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contenant À et auxquels correspondent des extensions est inductif. Soit, en effet, (A‘),-, une famille de tels sous-groupes, : parcourant un ensemble I totalement ordonné (. Nous choisissons des modèles G', (K;) des extensions correspondantes, qui sont déterminés à des isomorphismes canoniques près. Pour << À, nous avons, un isomorphisme déterminé /,, de G',(K;) dans G,(K), la propriété de transitivité permettant de considérer la limite inductive 6, (K;) des G‘, (K!) est satisfaite, et l’on démontre immédiatement que G, (K;) possède les propriétés voulues et correspond à la réunion des sous-groupes A'. D'après le lemme de Zorn, l'existence d'une extension G correspondant à A est donc amenée au problème suivant : si K/K;,, n’est pas P;-divisible, existe-t-il une extension propre G', (K!) de G ayant les propriétés indiquées? Établissons d’abord le :

LemuE (3.8).

K;/K;,, soit P;-divisible et sans P;-torsion pour 1j +1 (j désignant un entier

Soit Gun groupe, (K;) une suite centrale finie dans G telle que

positif Jixe). Soit à un automorphisme de G tel que :

(A): pour tout t et tout xEK;, 4x.x "EK;.; [ou resp. (B) pour tout xEeG, ax.xæ ‘EK;,, et, pour tout 1 et iout xEK;, ax.xe Ko

Alors st n[P;,,, d existe un automorplusme $ de G et un seul vérifiant (A)

resp 0B) lrertelaquetre ce

Démonstration. — Soit c la longueur de la suite centrale (K;), c'est-à-dire l’entier c tel que K,.£(1) et K:,,—(1). Notre démonstration va procéder par récurrence sur c. Remarquons d’abord que si c 7, la condition (A) [resp. (B)] implique que x et 5 sont l’automorphisme identique, et la proposition est triviale. Nous allons donc supposer c==7+1, et la proposition démontrée pour les suites de longueur strictement inférieure à c.

° Considérons le groupe G*— G/K; avec sa suite centrale (K;) définie par K/—=K;Kpour 1 <ic—1,et K=@)pourc=c. La longueur de (KR est au plus c — 1; l'automorphisme x conserve K, et définit done un automorphisme #° de G*. Nous voyons immédiatement que les conditions imposées à (K;) et & sont satisfaites dans le groupe G* pour (K°) et à*. Il existe un automorphisme B* de Get un seul, vérifiant (A) [resp. (B)| par rapport à (K’) et tel'que (5)= à*.

Considérons le groupe K, avec sa suite centrale (K;), où K:—K;,,. (K;) est de longueur c — 1, La restriction de x à K, vérifie la condition (A) [resp. vérifie la condition (B) en remplaçant ; par Sup(y—1, 1)]. Dans tous les cas, les hypothèses faites sur G, (K;) et.x sont vérifiées pour K,, (K;) et la restriction de x. Il existe donc un automorphisme y de K, et un seul, vérifiant (A)[resp.(B) modifiée | et tel que y” coincide avec la restriction de x.

(15) Les A! sont eux-mêmes ordonnés par inclusion.

res

Considérons enfin le groupe K,/K.— K;, avec sa suite centrale (K;°)(!*), de longueur <c — 2. Les hypothèses du lemme sont vérifiées pour K°, (K;'}et la restriction de x* à K;. Nous déduisons donc de notre hypothèse de récurrence (concernant |’ unicité ) que la restriction de $* à K° coincide avec +* (obtenu à partir de y par passage aux quotients).

Nous allons chercher à établir l'existence d'un automorphisme 5, de G conservant K, et tel que l’automorphisme 5° de G* obtenu par passage aux quotients coincide avec 5*. Nous commençons par choisir une application 6, de G dans lui-même telle que la classe modK, de 5,(x) ne dépende que de la

classe modK, de +, et que l'application 8° de G* dans lui-même associé à B,

coincide avec $* : cela peut se faire, par exemple, en choisissant un système

de représentants pour les classes de G modK.. Le fait que B* soit un automorphisme implique :

Pi(xy)=Bi(z)Bi(y)s(a, y), où reGyeG, g(x, y)ek. Si l’on modifie généralement le choix de B,, on devra remplacer 6,(x) par r)=Bi(x) f(x), où / désigne une application quelconque de G dans K.. Alors,

Pi (zy) = Bi (x) FC) = Pi(x) ss se 8x, J)J (2, 7)

1(2)81()8 (x, Ce, PC) ON.

Nous avons utilisé le fait que K. est contenu dans le centre de G. Ainsi g(x, y) se trouve remplacé par g(x, y)f(æy)f(æ) *f(y)". Or, nous voulons rem- DEGENE o(x, y) par 1. B(x) peut donc être choisi parmi les automorphismes de G si et seulement s'il existe /:G > K, telle que

sta r)= fa) NT 7e

Remarque. — En calculant de deux manières différentes B,(xyz), nous verrions que, quel que soit l’automorphisme 5° de G/K, que nous cherchons à «remonter » dans G,

ue) (0 a (Nr) (TV) Tr.

G* définit donc un élément du second groupe de cohomologie H?(G/K,, K;) qui doit être nul. Le résultat s’interprète facilement dans le langage de la cohomologie : le groupe des automorphismes de G/K, opère (à droite) sur H?(G/K,, K,) et l'élément de H?(G/K,, K.) correspondant à l’extension G doit être invariant Pari

3° Supposons que nous ayons pu choisir 5, de telle sorte que f, coïncide

(13) K = Kia.