LOS

sous-groupe de G engendré par tous les commutateurs (x, y) où æeH

etyekK(*).

Nous aurons très souvent à considérer des suites de sous-groupes (H;) dans un groupe G(r—1, 2, ...). Il s'agira de suites décroissantes, commençant au

groupe G, c’est-à-dire qu’on aura :

CSS SEE

La notion usuelle de suite de composition d’un groupe s’obtient en exigeant que chaque sous-groupe H;,, soit invariant dans le précédent [ce qui peut s'écrire (H;, H;,,)CH;,,]|, et que les sous-groupes H; se réduisent à l’élément neutre à partir d’une certaine valeur de l'indice z.

Nous dirons généralement qu'une suite de sous-groupes (H;) est finte si H;—(e), élément neutre du groupe, à partir d’une certaine valeur de l'indice z; nous dirons qu'elle est séparante si l'intersection des sous-groupes H; se réduit à l'élément neutre :

AN H;—(e).

Nous appellerons suite centrale dans un groupe G une suite de sousgroupes (H;) telle que (G, H;)CH;,, pour tout &, c’est-à-dire telle que H;/H;,, s’identifie à un sous-groupe du centre de G/H;., (pour tout &==1). Les sousgroupes H; sont alors tous invariants dans G [puisque (G, H;)CH:., CH;|. Un groupe qui possède une suite de composition centrale est dit ntlpotent.

Dans un groupe G quelconque, on définit par induction les sous-groupes de la suite centrale descendante au moyen des relations :

GG, Gi CC Gi).

Un groupe nilpotent est caractérisé par Le fait qu’à partir d’un certain rang tous les sous-groupes de la suite centrale descendante sont réduits à l'élément neutre e. En effet, pour toute suite centrale (H;) dans G, on a les relations G; CH; qui s’établissent par induction : G, CH, = G et G: CH; implique

(G, Gi) = Gi C(G, H:) CH, Ainsi la suite centrale descendante « décroit plus vite » que toute autre suite centrale. La classe d'un groupe nilpotent G, égale par définition au nombre

minimum de quotients distincts d’une suite de composition centrale, peut donc être définie comme l’entier c vérifiant

GG (e), Get)

Dans un groupe non nilpotent, la suite centrale peut se terminer à un sousgroupe non réduit à l'élément neutre, ou (si G est infini) avoir tous ses termes

(*) Pour les notions générales rappelées dans ce paragraphe, on pourra consulter Zassenhaus [34].

ENT e

distincts. Nous appellerons N-groupes les groupes G tels que l'intersection des sous-groupes G; de leur suite centrale descendante, se réduise à l'élément

neutre ( M Ge (9); l'exemple le plus important de N-groupes non nilpotents

est celui des groupes libres (*).

Le système de deux opérations constitué par le produit æy et la commutation (æ, y) dans un groupe possède des propriétés formelles qui l’apparente au système constitué par l'addition æ + y et le crochet de Lie [æ, y] dans une algèbre de Lie (*). A la distributivité du crochet de Lie correspondent les relations suivantes, où l’on convient de noter x’ le transformé yxy-‘' de æ par l’automorphisme intérieur associé à y :

A l'identité de Jacob1 correspond la relation suivante, due à P. Hall : Ce) Ne sr 27) (62 z), eh (Cz; À), a Te:

Cette analogie des groupes et des algèbres de Lie peut conduire à des conséquences intéressantes dans le cas des N-groupes et en particulier des groupes nilpotents. Montrons, par exemple, comment elle conduit à retrouver les résultats de Levi et van der Waerden [20] concernant les groupes d’exposant 3 (groupes où æ°—e pour tout élément x). Ces groupes possèdent la propriété plus générale que chaque élément permute avec chacun de ses us En effet, dans un tel groupe,

LIL =(LY) Pay = y a = er y =Y a y) = y ay

CN eV se 42

donc æetyxy * commutent.

Etudions généralement les groupes G où chaque élément permute avec tous ses conjugués, propriété que nous pouvons exprimer par l'identité :

G) Cf SA

(5) Étant donné un anneau commutatif Q@ possédant une unité, nous appelons Q-algèbre de Lie un Q@-module unitaire L muni d’une opération bilinéaire [ x, y] appelée crochet (de Lie) vérifiant les axiomes suivants :

[æ, æ]=0 el LEx, y 1 2] [C7 3] æ]+[[z, x], yl=0o

pour tous +, y, se L. Le résultat de l'opération « crochet » appliquée à deux éléments x et y de L s’appellera encore le crochet de x et de y. Étant donné une famille (x: er d'éléments de L, nous appellerons alternants par rapport aux (x,) les éléments de L définis ainsi : Chaque x, est un alternant, et le crochet de deux alternants par rapport aux (x,) est encore un alternant par rapport aux (x,). Lorsque l’anneau d'opérateurs © se réduit à l'anneau Z des entiers rationnels, nous parlerons simplement d’anneaux de Lie (au lieu de Z-algèbres de Lie).

LR pour tous +, y€G. L'identité correspondante dans une algèbre de Lie serait : NEZRAPAENS

Nous en déduisons dans ce cas :

er << = le, IS IE er

La fonction [[æ, y], 3] de æ, y, 3 est une fonction alternée, puisqu'elle est transformée en son opposée lorsqu'on transpose + et y ou yet z. L'identité de Jacobi donne alors :

IP SAN AEXE De plus, (Le, y 2]=1{1y, 41 &1=— {x 0 411:

On voit de même que la fonction [[[+, y], z], t] de æ, y, z, test alternée, puisqu'une transposition de deux variables consécutives la transforme en son opposée. En particulier :

Mais

Ainsi 2[[[æ, y], z], | —0 et comme 3[[[x, y|, z], :] = 0, il en résulte que

NEA REA. ET

Le même raisonnement s'étend au cas des groupes où (Ce, Y}y7}=e. Tout d’abord

e—(x, en) = (æ, ») (æ, ES ÿ— (æ, ÿ) (æ, =) et (te: AE r) = (Eye ») ni puisque y permute avec ses conjugués.

Développons maintenant e((aye), y3) au moyen des formules (1.1). Nous obtenons :

e=((x, y) (2), 73) =((e; 7) Ce, 2h, Ye, en 2), sh = 3)}, pi (ee y), ») (a 2 AR ea e. y); :)";

les deuxième et troisième facteurs sont égaux à e, et il reste :

(a, te M eee Transformons par l’automorphisme intérieur associé à

(æ, Y} AY y (æ, ÿ)—! :

il vient :

D RONSE

La démonstration s'achève alors comme dans le cas des algèbres de Lie; 1l suffit de remarquer que

car

L'identité (1.2) peut donc remplacer l'identité de Jacobi pour démontrer £ 3 + .

que ((æ, y), 3) — e, et nous parvenons ainsi au

THÉORÈME (1.3). — Sr dans le groupe G tout élément commute avec chacun de ses conjugués, G est nilpotent de classe au plus égale à 3 et, si x EG, (trotsième groupe de la suite centrale descendante de G), x°= e.

2. Les ANNEAUX DE LiE GRADUÉS Assocrés Aux N-suires D'UN GROUPE. — La comparaison des groupes aux algèbres de Lie, dont nous venons d'indiquer le principe, comprend deux étapes : on considère d’abord le groupe comme abélien, en associant à sa multiplication l’addition commutative d’une algèbre de Lie; puis on retrouve certaines propriétés résultant de la non-commutativité en leur faisant correspondre des propriétés du crochet de Lie. Nous allons montrer comment, par cette méthode, on peut associer des anneaux de Lie gradués à certaines suites de sous-groupes.

Définition. — Nous appellerons N-sute dans un groupe G une suite de sous- Soupes (HET 2,..7))telsque D = GS 15 tet (747) CHE "pour tous NET:

D'après cette définition, toute N-suite est une suite centrale, un groupe qui possède une N-suite finie est nilpotent, et un groupe qui possède une N-suite séparante est un N-groupe.

Soit G un groupe, (H;) une N-suite dans G. Les groupes quotients H;/H;., sont abéliens, puisque (H;, H:)CH,;:CH;,,. Nous les noterons additivement, et nous désignerons part; l'élément de H;/H;,, constitué par la classe modulo H;,, de æ;EH;; nous aurons donc

DID == Ur

Formons la somme directe X;H;/H;,. Nous obtenons un groupe abélien où nous introduisons une graduation en convenant que les éléments de H;/H;,, sont homogènes de degré &. Soient x;eH; et x;eMH;; alors (x;, æ;)eH:.,, et, d’après les identités (1.1), la classe de (x;, æ;) modulo H;,;,, ne dépend que des classes de x; et de x; mod H;,, (resp. H;,,) : si, par exemple, x;,, EH,.;,

(Zi TjÆj4) = (æi; Zj) (ti Lj+a)"i et (Gi; Lj+1 ne Hi,

Nous voyons donc que l’on peut définir une application de (H;H;,,) < (Hÿ/H;,1)

| Lane —— dans H,.//H;.,,, en faisant correspondre au couple %;, +; l'élément (x, %;) que nous noterons [#;, &;|. Les identités (1.1) montrent de plus que cette application est bilinéaire, c’est-à-dire qu’on a identiquement :

[+ &, 8,]=[%, #,]+[8, 81] et à M, 2,2%]= 1% 2;]+ [#6 Les identités (x, æ)—eet (x, y) =(y, æ)! conduisent immédiatement à TS LAS et à 2 Z;l=— (2%; Æ

Nous étendons par linéarité la définition de [%, ÿ] à un couple d'éléments quelconques # et ÿ de X;Hy/H:,, : siZ —2;#; ety —X;ÿ; sont les décompositions de # et ÿ en leurs composantes homogènes, [#, ÿ | est égal par définition Mons VAL Alors [*#, ÿ] est une opération bilinéaire vérifiant l'identité [&,&]= 0. L'identité de Jacobi;