TES

avec y sur K, et que g(x, y) ne dépende que des classes de x et de y modK.

e Alors ARC) ER ACC) EE el Bitxy) = Bi(x)Bi(y)

si æ où y appartient à K.,. Étudions les puissances de B;, Bi(æy) = Bi(Bite)B(rete 7) = Bi(Bi(r)Bitr))s (a) (æ)B4 (: on Bity))gtæ, »)- Mais G,(æ)x *ek, et B,(y})y ‘EK:. Donc s (Pate) Bi) = (27) 0 Men ee) ONE 0 Par une récurrence évidente, on démontre que Bi(æy)—=Bi(x)Bi(r)8 (x; >y, pour tout entier positif r. Mais l’automorphisme à vérifie «(x)=f(x)/(x), où f est une application de G dans K.. Nous en déduisons, d’après ce qui précède :

82, PJ} = JS (x) SI) S(aT K. est abélien, sans P;,,-torsion et P;,,-divisible. Il existe donc une application déterminée /’ de G dans K, telle que HOT CAN RE in —

ce qui nous permet de choisir pour 5, un automorphisme de G.

4° Si B, coincide avec y sur K,, et sig(x, y) ne dépend que des classes modK, de x et de y, nous avons pour x€eG, yEK, :

BiCæy) = Bi(x)Bi (8 Ce, 7) = Bitæ)y (ge, D = Bi(æ)y (0). De même :

Batyæ) = y) Bi (æ).

Nous allons d’abord chercher à vérifier la première relation. Soit xeG, x &K;: choisissons arbitrairement B,(x). Alors tout élément de xK, s'écrit univoquementsous la formexy,avecy € K;,etnous devrons prendre Bi(æy)—= Bi(æ) y). Nous aurons alors

Pitæyy') = Bite) or) = Bite) ro), error) c'est-à-dire que la première relation sera vérifiée sur la classe æK,. Cherchons si, de plus, la deuxième relation peut être vérifiée : nous avons certainement

BiCrx) = ty) B1tx)0 (mr),

où désigne une application de K, dans K,. On voit immédiatement que Ü ne dépend pas du choix de B,(æx) [une modification de ce choix conduit à multi-

ENCUR

plier tous les B,(æ) par un même élément de K, quand x parcourt la classe modK, considérée]. De même, Ü(y) est indépendant du choix de x comme représentant de la classe æK,, car

Bite) =) 1") = Bt Mr =

Y(r)6:.(x7)0(%) pour »7,Y'€ekK2.

Ainsi 0 ne dépend que de 5° et de y, et nous devons montrer que Ü(y)—1.

Nous savons que 0 est un A A en effet :

Bay x) y (y) Br) OC. VIS AE Ca =) GA Cr d’où 0er F)

Cherchons à calculer les homomorphismes 0 correspondant aux puissances 5° Nous avons

Biz) = Bi(y(7) htr))= BiCr Y) Ba (< 200) = 1(&)0(Y(7))0 (y).

Par une récurrence évidente, nous parvenons à

BNC). 87).

Bi (yæ) =

Mais l’homomorphisme 6 associé à Bet +” doit être égal à 1, puisque le problème qui nous occupe admet comme solution l’automorphisme x. Ainsi

BCE 7) ...0( 7) 1

Supposons démontré Ü(y)—1 pour yEeK:.,, ce qui est évident pour: —c, et montrons que 0(y)—1 pour yEK;. Nous avons pour toutentier r

puisque, pour yEK;, y ‘y”'(y)ek;,. Ainsi, pour yEK,;, 0(y)'—71, ce qui implique 0(y)—1. Finalement nous parvenons à Ü(y)—1 pour tout yeK;, et nous pouvons construire un automorphisme 6, de (x, coincidant avec y sur K,, et tel que B =

5° Formons maintenant l’automorphisme «5," de G. Si nous posons

LOC T0! En

nous voyons que 2(æ)EK. pour tout +€EG, et que (x) —1 pour tout x EK.. Alors ErOCEM= 20m) MO(MELrOæ) 07)

Ainsi à est un homomorphisme de G dans K.. Nous déterminons univoquement 2'(+) par la condition

(9 (a) 02): d(x)eK.….

Alors B,(x)—x2 (x) représente un automorphisme de G qui permute avec l’automorphisme B,, car d'(æ)=1 pour xEK,; nous avons

BrrY== AE BÔ(Æ)= db; (r))

Posons donc 3—6,8,; B est un automorphisme de G répondant à toutes les conditions du lemme. Si G' est un autre automorphisme vérifiant ces conditions, nous avons GAS (ri Det) où ©’ représente un homomorphisme de G dans K,, tel que d'(x) —1 pourxeK:. Ainsi 6 et 5’ permutent et (EN dem Aa æ(à (x je LA pour tout € G, ce qui implique DGA el ÉD

Remarque. — Si l’on suppose que x vérifie (A) et que B vérilie la condition plus faible (B), on en déduit facilement que 6 vérifie la condition (A). De même, si y est un élément de G invariant par &, y est invariant par 5.

LEMME (3.9). — Soit G un groupe, (K;) une suite centrale (resp. N-surte) finie dans G telle que K;/K;., soit sans P;-torsion pour tout 1, et P;-divisible pouri +. Soient yEK;, peP;tels qu'il n'existe pas d’élément x dans K; avec x?" = y. Alors 'existe une extension G' de G et une suite centrale (resp. N-suite) finie (K;) dans G', les conditions suivantes étant vérifiées :

1° K:NG—= K; pour tout 1; 2 K—=K;pouri j+1; D) SRE, k ! Û 0 E ND E f RER RS Dora ts Er ! 2 7 21:

4° Enfin, K; est engendré par K; et un élément x tel que x! = y.

Démonstration. — Soit à l’automorphisme z -> y 'z:y de G; à vérifie la condition (B) de (3.8) dans le cas de la suite centrale, la condition (A) dans le cas de la N-suite. Nous construisons, conformément à (3.8), l’automorphisme ÿ de G vérifiant la même condition que «, et tel que = «. La relation «(y)— y implique $(y)= y. Cela nous permet de construire un groupe G' contenant G comme sous-groupe invariant, le quotient G'/G étant cyclique d'ordre p et engendré par la classe modG de xeU', avec x/— y; de plus, pour :€G, æ "zx = f(z). Il nous suffira pour cela de prendre sur l’ensemble des couples (7, z), où » parcourt l’ensemble des entiers et z parcourt G, la loi de grOUpe(r. a )(n 20 (0 AN B"(3)3'). Puis nous prendrons Je quotient de ce groupe par le sous-groupe central engendré par (p, y=!). Nous identifierons 3€ G à la classe de (o, z), et nous définirons + comme la classe de (is) Nous définirons dans G' une suite de sous-groupes (K;) en posant K:—K,;

Ur Ve

pourri +1et K,—{K;, x} pour 11, {K;, x} désignant le sous-groupe engendré par K; et x. Les conditions (1° à 4°) de l'énoncé se vérifient immédiatement. Il reste à montrer que (K;) est une suite centrale (resp. N-suite) dans G’. Pour cela on remarquera que (K;) est en tout cas une suite de sousgroupes invariants de G', et l’on calculera le commutateur (23, +"z) en s'appuyant, par exemple, sur la formule

(Gb Cd) (bb e)(a, cb, dead er. (tx) chap. I

et en tenant compte de ce que l’automorphisme intérieur z = +247! vérifie la condition (B) (resp. A).

Remarquons que, pour 1 £7, K;/K,., s'identifie à K;/K;,,, K/K,, réduit à l'élément neutre. Le quotient K'/K;K,, est cyclique, d'ordre p, avec pEP;, et l’on démontre immédiatement que K°/K;,, est une extension cyclique, sans P;-torsion, de K;/K;,,1.

Le lemme (3.9) établit précisément le résultat qui nous manquait pour affirmer l’existence d'une (P;, K;)-complétion :

TRE OtANTt

Taéorèue (3.10). — Sort G un groupe, (K;) une sutte centrale (resp. N-suite) Jinie dans G telle que, pour tout 1, K;/K:,, soit sans P;-torsion. Alors, G admet une (P;, K;)-complétion, c’est-à-dire une extension G munie d'une suite centrale (resp. N-suite) finie K, de telle sorte que, pour tout 1, K:— K:nG, K;K;,1 sott sans P;-torsion et P;-divisible et que K;K, K;., soit un groupe de P;-torsion. Cette (P;, K;)-complétion est unique à un isomorphisme près conservant les éléments de & (°°).

Démonstration. — Supposons que l’existence de la (P;, K;)-complétion ait été démontrée lorsqu'on impose à G,(K;) la condition supplémentaire que K;/K;., est P;-divisible pour £ == 7 (ce qui est évident pour y — 1, le groupe G coincidant avec sa complétion). Prenons un groupe G et une suite centrale (resp. N-suite) finie (K;) dans G telle que K;/K;,, soit sans P;-torsion pour tout #, et P;-divisible pour © +1. Alors le lemme (3.9) et les développements qui suivent la définition (3.7) montrent l'existence d’une extension G' de G munie d’une suite centrale (resp. N-suite) finie (K;) telle que, pour tout 7, K;=GnNK,, K;/K,;., soit sans P;-torsion, K/K;K,., soit un groupe de P;-torsion et qu’enfin, pour tout : ==, K/K,,, soit P;-divisible. La (P;, K,)-complétion de G', qui existe d’après notre hypothèse de récurrence, fournit la (P;, K;)-complétion de G

(2) M. Serre m'a communiqué une nouvelle démonstration de ce théorème, après avoir pris connaissance de ma rédaction. La méthode de M. Serre revient à remplacer le lemme (3.8) par l’utilisation de la suite spectrale d’une extension de groupe (cf. G. Hocnseup et J. P. Serre, Trans. Amer. Math. Soc., t. 74, 1953, p. 110-134). Bien que M. Serre soit parvenu ainsi à un résultat plus fort, j'ai préféré laisser à mon exposé son caractère élémentaire en conservant ma démonstration

originale.

Loue

cherchée. L’unicité de cette complétion, à un isomorphisme canonique près conservant les éléments de G, résulte du théorème (3.6).

Remarque. — Dans la (P;, K;)-complétion G de G, chaque sous-groupe GK;,: est invariant dans GK;. Par contre, G n’est pas, en général, un sous-groupe

invariant de G.

Extension des théorèmes précédents aux N-groupes. — Nous allons indiquer quelles modifications dans les énoncés introduit la substitution de suites séparantes de sous-groupes aux suites finies qui interviennent dans les théorèmes de ce paragraphe.

(3.11) Si, dans la démonstration du théorème (3.2), on remplace (H;) par une suite séparante, en conservant la définition des sous-groupes L;, la même démonstration montre que (L;) est une suite centrale (resp. une N-suite), que L;/L;., est sans P;-torsion que L;:3H; (pour tout :) et enfin que (L;) décroit le plus vite parmi toutes les suites possédant cette propriété. Par contre :

[A pe [A F,

est, en général, différent de (1). Si, par exemple, nous prenons pour chaque P; l’ensemble de tous les nombres premiers et pour (H;) les groupes de dimension modp(G;,) d’un groupe libre G, L;— G pour tout ;, bien que (G;,) soit séparante et chaque G;, sans torsion. Il faut donc poser comme condition sup-

plémentaire A F;— (1) pour obtenir une suite séparante (L;).

PHÉORÈME (3.12). — Sou Gun groupe, G' un sous-groupe de G, (K;) une suite centrale séparante dans G telle que, pour tout 1, K;/(K:NG')K;,, soit un groupe de P;-torsion. Soient W un groupe, (L;) une suite centrale séparante dans M, telle que H soit (L;)-complet et que, pour tout 1, LifL:,, soit P;-divisible et sans P;-torsion. Soit enfin, f un homorphisme de G' dans H tel que, pour tout i, f(G NAK)EL:. Alors, existe ur homomorphisme g et un seul de G dans H, prolongeant f et tel que g(K;)C L; pour tout 1.

Démonstration. — Par hypothèse, H s'identifie à la limite projective de ses quotients H/L;, munis de leurs homomorphismes naturels [puisque (L;) est séparante et H(L;)-complet]; d'autre part, G s’identifie à un sous-groupe de la limite projective de ses quotients G/K; munis de leurs homomorphismes naturels [puisque (K;) est séparante]. Alors, le théorème (3.6) montre qu’on peut, pour tout z prolonger d’une seule manière l’homomorphisme de G dans H/L,; obtenu en composant avec f l’homomorphisme canonique de H sur H/L

Plus précisément, on écrira le diagramme commutatif suivant (?!) :

G/K, <- G/K: nt G/K; = G/Ki,: a 0

À À CIC RSC NS) NM ONG RES GC nK eric ( | | \/

CARTE PL US Se CUITS à di «ec cl

D’après le théorème (3.6), il est possible, d’une manière et d’une seule d'introduire dans ce diagramme, sans détruire sa commutativité, des homomorphismes g;:G/K;— H/L;. L'existence et l’unicité des homomorphismes 2; entrainent immédiatement l'existence et l’unicité d’un homomorphisme g de &, dans H répondant aux conditions de (3.12).

THÉORÈME (3.13). — Soit G un groupe, (K;) une suite centrale (resp. N-suite) séparante dans G telle que, pour tout 1, K;/K;,, soit sans P;-1orsion. Alors, G admet une (P;, K;)-complétion, c’est-à-dire une extension G munie d’une suite centrale (resp. N-suite) séparante (K;) de telle sorte que G soit (K;)-complet et que les conditions suivantes soient vérifiées pour tout 1: K;= K:nG, KyK;: est P;-divisible sans P;-torsion, et K;K;K;. est un groupe de P;-torsion. Cette (P;, K;)-complétion est déterminée à un isomorplusme canonique près conservant les éléments de G.

Démonstration. — G s'identifie à un sous-groupe de la limite projective de ses quotients G/K;, munis de leurs homomorphismes naturels. Nous pouvons, d’après (3.10) construire les (P;, K;K;)-complétion des groupes G/K;. D'après (3.6), il existe des homomorphismes de ces groupes les uns sur les autres qui prolongent les homomorphismes naturels des groupes G/K;. Nous

pouvons donc construire la limite projective G des (P;, K/K,)-complétion des groupes G/K,, et introduire dans G la suite centrale (resp. N-suite) K; de telle sorte que la (P;, KÿK;)-complétion de G/K, s’identifie à G/K;- On vérifie alors immédiatement que G muni de sa suite centrale (resp. N-suite) séparante (K;) est une (P;, K;)-complétion de G. L'unicité de G à un isomorphisme canonique près résulte de l’unicité dans le cas d'une suite finie (3.10) ou encore du théorème (3.12).

4. GROUPES NILPOTENTS ET N-GROUPES DÉFINIS PAR LA FORMULE DE HAUSDORFF, — Nous conservons les notations antérieures; (V;) désignera, dans ce paragraphe, la suite d’ensembles de nombres premiers obtenue en prenant pour V; l'ensemble de tous les nombres premiers ti. Comme précédemment, Q; désigne l’anneau

(21) Pour la définition et l'usage de tels diagrammes, c/. ÉILENBERG-STEENROD, Fundations of algebraic Topologr (Princeton ).

3 , TE . FES 2 E 3 ; des nombres rationnels de la forme AU entier, »2/V;). V, désignera | ensemble

de tous les nombres premiers; selon l’usage, nous parlerons de groupes sans torsion, de torsion, divisibles, au lieu de groupes sans V-torsion, de V,-torsion, V,-divisibles. Par contre, pour éviter une équivoque, nous serons obligés de parler dela (V,, K;)-complétion lorsque, dans la définition (3.37), P:=V, pour tout z.

(4.1). Caractérisation des anneaux de Lie Let M à partir du groupe libre G. — Considérons, comme au paragraphe 1, l’algèbre de Lie libre complétée à coeflicients rationnels L, engendrée par les générateurs indépendants (æ,),6,. Nous avons vu qu'en définissant sur L une structure de groupe par la formule de Hausdorff, les (x,) engendrent un groupe libre G. En posant G;=GNL:; où L; désigne l’ensemble des éléments de L d'ordre ==7, on obtient la suite centrale descendante de G. Nous savons de plus que, pour tout #, Li/G;L;,, est un groupe de torsion, que L;/L;,, est divisible et sans torsion (c’est un espace vectoriel sur le corps Q) et que G;/G;., est sans torsion (c’est un groupe abélien libre). Si nous appliquons le théorème (3.13), nous voyons que L peut être défini, à un isomorphisme canonique près conservant les éléments de G, comme sa (V,, G;)-complétion.

Considérons maintenant, comme au paragraphe 2, l'anneau de Lie MCL. En posant M—MAL,; (?°?), (M;) est une N-suite dans M, M est (M;)-complet, M;M;,, est V;-divisible et sans V;-torsion pour tout &. Enfin, pour tout £, M}G;M;,, est un groupe de V;-torsion. Toutes ces propriétés résultent immédiatement de la définition de M. Alors, d’après (3.13), M peut être défini à un isomorphisme canonique près conservant les éléments de Gcommela(V;,G;)-complétion de G.

Ces définitions de L et de M à partir d’un groupe libre G justifient les notations L(G) et M(G) que nous utiliserons pour les désigner.

JERE=SE et 1e

;P:] pour tout & Tout comme dans le cas des groupes, on à [En LC Esy;a pouritous ty.

Nous pouvons, plus généralement, définir dans £ la notion de suite centrale (resp. N-suite) d’idéaux, ainsi que la notion de suite finie ou séparante, Cherchons à déterminer à quelles conditions doit satisfaire £ pour qu'il soit possible

(2?) Signalons que (M;) n’est pos la suite centrale descendante de M, ni son adhérence.

AÉNRTES

d'y définir, au moyen de la formule de Hausdorff, une loi de groupe. La difficulté est double : d’une part, la formule de Hausdortf

RON EE a at . A ÿ4] Pme

apparait comme une série infinie, qui devra donc converger dans L au sens d’une certaine topologie; d'autre part, la formule de Hausdorff ne fait pas seulement intervenir les opérations de l’anneau de Lie, mais aussi des multiplications x > Àx, où À€Q, x EF, qui n’ont aucun sens dans un anneau de Lie quelconque. Nous allons seulement indiquer une catégorie d'anneaux de Lie où l’on peut appliquer la formule de Hausdorff, sans chercher à discuter ici un problème dont l'énoncé même est trop imprécis.

THÉORÈME (4.2). — Sou Sun anneau de Lie, (H;) une suite centrale séparante d’idéaux dans #, telle que 8 soit (M;)-complet et que, pour tout 1, H;M;,, soit N;-divisible et sans N;-torsion. Alors, il est possible de définir univoquement sur $ une structure de groupe au moyen de la formule de Hausdorff, en convenant de choisir dans M; les termes de degré total à en x et y (pour tout 11). Avec cette nouvelle structure de groupe, (M) reste une suite centrale et les deux groupes ;/H,;., définis à partir de la structure de groupe abélien de 8 et de sa nouvelle structure de groupe coïncident (en tant que groupes de classes).

Démonstration. — D'après (3.3), H:est V;-divisible et sans V;-torsion pour tout :. Autrement dit, nous pouvons considérer H; comme un Q;-module, en posant

VTT SN SF LIL Ne: SN re 7).

Le produit d’un élément x de © et d’un nombre rationnel À se trouve ainsi bien défini, à condition qu’il existe un indice r tel que € Q;, x eH;. Or, puisque (H;) est une suite centrale d’idéaux dans #, tout alternant de degré total z appartient à H;. Si nous prenons soin de représenter la composante homogène de degré t dans la formule de Hausdorff, comme une somme d’alternants de degré : multipliés par des éléments de Q;, nous voyons qu'on peut calculer anivoquement

D RS 1 fl cette composante dans #. La série y —x+7y +12, 7]+... converge quels

que soient æ et yE ©, puique # est supposé (H;)-complet. Il reste à montrer que nous obtenons bien une structure de groupe. Nous pourrions, pour cela, construire un homomorphisme de Panneau de Lie M(G) sur ©, G désignant un groupe libre convenable [cf. la démonstration de (4.3)]. Mais nous pouvons raisonner directement. Six, y, z sont trois éléments quelconques de ©, nous calculons (æy)z—x(yz), en remarquant que chaque H; est non seulement un Q;-module, mais une Q;-algébre de Lie : (xy)z— x(yz)se ramène ainsi à une somme d’alternants en +, y, z multipliés par des scalaires rationnels. Or,