LITRES

Remarque. — Si nous appliquons le corollaire au cas où G—G' et où / est l'identité, nous voyons que deux suites (H;) et (H,) satisfaisant aux conditions de (4.3) définissent sur G& la même structure d’anneau de Lie, si, pour tout :, H; CH.

Nous allons appliquer cette remarque au cas des groupes de torsion et des groupes sans torsion.

LemmE (4.5). — Pour qu'un groupe de torsion G possède une suite (H;) vérifiant les conditions (4.3), il faut et il suffit que G soit un produit direct de p-groupes, chacun des p-groupes étant de classe strictement inférieure à p. Dans ce cas, la suite centrale descendante de G répond à la question.

Démonstration. — Puisque (H;) est une suite centrale séparante, G doit être un N-groupe de torsion; G est donc le produit direct de ses p-sous-groupes de Sylow. Si (G;:) est la suite centrale descendante de G, G:; doit être sans V;-torsion, puisque G;CH; (pour tout #), d'après (3.2) et (3.11). Or, ilest évident, que si G est un p-groupe, G; ne peut être sans V;-torsion pour un entier pp que si G;—(1). La condition de (4.5) est donc nécessaire.

Si, réciproquement, elle est satisfaite, G;/G;,, est un groupe abélien de torsion sans p-composantes, pour tout p premier 24. On sait alors que G;G;., est V;-divisible et sans V;-torsion.

Comme la suite céntrale descendante de G décroit plus vite que toute autre suite centrale, le corollaire (4.4) montre que la structure d’anneau de Lie définie sur G par une suite (H;) vérifiant les conditions de (4.3) coincide avec la structure d’anneau de Lie définie par (G;). Par conséquent, cette structure d'anneau de Lie est caractéristique, c’est-à-dire ne dépend que de la structure de groupe. L’anneau de Lie & se décompose en un produit direct de p-anneaux de Lie, c’est-à-dire d’anneaux de Lie, qui sont des p-groupes si on les considère comme des groupes abéliens. Ces p-sous-anneaux de Lie de G coincident avec les p-sous-groupes de Sylow de G. Aussi allons-nous nous borner désormais à la considération des p-groupes; les théorèmes généraux sur les groupes de torsion considérés s’en déduisent en formant des produits directs.

La somme et le crochet de deux éléments x et y d’un p-groupe G de classe inférieure à p peuvent se calculer au moyen des formules d’inversion (2.8). Les exposants fractionnaires qui interviennent appartiennent tous à Q, ;.

. \ le L r. n , .

Soient EG, æ/ —1, njV,,, rez: pour calculer +”, nous déterminons

deux entiers À et p: tels que An + pp'=—r, etnous posons x" — à”. Il en résulte

que +" est une puissance entière de x. Pour avoir une formule indépendante

: ie 7 : ; ë de À, 1l nous suffit d'écrire “ee Q,, comme un entier p-adique :

Trot

où tous les coefficients a; sont des entiers. Alors, pour donné, on peut ! SRE prendre À — = ;a;p', d’où la notation Rene . Ces remarques montrent que, dans le cas d’un p-groupe de classe inférieure à p, tout sous-groupe est en même temps un sous-anneau (et réciproquement, comme le montrent les mêmes considérations appliquées à la formule de Hausdorff dans un p-anneau de Lie). De plus, pour définir la structure d’anneau de Lie sur un p-groupe G, il n’est pas nécessaire de supposer que G soit de classe inférieure à p : il suffit que tout sous-groupe engendré par trois éléments de G soit de classe inférieure à p. En effet, pour calculer la somme et le crochet de deux éléments æ, y de G, il nous suffit d'appliquer les formules d’inversion en supposant que x et y engendrent un sous-groupe de classe inférieure à p. Pour vérifier que nous obtenons bien un anneau de Lie, il nous suffit de montrer que les identités génériques (distributivité, identité de Jacobi, etc.) sont satisfaites : or, elles ne font intervenir que trois éléments génériques de G. Elles sont donc satisfaites si tout sous-groupe à trois générateurs est de classe inférieure à p. Le même raisonnement montre la possibilité d'appliquer la formule de Hausdortf dans tout p-anneau de Lie dont chaque sous-anneau à trois générateurs est de classe inférieure à p.

La condition imposée aux sous-groupes à trois générateurs ne résulte pas de la même condition imposée aux sous-groupes à deux générateurs, qui suffit pourtant pour calculer x + y et[x, y | ainsi que pour démontrer

LEVYZ=Y + 2, STI DIEr ral

(c'est-à-dire les identités génériques à un ou deux éléments). Comme contre exemple, on peut prendre le groupe générique à trois générateurs où tout élément æ vérifie x'=1 (cf. chap. I, $ 1 et [20]). De même, un p-groupe dont tous les sous-groupes à trois générateurs sont de classe <°p, n’est pas nécessairement de classe << p. Il suffit, d’après ce qui précède, de donner un exemple pour les p-anneaux. Or, on peut construire une algébre de Lie, de dimension 91 sur le corps Z, des entiers modulo 5, qui est engendré par quatre générateurs, qui est de classe 5, et dont toutes les sous-algèbres à trois générateurs sont de classe au plus égale à 4 (?*).

Nous pouvons donc énoncer valablement le :

Tuéorème (4.6). — Chaque p-anneau de Lie, tel que tout sous-anneau à trois générateurs soit de classe inférieure à p, est porteur d’une structure de p-groupe, définie par la formule de Hausdorff. Réciproquement, chaque p-groupe tel que tout sous-groupe à trois générateurs soit de classe inférieure à p, est porteur d’une structure de p-anneau de Lie, définie au moyen des formules d’inversion (2.8) de la formule de Hausdorff. Pour les structures considérées, les notions

(23) La construction, un peu longue, est exposée au paragraphe 9.

de sous-groupe (resp. sous-groupe invariant) et de sous-anneau (resp. déal) coincident, ainsi que les notions d'homomorphisme de groupes et d’homomorphisme d’anneaux de Lie (?*).

Ce résultat constitue apparemment l’exemple le plus simple d’une correspondance entre certaines structures de groupes et d’anneaux de Lie.

Nous allons maintenant étudier les groupes nilpotents sans torsion, et retrouver les résultats de Malcev [26], [27].

Soit Gun groupe nilpotent sans torsion, (G;) sa suite centrale descendante. Alors, d’après le théorème (3.2), il existe dans G une N-suite finie (H;) dont les quotients H;/H;,, sont sans torsion, et qui décroit le plus vite parmi toutes les suites centrales de G& possédant cette propriété. La démonstration de (3.2) se simplifie considérablement, et les sous-groupes H; peuvent ètre ainsi définis : Soit xeG; alors, æxEH;, si et seulement s’il existe un entier no, tel que x"ÆeG:;. Nous appellerons (H;) la suite rectifiante de G. La suite rectifiante (H;) possède donc les propriétés suivantes : c’est une N-suite; si c est la classe de G, H,,—= (1); H;/H;,, est sans torsion pour tout 7, et si (K;) est une suite centrale dans G dont les quotients sont sans torsion, K; 3H; pour tout z. Si Get G’ sont deux groupes nilpotents sans torsion, (G;) et (G,) leurs suites centrales descendantes, (H;) et (H;), leurs suites rectifiantes, et enfin, f un homomorphisme de G dans G’, alors, /(H;)CH; pour tout z. Nous savons, en effet, que /(G;)CG;; alors six €eH;, <0,2"€eG;,

f(x = f(ar)ef(G)cG, d'où Je:

Si G est un groupe nilpotent sans torsion et divisible, tous les sous-groupes de sa suite rectifiante sont divisibles (3.34).

Définition (4.7). — Soit G un groupe nilpotent sans torsion. Nous appellerons « complétion de Malcee » de G une extension G’ de G qui devra être un groupe nilpotent sans (orsion et divisible, et vérifier la condition suivante : si æ€ Gr, il existe un entier x -£ o tel que x"eG.

On remarquera que cette définition ne fait pas intervenir de suites de sousgroupes dans les groupes considérés. Sa légitimité va résulter du :

fe eme) USE : ne F à ; 2

luÉORÈME (4.8). — Un groupe nilpotent sans torsion G, possède une complétion de Malces G', qui est déterminée à un isomorphisme canonique près, conservant les éléments de G.

Démonstration. — Soit (H;) la suite rectifiante de G. Construisons, conforee

(2*) L'existence d’une correspondance biunivoque entre p-groupes finis de classe inférieure à p et p-anneaux finis de classe inférieure à p avait été indiquée par Magnus [23] avec une esquisse de démonstration plutôt sommaire. J'ai abouti indépendamment au même résultat que je n’ai pas vu mentionné dans la littérature ultérieure.

RARE Me

mément à (3.10), une (V,, H;)-complétion de G, soit G, (H;). Alors G est un groupe nilpotent (plus précisément un groupe de même classe que G); il est sans torsion (3.3b) et divisible (3.34). Soit xe G; supposons déjà trouvé un entier nr <0 tel que æ"— gy, où 2eG, 7e H,. Alors, puisque H;/H;H,,, est un groupe de torsion, il existe »/<o tel que y"EeH;H;.,. Mais y est central modulo H;,,, ce qui montre que (gy) eg" y"H;. AinsizeGH,, et lon voit que G est une complétion de Malcev de G.

Soit maintenant G’ une complétion de Malcev de G, H; la suite rectifiante

de G’. Alors, H;=GnHcCcGNE, puisque (GNH;) est une suite centrale à quotients sans torsion.

Les groupes H}H;,, sont divisibles et sans torsion. Nous pouvons donc appliquer (3.6), qui nous montre l'existence d’un homomorphisme / de G dans G' conservant les éléments de G | et tel que /(H;) CH pour tout £ |. Montrons que

f est un isomorphisme de G sur G', et que si g est un homomorphisme de G dans G’, conservant les éléments de G, il coïncide nécessairement avec f. Soitxe G, æ 1; alors il existe n <o tel que x” G. Puisque Gest sans torsion, æ"<1. Alors,

ce qui montre que f(x) <1; de plus, /(æ)"= g(x)"', ce qui implique Î(æ)=8 (2),

d'après (3.30). Enfin, si yeG’, il existe » <o tel que "EG; puisque G est divisible, il existe € G tel que &"— y". Alors,

PUR) =) = eÿt,

ce qui montre que f(x) y. Remarquons que si nous prenons G'=G, f est l'identité, ce qui montre que H; est la suite rectifiante de G.

Taéorëme (4.0). — Soit G un groupe nilpotent sans torsion. Alors, toute extension G' de G qui est un groupe nilpotent sans torsion et vérifie la condition survante : «si æEeG', il existe un entier n >< 0 tel que x"EG », s’identifie (canoniquement) à un sous-groupe d’une complétion de Malcer de G.

Démonstration. — Soit G' une complétion de Malcev de G'. Alors G' est une

complétion de Malcev de G : il suffit de remarquer que, sixe G',il exister <0 tel que x" EG’, puis »'<0 tel que x" EG.

Tnéorème (4.10). — Soient G, G' deux groupes nilpotents sans torsion, G, G' leurs complétions de Malces, f un homomorphisme de G dans G'. Alors 1

THÈSE M. LAZARD, 6

existe un homomorphisme g et un seul de G dans G! qui prolonge f. Si f est un tsomorphisme de G dans G' (resp. homomorphisme de G sur G'), il en est de même de g.

Démonstration. — Soient (H;), (H.) les suites rectifiantes de G et G’. Les suites (GnH;) et (G'NH,) sont respectivement les suites rectifiantes de G et G'. Par conséquent, f(GNH;)CG'NnH, pour tout r, et le prolongement g de j'à G existe d’après (3.6). Son unicité, et la dernière partie du théorème se démontrent comme en (4.8).

Remarque (4.11). — Nous pouvons considérer les éléments de la complétion

de Malcev G d’un groupe nilpotent sans torsion, comme des puissances fractionnaires des éléments de G (cf. $1) en posant

Ve d SN ee (r,seZ).

Cela nous permet d'obtenir directement l’ensemble G comme quotient du

produit cartésien Z X G par la relation d'équivalence

(n,.æ) =(nS 4) si et seulement si x7— x",

en associant à la classe de (n, æ) l'élément +" de G. Des difficultés notables apparaissent si l’on veut expliciter la loi de groupe sur G. On se ramène, étant

1 1 ll

donné +,7€eG, n eZ, à calculer 2€G et r/€Z tels que x'y"— 2". Dans le

cas abélien, il suffit de prendre z—xy et n'—n (alors, G—G@Q). Dans le cas général, 1l est impossible de prendre pour z un mot en x et y (°°) indépendant de n. On peut établir le résultat suivant : si le groupe G est de

classe 26, on peut prendre n'—n * ; 3 est alors représenté par un mot en x et y (qui dépend de l’entier 2). Par exemple, pour

n(ni— 1)

O0. en et CARE AA NE 6 CS 1 NC

L'existence de ces formules se démontre de la manière suivante : on considère le groupe H engendré par deux générateurs indépendants æ et y, (H;) sa suite centrale descendante, et enfin H’ le sous-groupe de H engendré par æ'et y”, n désignant un entier positif donné. Alors, on démontre, par récurrence sur 1, que

(æyyŸ + eH'H;, (cf. chap. I, 824).

L'existence de ces formules nous permet de définir la complétion de Malcev et de démontrer les théorèmes (4.8) à (4.10) pour une catégorie de groupes sans

(#5) C'est-à-dire un élément du groupe libre engendré par les symboles x et y.