MAGIE

nous pouvons choisir ces alternants parmi une certaine famille qui, au cas où le sous-anneau de Lie engendré par +, y et z serait libre, en constituerait une base (cf., par exemple, l'algorithme de M. Hall[7]). Mais, la propriété fondamentale de la formule de Iausdorff nous montre que les coefficients des alternants considérés sont alors tous nuls, puisque une Q-algèbre de Lie libre contient l'anneau de Lie libre engendré par ses générateurs indépendants (autrement dit : un anneau de Lie libre est sans torsion). Nous avons donc

défini univoquement sur # une structure de groupe, que nous notons multiplicativement. Les relations

(x, y)elx, 7]+,: si æou yEH;, æ2yEx + y +H,;,; si æouyeh, s'établissent immédiatement, ainsi que la relation

æH;=zx+H; pour toutref el COUDES

ce qui achève la démonstration.

L'intérêt principal du théorème (4.2) provient de l’existence de sa réciproque :