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PIN ne et one Mr) = 0?

puisque ces éléments s'identifient respectivement aux classes mod; de (+, y) et (æ, y‘). Il existe des entiers 7’ et s’ tels que PRESS: d’où (NEA EE

LA

Enfin æ et y commutent modulo H,, si bien que (xy)' EH, et ainsi

(xy)

r'slE—2

fi

A partir de ce lemme, on démontre immédiatement des théorèmes classiques de la théorie des groupes nilpotents, tels que : l’ensemble des éléments de P-torsion d’un groupe nilpotent est un sous-groupe ; un groupe nilpotent de torsion est le produit direct de ses sous-groupes de Sylow, etc.

Taéorème (3.2). — Soit, dans un groupe G, (H;) une suite centrale fine (resp. une N-sutte finte). La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une suite centrale finie [respectivement N-suite finie] (K;), telle que, pour tout 1, H;CK:;et que K;/K;,, soit sans P;-torsion, est que MH; soit sans P;-torsion (pour tout 1).

Démonstration. — La condition est nécessaire. En effet, supposons l'existence d’une suite (K;) de sous-groupes de G ayant les propriétés voulues. Soit æeH;, n/P;, æ"— 1. Alors, si x 1, il existe j tel que xeK;etxéK,.,/{puisque (K;) est finie]. De plus 7 =, puisque K;:3H;. Alors »/P; (puisque P;3 P;), et a"'—1€KkK,;, implique æeK;.,, contrairement à l'hypothèse (puisque K;/K;., est sans P;-torsion).

La condition est suffisante. Supposons chaque H; sans P;-torsion. Définissons F; par la relation : x€eF; si et seulement s’il existe n/P;, tel que "EH; (J=>1). Si nous considérons l’homomorphisme canonique /; de G sur G/H;, nous voyons que æ€F; si et seulement si f;(æ) est un élément de P; ,-torsion dans G/H;. F; est donc un sous-groupe invariant de G, contenant H; (c'est l’image réciproque, par /;, du sous-groupe de (P; ;-torsion de G/H;).

Posons maintenant L;— M F;. Alors L; est un sous-groupe invariant de G, ne"

= Go ASSIS

et L;2 H; pour tout r. Montrons que H;,, —(1) entraine L.,, —(1}).SoitreL..,. Il existe alors des entiers n,, ...,n. tels que n;/P; et x"eH,;.,. Supposons démontré que æ"=1 (12). Alors x" €eH,; et (2"=)'=1, ce qui implique æ"— 1. Comme x*€eH;,,—(1), on parvient à x'—1 qui implique + =1. Montrons que L;/L;,, est sans P;-torsion. Soit xeL,, n/P;, x"elL,;.,:. Puisque Lu LNR:,,,il suffit d'établir que xeF;,,. Or, puisque 2"€eF;.., il existe n'/Pitel que (x')”eH:,,. Mais nn'/P;etainsix""eH;,,, ce qui impliqueæeF;,,. Nous avons donc établi le théorème dans le cas d’une suite finie de sous-groupes invariants. Montrons de plus que si (K;) est une suite finie de sous-groupes invariants telle que, pour tout 7, H;CK; et que K;/K;,, soit sans P;-torsion, L;CK; pour tout L;CK;. Sinon nous pourrions trouver æ€L, et J<t avec tEK;, x£K;,,. Mais alors xeF;.,; donc il existe h/P; tel que x"eH,, CK,... Puisque K;/K;,, est sans P;-torsion, +eK,,,, contrairement à l'hypothèse. La suite (L;) est donc celle qui décroit le plus vite parmi les suites répondant à la question.

Utilisons maintenant le fait que (H;) est une suite centrale. Soit +€G,