THÉORÈME
On suppose que G est (H;)-complet et que, pour tout 1, H;H;., est V;-dieisible et sans V;-torsion. Alors, étant donné deux éléments quelconques x et y de G, l'existe
Soit Gun groupe, (M;) une suite centrale séparante dans G.
une suite (a;) d'éléments de G et une seule telle que a; EM; pour tout t et que
LME CANON Ce
pour tout entier t, le produit convergeant au sens de la (H;)-topologie. Sr l’on pose
+ Y = An, ÊS BAPE
on définit sur G une structure d'anneau de Lie. On retrouve la structure de groupe de G en appliquant, dans l'anneau de Lie défini sur G, le procédé du théorème (4.2) avec la suite centrale (M;).
Démonstration. — Soit G' un groupe libre, / un homomorphisme de G’ sur G, (G,) la suite centrale descendante de G'. Désignons par M une (V;, G;)-complétion de G' que nous considérons, d’après (4.1) à la fois comme un groupe et comme un anneau de Lie. Puisque (H;) est une suite centrale, /(G)CH; pour tout v. D’après le théorème (3.12), il existe un homomorphisme £ et un seul de M sur G, qui prolonge f et qui vérifie 2(M;) CH.
Soient æ, y deux éléments quelconques de G, Ë, n des éléments de M tels que g(6)= x, g(n) = y. Alors, d'après (1.5), (2.4) et (2.6), il existe dans M une suite d'éléments (2;) telle que 4: € M; pour tout r et que, pour tout entier t :
RAC ANS ee A de O1
Lee
De plus,
U—=E+"N el a
Puisque g(M;)CH;, g(a;)—a;eH; pour tout z. Appliquons l’homomorphisme g : pour tout entier 4, et pour tout r=1,
TR A RTE (mod H;,,), c'est-à-dire que
A AA Ne
D'après (1.6) et (1.7c), la suite (a;) est univoquement déterminée dans G par la donnée de x et y. Par conséquent, 4, et a; sont des fonctions déterminées de æ et y, et nous pouvons poser
L+Y=A el 6 7
Alors,
Ace) = AE) 200) el g(lé n)D=[f£E);g(n)],
Le
pour tous &, n€M. Il est bien connu que toute structure algébrique quotient d'une structure d'anneau de Lie par une relation d'équivalence compatible avec les opérations, est une structure d’anneau de Lie. G devient ainsi un anneau de Lie, et g est un homomorphisme de M sur G à la fois pour les structures de groupe et d’anneau de Lie.
Dans l’anneau de Lie M les formules d’inversion (2.8) permettent de calculer la somme et le crochet de deux éléments; aucune difficulté ne provient des puissances fractionnaires qui sont univoquement déterminées dans M. Si l’on utilise l’homomorphisme g de M sur G, on voit que les mèmes formules d’inversion permettent de calculer la somme et le crochet de deux éléments de G. Mais, il est nécessaire de faire une convention, analogue à celle du théorème (4.2): pour tout #, le sous-groupe H; de G est Vi-divisible (3.3). Il faut alors convenir que toute puissance z" intervenant dans les formules (2.8)[ou dans des formules plus générales, cf. (2.0)] doit ètre choisie dans H; si EH; (pour tout :).
Au moyen des formules (2.8), on démontre immédiatement que (H;) est une suite centrale d’idéaux dans l’anneau de Lie L. L’homomorphisme g montre alors que la structure de groupe de G se reconstitue à partir de sa structure d’anneau de Lie par le procédé (4.2), en utilisant la suite (H;).
La structure d’anneau de Lie définie sur & ne dépend évidemment que de la structure de groupe de G et du choix de la suite centrale (H;).
CoRoLLAIRE (4.4). — Sorent G et G' deux groupes, (H;) et (H;) deux suites centrales dans G et G! respectivement, vérifiant les conditions de (4.3). Alors, st f est un homomorphisme de G dans G' tel que f(M;:) CH; pour tout 1, f est en méme temps un homomorphisme pour les structures d’anneaux de Lie de G et Gr.
La démonstration résulte immédiatement de l'énoncé de (4.3).
