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groupe libre est précisément une suite d'éléments qui vérifie le théorème de M. P. Hall. La méthode des suites typiques est moins directe que le procédé original de M. P, Hall (le « collecting process »), mais elle me parait plus aisée et plus puissante.

Un second choix de la suite de polynomes (1.5) conduit, au paragraphe 2, à la description complète de la structure d’algèbre de Lie topologique de L à partir de sa structure de groupe topologique (2.4). C'est ce que j’appelle réaliser l'inversion générique de la formule de Hausdorff. Des formules d'inversion «explicites » (c'est-à-dire théoriquement calculables) montrent que la somme et le crochet de deux éléments de L sont égaux à des produits infinis de « mots » en ces deux éléments, affectés d’exposants rationnels dont on connaît certaines propriétés arithmétiques.

Le paragraphe 3 établit quelques résultats auxiliaires; la notion d’algèbre de Lie n'y intervient pas, et la structure fondamentale étudiée est celle d’un groupe dans lequel on s’est donné une suite centrale possédant certaines propriétés. Le théorème (3.2) établit l'existence de certaines suites centrales. Le théorème (3.6) donne une condition pour qu'un homomorphisme d’un sous-groupe puisse s'étendre univoquement à un homomorphisme du groupe tout entier. Le théorème (3.10), dont la démonstration est la plus longue, établit l’existence de certaines extensions de groupes.

Le paragraphe 4 aborde la question des groupes discrets (ou de leurs limites projectives) qu'on peut définir à partir d’anneaux de Lie par la formule de Hausdorff. Le théorème (4.2) indique une catégorie d’anneaux de Lie où l’on peut appliquer la formule de Hausdorff, et le théorème (4.3) montre que, dans la catégorie de groupes ainsi obtenue, l'inversion de la formule de Hausdorif (au sens du paragraphe 2) est possible, et qu’on retrouve bien l’anneau de Lie initial. Ces théorèmes conduisent à des résultats satisfaisants dans le cas des groupes de torsion (4.6) et des groupes sans torsion (4.15). Par contre, dans le cas général, 1l est impossible de faire correspondre l'anneau de Lie au groupe (ou le groupe à l’anneau de Lie) sans faire un choix particulier de la suite de sous-groupes (ou d’idéaux) qui intervient dans les énoncés (4.2), (4.3). Les résultats concernant les groupes de torsion avaient été partiellement énoncés par M. Magnus [23 |; ceux concernant les groupes sans torsion ont été démontrés par M. Malcev [26], [27]. Mais la méthode de M. Malcev fait appel à la théorie des groupes de Lie [25], alors que la méthode proposée iei est purement algébrique. J'ai développé à nouveau la théorie de M. Malcey concernant certaines extensions canoniques des groupes nilpotents sans torsion (4.8) que j'ai appelées complétions de Malcev. Outre son avantage méthodologique, le procédé que j'ai suivi permet certaines généralisations (4.17) auxquelles la méthode analytique ne semble pas conduire. On voit, en particulier, que la complétion de Malcev ne fait pas appel aux structures d’algèbres de Lie.

Le paragraphe 5 expose la construction d’un groupe particulier. Je l’ai pré-

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senté pour légitimer la généralité du théorème (4.6), et aussi pour montrer que la possibilité de remplacer certaines structures de p-groupes par des structures d’algèbres de Lie peut effectivement simplifier des constructions.

IL aurait été possible d'obtenir certains résultats par des procédés plus rapides [c/f., par exemple, (4.18)]. J'ai choisi un mode d'exposition général qui ne va pas sans une certaine lourdeur.

Il me semble qu'on pourrait tirer de ce travail une confirmation des points de vue suivants : d’abord l’intérêt que présente l’étude de groupes définis à partir d’autres structures possédant plusieurs opérations (par exemple des algèbres de Lie). En effet, la simplicité apparente des axiomes des groupes ne fait souvent que masquer une extrême complexité, et d’autres structures, plus riches par le nombre de leurs axiomes, se laissent plus facilement étudier. D'autre part, si l'étude des relations entre groupes etalgèbres de Lie est encore très incomplète, on peut estimer néanmoins que les algèbres de Lie se révèleront insuffisantes, même pour l’étude des p-groupes finis. Il conviendrait donc de rechercher si d’autres structures algébriques pourraient permettre la construction de nouvelles catégories de groupes. Mais il est possible qu'on n’aboutisse pas à des formules génériques (comme l'est la formule de Hausdorff) en raison de l’existence d’invariants de structure des groupes, dont la théorie de l’homologie pourrait peut-être rendre compte. Il ne s’agit là que de conjectures imprécises, et de nombreuses recherches seront nécessaires pour élucider ces questions encore très obscures.

Je tiens à remercier M. L. Kaloujnine pour toute l’aide qu'il m’a apportée, tant au cours de nombreuses conversations personnelles qu’à l’occasion du Séminaire de théorie des groupes qu’il a dirigé à Paris en 1950. Qu'il trouve ici l'expression de mon amicale reconnaissance.

J'exprime ma profonde reconnaissance à M. A. Châtelet dont les conseils et les encouragements m'ont été très précieux. Je remercie MM. J. Favard, L. Schwartz, P. Samuel qui ont bien voulu se joindre à M. Châtelet pour constituer le jury auquel je soumets cette Thèse, ainsi que M. A. Denjoy qui à bien voulu présenter mes Notes à l’Académie des Sciences, et M. P. Montel qui a bien voulu accepter ce travail dans les Annales de l’École Normale Supérieure.