PA LE

YEL:. Pour tout 7 tel que 1<7 Zi, il existe n//P;, tel que yEH,;. Donc (x, y)eH,, et ainsi (x, yYŸ eH,, [appliquer (3.1a) à G/H;,,[]. Comme ni" ]P;, (æ, y)eF; pour 1<j<i, et(x, y)eL;:1, ce qui montre que (L;) est une suite centrale.

Enfin, supposons que (H;) soit une N-suite. Soit æeL;et y€eL,. Nous voulons montrer que (+, y)EL;.;. Pour tout # tel que 2:<kZ1+ 7j, nous pouvons trouver 2’ et j’ tels que 12<r Zi,1.<ÿ jet +] —k. Alors, puisque +æeF: etyEF;,ilexistem/P, ,;etn/P; , telsquex"eH;,7"eH;, etainsi(x”, 7") eH.. Appliquant (3.14) à G/H;, nous voyons que (x, y)” "eH,, donc (x, y)eF,, puisque mn|P;,. Ainsi (æ, y)eL;.;.

LEMME (3.3). — Soit (H;) une suite centrale séparante dans G supposé (H;)complet (*°) :

a. St H;/H;,, est P;-dieusible pour tout 1, chaque Hi; est P;-divisible.

b. Si HjH;,, est sans P;-torsion pour tout 1, xEH;, yEH;, n/P; et x"— y" impliquent x — y. En particulier, H; est sans P;-torsion.

ce. St H;est P;-divisible et sans P;-torsion pour tout 1, alors H;/H;,, est P;-divrsible et sans P;-torsion pour tout 1.

d. Sr tous les P; sont égaux à un méme ensemble de nombres premiers P, et st, pour tout 1, Hÿ/H;,, est sans P-torsion, alors xEMH;, n/P et y'— x impliquent y EH;. En particulier, si G est P-divisible, il en est de méme de tous les H;.

Démonstration. — a. Soit xEH;, n/P;. Supposons établie l’existence d’un y eH:; tel que y" =x(modH;,;), j 0. Alors xy "EH; ; et H;,/H;,;., est P;divisible. Il existe donc z:€H;.; tel que z"exy "(mod H;,;,,)et, puisque (H;) est une suite centrale,

æ=(yz)t (modH;,;,1), avec yz=7Yy (modH;,;).

b. Si l'ôn avait x <y, soit æ—7ys, 2e, 3€H;,, (avec =): Alors y" =y"z" (modH;,,), et puisque H;H;,, est sans P;-torsion, :€H;,, contrairement à l'hypothèse.

e. Il est évident que H;/Il;,, est P;-divisible (comme groupe quotient d'un groupe P,-divisible). Montrons que si H;/H;,, n’était pas sans P;-torsion, H; aurait un élément de P;-torsion. Nous pourrions trouver en effet »/P;, xeH;, xél;,, avec a"eH;,,. Supposons déjà construit yexH;,, tel que y"eH,,. Alors il existe z€H;,;, avec z*—7" et, par conséquent, (73 *)Y*€H;,;,:, 7374 = y(modH;.,;). Il en résulte donc l'existence dans H; d’un élément u&H;., avec #"—1, contrairement à l'hypothèse.

d. Soit yeH,, y & H;,1. Alors æ —7y"#H;,, et ainsi jt, yeH.

(16) C'est-à-dire que G est complet pour la topologie où les sous-groupes (H;) forment un système fondamental de voisinages de l’élément neutre.

"poules

Lemme (3.4) (Unicité des prolongements d’homomorphismes). — Sorent G un groupe, G' un sous-groupe de G, (K ;) une suite finte de sous-groupes invariants de G telle que, pour tout 1, K;(G'NK;)Ki,, soit un groupe de P;-torsion. Soit, d'autre part, H un groupe, (Li) une suite centrale finie dans H telle que, pour toutr, Li/L:,, soit sans P;-torsion. Soient enfin f et g deux homomorphismes de G dans H tels que f(K:)C Li: et g(K;)CL: pour tout i. Alors f et g sont identiques st leurs restrictions à G! coincident.

Démonstration. — Supposons démontré que f et g coincident sur K;,,, et montrons que f'et £ coincident sur K; [l'hypothèse de récurrence sera évidemment satisfaite pour æ assez grand, puisque (K;) est finie]. Soit æeK;. Par hypothèse il existe »/P;, yeG', :EK;., tels que "— yz. Alors

fa") =fye) = JO) E)=E)ets) = 2075) = 7er):

Ainsi

PARA Ne à PAL f(x)elx g(x)el;, ce qui implique f(x) —g(x), d’après (3.3b).

Leume (3.5) (Existence du prolongement simple). Soient G un groupe, G' un sous-groupe 1nvariant de G,(K;) une suite centrale finie dans G. On suppose que G'DK;., et que G/G' est un groupe cyclique d'ordre n, avec n/P;, engendré par la classe modG' d'un élément x de K;. Sorent, d'autre part, H un groupe, (L:) une suite centrale finie dans M telle que chaque L/L;,, soit sans P;-torsion. Sort enfin f un homomorphisme de G' dans H tel que f(G'NK;)€ L; pour tout t. Alors, il existe un prolongement g de f à G tel que, pour tout 1, g(K;)€L; st et seulement s'il existe UE L; tel que uw" = f(x").

Démonstration. — La condition est évidemment nécessaire. Supposons-la satisfaite. Tout élément de G s'écrit sous la forme x'y7, 7€eG'. Posons g(x'y)=u"f(y); g est alors une application univoque de G dans H. Si, en effet,

PV ATYN LE 2 ie ei Donc PERPEE RSS PNR CE MIROIR UE d'où LAN A ct 2 NS 2) ce qui montre que g est univoque.

Soit maintenant y EG’; alors xyx eG'et, si g'est un homomorphisme, on

doit avoir AEY AT) = UOUES

Nous allons démontrer la relation équivalente

Jar) ee, fon:

nice Considérons la suite typique (a', y) à valeurs dans K-1D'après ro) il existe une suite finie d'éléments de K,,, : a, ..., a telle que (x, y)= a af?) af).

De plus a, —(x, y). Alors, appliquant l'homorphisme / : (Ce 7))= fa). f{an

Considérons, d'autre part, la suite typique (u', /(y)) dans L;,,. D'après (1.10), il existe une suite finie d’éléments de L,,, : b,,..., b,, telle que

(ut, F2) EN EN pl).

De plus, b,=—{(u, /(y)). Posons maintenant 4=—nt'; pour toutes les valeurs

entières dé f((art, y) (u#, Cr) Ye Ains:

nt" nl Î )

Ca) 1 Me fan )= pre or ON

pour toutes les valeurs entières de 4’. D'après (1.74) que nous appliquons au groupe L;,, avec sa suite centrale L;,;(1==1), en prenant FOIRE cela implique f(a;)— b; pour tout z, et, en particulier NANTES ere) Nous avons donc f(æyæ*)= uf(y)ur*! et, par une récurrence évidente, J(aryxr) = ur f(y)ur pour tout entier r. Il en résulte que g'est un homomorphisme. Soient, en effet,

x'y et x" y" deux éléments de G(y, € G'). Ainsi

LAS RE ir 0

Alors ge ve" y) = ur" fe ya y) = ut fa ya") foN)= fu" fo)=s y) 2").

Il reste seulement à démontrer que g(K;)€ L:; pour s. Soit d’abord #Z j ; alors x'yEK;, 7 EG’ impliquent yEG'NK;. Dans ce cas

sr) =utf(r)eL: puisque ueL; et f(GnK;)cLl:

Si maintenant? > 7, ay eK;cG et ln) = (xTy) el:

TuéorÈme (3.6). — Sorent G& un groupe, G' un sous-groupe de G, (K;) une suite

centrale finie dans G, telle que, pour tout 1, K{(K:NG')K;,, soit un groupe de P;-torsion. Soient H un groupe, (L;) une suite centrale finie dant H telle que, pour

tout 1, Li/L;,, soit P;-divisible et sans P;-torsion. Soit enfin f un homomorphisme de G! dans H tel que, pour touti, f(G NAK;)€ Li. Alors il existe un homomorphisme g et un seul de G dans H, prolongeant f, et tel que g(K;)€ L; pour tout v.

Démonstration. — Nous considérons les couples (F, 2) constitués par un sous-groupe L de G contenant G’, et un homomorphisme h de T dans H, prolongeant /, et tel que A(TAK;)CL;(pour tout z). Nous introduisons naturellement une relation d'ordre dans l'ensemble de ces couples, en posant (T,,h,)2<(T», h:) sil, Cl, et si À, est un prolongement de k,. Alors l'ensemble ainsi ordonné est inductif, et d’après le lemme classique de Zorn, il existe un couple ([”, #') maximal. Montrons que ['— G. Sinon soit +1 le plus petit entier tel que K;1 CT’. Soit xeK,, él”. Alors æl'x!—T". Soit | le sous-groupe de G engendré par L’et æ. T/[' est un groupe cyclique engendré par la classe de æ modulol"”, et d'ordre n avec n/P;. Puisque chaque L;/L;,, est P;-divisible, L; est P;-divisible (3.3a). Donc il existe veL,; tel que #'—h'(x"). Nous pouvons donc appliquer (3.5), en faisant jouer à F, [”, (TNK;), x, h' les rôles respectifs de G, G', (K;), æ, f dans l’énoncé de ce lemme. Nous en déduisons l'existence d’un prolongement X de h' à l tel que A(FNK;)CL; pour tout z, contrairement à l'hypothèse que ([", k') est maximal. Ainsi — G, le prolongement g de f à G existe et est unique d’après (3.4).

Définition (3.5). — Soit G un groupe, (K;) une suite centrale finie telle que, pour tout #, K;/K;,, soit sans P;-torsion. Nous dirons qu’un groupe G contenant G comme sous groupe et muni d’une suite centrale finie (K;) est une (P;, K;)complétion de G si K;— KnG, KK; est sans P;-torsion et P;-divisible et enfin K;/K:K;,, est un groupe de P;-torsion, pour tout &=1 (!°).

Nous démontrerons que, sous les hypothèses de (3.5), un groupe G admet une (P;, K;)-complétion qui est bien déterminée à un isomorphisme canonique près. Nous pouvons considérer cette proposition comme classique dans le cas des groupes abéliens :

Soit À un groupe abélien sans P-torsion ; alors il existe un groupe abélien À, dit P-complétion de A, tel que À contienne A, soit sans P-torsion, P-divisible et que A/A soit un groupe de P-torsion. Ces propriétés déterminent A à un isomorphisme canonique près conservant les éléments de A ; side plus Bestun groupe sans P-torsion, contenant À et tel que B/A soit un groupe de P-torsion, B s’identifie canoniquement à un sous-groupe de A (1°).

(15) Pour simplifier les énoncés, nous nous sommes permis un abus de langage en considérant une extension de G comme un groupe contenant G. Il serait plus correct de parler d’un groupe contenant une image isomorphe déterminée de G.

(17) Rappelons que À peut être obtenu comme un produit tensoriel Qp@QAp, où Qp désigne l'anneau

3 7 des nombres rationnels de la forme -;, où r eZ, s/P. $

Lise Considérons d'abord un groupe G et une suite centrale (resp. N-suite) finie (K;) dans G telle que K;/K;,, soit sans P;-torsion pour tout z et que K;/K;,: soit P;-divisible pour 1j +1, j désignant un entier positif fixé. Soient G‘ une extension de G, (K; ) une suite centrale (resp. N-suite) finie dans G'. On suppose que :