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est sans P;-torsion ; K'/K;K/,, est un groupe de P;-torsion (pour tout £). On démontre facilement que ces conditions impliquent que

K'=—K; pour iX}+1 et que KE = KR POUR RENE ET

Par conséquent,

KR Ke (1) pOur 4% 7:

Désignons par À le groupe abélien sans P;-torsion Kÿ/K;1, et par À une P;-complétion de A déterminée. Nous pouvons considérer K/K;,=K;/K,;.; comme une extension de K;/K,,,. Le quotient (K;/K;,: )/(K//K;,1) s'identifie à K;/K; et est donc un groupe de P;-torsion. Par conséquent, K;/K,., s’identifie canoniquement à un sous-groupe de A! de À (avec ACA, CA).

Soit G? une extension de G munie d'une suite centrale (resp. N-suite) (K;) possédant, par rapport à G(K;) les mêmes propriétés que G!, (K;). I lui correspond un sous-groupe A? de A. Interprétons la relation d’inelusion A! € A°. Soit x EeK; alors il existe n/P; tel que (x) —=xekK;; la relation A'C A° signifie qu’il existe dans K° un élément x) tel que

(ae Tr (modK;,;).

Mais, puisque K;/K;,, est P;-divisible pour 2 =j+1, la démonstration du lemme (3.34) montre qu'on peut choisir æ° de telle sorte que

Alors, en appliquant comme dans la démonstration du théorème (3.6), le lemme de Zorn et le lemme (3.5), on démontre que la relation A'C A? équivaut à l'existence d’un homomorphisme f de G' dans G?, induisant l'identité sur G et tel que /(K;)CK; pour tout r; f est nécessairement unique d’après (3.4); et l’on démontre immédiatement que c’est un isomorphisme.

Nous voyons donc que la donnée de A! détermine l’extension G', (K;) à un isomorphisme canonique près conservant les éléments de G. A quels sous-

groupes de À contenant A correspondent effectivement des extensions de G? On démontre sans peine que, si A' correspond à une extension, il en est de même de tout sous-groupe de A! contenant A. Nous voulons démontrer qu'il

correspond une extension à A lui-même; pour cela nous appliquons encore le lemme de Zorn : l’ensemble, ordonné par inclusion, des sous-groupes de A

THÈSE M. LAZARD 5