CT 198E

avoir été reconnue (ou publiée) que dans deux cas particuliers, correspondant à deux N-suites particulières : la suite centrale descendante et la N-suite des groupes de dimension modp (premier) [23], [36]. Quelques propriétés qui résultent immédiatement de la définition générale sont rassemblées à la fin du paragraphe 2.

Le paragraphe 3 établit la possibilité d'obtenir une N-suite dans un groupe G au moyen d’un homomorphisme convenable de G dans le groupe multiplicatif des éléments inversibles d’un anneau filtré : Les calculs correspondants peuvent être considérés comme connus (ils apparaissent en substance dans l'étude des groupes de ramification supérieurs d’une extension galoisienne d’un corps valué complet). J'ai signalé au passage (3.4) une importante généralisation de ces résultats obtenue par M. Kaloujnine. Le théorème (3.3), transposition aux N-suites du théorème de Jordan-Hôlder, indique comment comparer les anneaux de Lie associés à deux N-suites d’un même groupe.

Le paragraphe 4 expose la méthode de M. Magnus [21] pour étudier un groupe libre : on le plonge dans le groupe multiplicatif des éléments inversibles d’une algèbre associative libre complétée (algèbre de Magnus). Je reprends ensuite la méthode de M. Witt [33 | pour la détermination de la suite centrale descendante d’un groupe libre. Peut-être les considérations générales qui la précèdent ont-elles permis d’en faire ressortir plus nettement le principe.

La clé des développements ultérieurs du premier chapitre est constituée par le théorème (5.4) qui permet la détermination effective des N-suites d’un groupe libre associées à certaines filtrations d’une algèbre de Magnus. Son origine remonte à la détermination par M. Zassenhaus [36] des groupes de dimension modp (*). Mais, tandis que M. Zassenhaus s’appuyait sur les propriétés des algèbres de Lie restreintes (au sens de M. Jacobson [11])(°), j'a montré, au contraire ($ 6), que les propriétés des algèbres de Lie restreintes pouvaient se déduire des propriétés du groupe libre, ce qui rétablit |’ « antériorité » du groupe par rapport à l'algèbre de Lie. De plus, le résultat indiqué permet de déterminer les groupes de dimension modp"(h entier positif quelconque) d’un groupe libre, ainsi que d’autres N-suites, d’un caractère très différent, qui montrent combien sont variés les divers anneaux de Lie associés aux N-suites d’un même groupe libre. Il faut noter que les sous-groupes ainsi définis dans les groupes libres se trouvent caractérisés comme des sousensembles dont il n’est nullement évident, a priori, que ce sont des sousgroupes : cela permet d'obtenir diverses identités.

(1) J'ai conservé l'expression « groupes de dimension » consacrée par l'usage. Elle n’est pas très heureuse, puisqu'il s’agit en réalité, de certaines suites de sous-groupes caractéristiques définis d’abord dans les groupes libres (cf. $ 4), puis, par passage aux quotients, dans des groupes quelconques.

(?) I serait plus correct de dire « p-restreintes », puisqu'on introduit cette nolion après s’être donné un nombre premier déterminé p.

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Au paragraphe 6, j’'introduis la notion de N-suite restreinte, plus simple par sa formulation que la notion d’algèbre de Lie restreinte, et j'étudie la correspondance entre ces deux notions : sur l’anneau de Lie associé à une N-suite restreinte, on peut définir canoniquement une structure d’algèbre de Lie restreinte à coefficients entiers modp. D'autre part, toute N-suite restreinte, peut s’obtenir à partir d’une filtration convenable de l’anneau du groupe à coeflicients entiers modp. Ce résultat (6.7), dont la démonstration est assez pénible, permet de démontrer certaines propriétés de structure des algèbres de Magnus (6.11), (6.12).

Le paragraphe 7, consacré à l'étude des groupes de dimension mod (entier quelconque) fait apparaître l’analogie entre l'étude « locale » d'un groupe libre ($ 5) et l’étude « locale » de l’anneau des entiers rationnels (c’està-dire la théorie des entiers p-adiques).

Le paragraphe 8 apporte quelques commentaires et signale quelques-uns des très nombreux problèmes ouverts. Jai voulu surtout indiquer combien ces questions sont mal connues, et comment les « évidences » sont parfois trompeuses. Il se peut, bien entendu, que mon information ait été insuffisante.

Le chapitre II (dont la lecture ne suppose connus que les paragraphes 1 à 4 du chapitre 1) étudie une correspondance beaucoup plus fine entre groupes et anneaux de Lie, correspondance fondée sur l’application de la formule de Hausdorff [9]. Les paragraphes 1 et 3 ont été développés un peu plus qu'il n’était strictement nécessaire en raison de leur intérêt propre. Au paragraphe 1, je considère une algèbre de Lie libre complétée L à coefficients rationnels, qui devient un groupe si l’on y définit une multiplication au moyen de la formule de Hausdorif. Les générateurs de L engendrent (au sens de la multiplication) un groupe libre. J’étudie dans L certaines suites d'éléments qui peuvent ètre représentées en quelque sorte par des séries de Taylor par rapport à une variable entière. Si l’on exige seulement que la série converge, on est conduit à la notion de suite analytique (1.14 a); mais il est préférable d'imposer une condition plus forte, qui donne la définition des suites typiques (1.1) : au lieu d'imposer seulement que l’ordre du 2°" coefficient 4; de la série considérée tende vers l'infini avec r, on exige qu'il soit toujours au moins égal à z. Les suites typiques constituent un sous-groupe et une sous-algèbre de Lie dans l’ensemble de toutes les suites à valeurs dans L(1.4). Un théorème général (1.5) montre la possibilité de représenter une suite typique comme un produit infini; la représentation dépend du choix d’une suite de polynomes à coefficients rationnels.

Un premier choix conduit au théorème (1.10) qui ne concerne plus qu'un groupe libre; la structure d’algèbre de Lie n’a joué qu'un rôle auxiliaire dans la démonstration. Ce théorème constitue une généralisation et en même temps une réciproque d’un théorème de M. P. Hall ([8], $ 3); c'est de là que je suis parti pour aboutir à la notion de suite typique, car une suite typique dans un