obtient la loi

de groupe abélien x + y que nous avons déjà trouvée ({*).

3. QUELQUES PROBLÈMES D'EXTENSION ET DE PROLONGEMENT. — Définitions et notations. P désignant un ensemble de nombres premiers, » un entier positif, on exprimera par la notation n/P le fait que tous les facteurs premiers de » appartiennent à P.

Un groupe multiplicatif G (dont l’unité est notée r) sera dit sans P-torsion si EG, njP et 2*— 71 impliquent x—1. G sera dit P-divisible. si xeG, n[P impliquent qu'il existe yEeG avec y'—x (il suffirait, dans ces deux définitions, de prendre pour » un nombre premier appartenant à P). Un élément æ€ G sera dit élément de P-torsion s'il existe », avec n/P et &"—1; si tous les éléments de G sont de P-torsion, G sera dit un groupe de P-torsion.

Dans tout ce paragraphe nous désignerons (P;) une suite d'ensemble de nombres premier P,CP,C...CP;CP;,C.... Il sera commode [dans la

(55) Ce genre de questions sera étudié dans un article à paraître sous le titre : Éléments d'une théorie algébrique des groupes analytiques.

démonstration de (3.2)] de désigner par P, l'ensemble vide : ainsi x/P, signi- Gerdrer.

Nous aurons à considérer dans un groupe G des suites de sous-groupes invariants (H;),oùrë—1,2,....Il s'agira toujours, sauf mention expresse du contraire, de suites décroissantes commençant à G :

HS GDS RS ISERE PTE

Rappelons qu'une telle suite est dite finie si H; (1) à partir d’une certaine

valeur de : resp. séparante Si A HE CS (H;) est une suite centrale

si (G, H;)CH;., pour tout z; resp. une N-sute si (H;, H;)CH:.; pour tout £, J.

LeMME (3.1). — Sort G un groupe nilpotent de classe au plus égale à ce, x et y deux éléments de G. Alors :

. St (>, Y°) En I, Cr, SD AUS ‘ EN | F b. Six'— y'— 1 et sit désigne le plus grand commun diviseur des entiers r ets,

(EAP RER RE

Démonstration. — Considérons le sous-groupe H de G engendré par æ et y, et sa suite centrale descendante (H;). La classe de H ne dépasse pas celle de G, Éthainciaule, =@r),-IConstdéronsa(e/, chap LS" anneau vdetie P(H;) = EH;/H;,,. I est engendré par les classes & et ÿ de x et y modH,; æ et ÿ sont de degré 1 dans £(H;), et les éléments de degré 2 sont des multiples entiers de [Z, ÿ |. Nous en déduisons que si, pour un entier n, n[#, ÿ|—o0, nz —0o pour tout ze f(H;), 3 étant homogène de degré ==2. IF suffit de raisonner par récurrence sur le degré de 3: si 3 est homogène de degré 13, 3 est une somme de crochets | &, 8 |, où degü + deg ? —1; alors une au moins des relations 2.<degü <{1 et 2-Zdeg<{1 est vérifiée; si, par exemple, 2. degü << 1, nu —0 par l'hypothèse de récurrence, done n3— 0. Revenant à la définition de £(H;), nous voyons que ze H; implique ze H;,, et, par une

récurrence évidente z” € H;,,. En particulier, 3€, implique 3° "—1. Alors, dans le cas a, rs[%, ÿ|—0, puisque rs[&, ÿ[ —[r#, sÿ] s’identifie à larclasse:de (z', 7°) modH;. Ainsi (&, y)" = 1,

Dans le cas b,