LE, F1 #1+ (07, #1 #] ICE

est vérifiée pour #, ÿ, z, homogènes [conséquence immédiate de l’identité (1.2)], donc pour #, ÿ, 3 quelconques (en les décomposant en leurs composantes homogènes). Nous avons donc associé canoniquement à la N-suite (H;) un anneau de Lie gradué que nous noterons f(H;). D'où le

Taéorème (2.1). — A toute N-suite (H;) d’un groupe G se trouve associé canoniquement un anneau de Lie graduëé £(M;) qui a pour support la somme directe EM;/H;,,. Le crochet de Lie de deux éléments homogènes s'obtient à partir du commutateur dans G par passage aux quotients.

Les renseignements que permet d'obtenir sur le groupe G l'anneau de

Lie f(H;) ne concernent en fait que le groupe quotient G/(NE: de G par

l’intersection des H;, qui est un N-groupe. On pourrait donc se limiter à l’étude des N-suites séparantes, dont l'existence est une propriété caractéristique des N-groupes. On sait, en effet, que la suite centrale descendante est une N-suite. On a même le résultat plus fort : si (G;) est la suite centrale descendante du groupe G et(H;) une suite centrale quelconque dans G, alors (G;,H;)CH;,;pour tous , J=1; cette proposition se déduit aisément, par récurrence sur #, de l'identité (1.2)[8], [14].

Si l’on à un homomorphisme f d’un groupe G dans un groupe G' et une N-suite (H;) dans G', on en déduit une N-suite (H;) dans G, dite image réeiproque de (H;) par f en posant H,—}(H). De même, si (H;) est une N-suite dans G et f un homomorphisme de G sur G', on obtient une N-suite (H) dans G', dite image directe de (H;) par /, en posant H = /(H;). Ces propriétés résultent immédiatement de : f((x, y))=(/(x), /(y)). On obtient alors des homomorphismes des anneaux de Lie associés. Plus généralement :

ÉERS CR

THéoRÈME (2.2). —Socent G et G' deux groupes, (H;) et (H;) deux N-suites dans G et G' respectivement, f un homomorphisme de G dans G' tel que, pour tout à, f(H:)CH. Alors, on peut définir un homomorphisme f de F(H:) dans £(H) conservant les degrés des éléments homogènes et caractérisé par f(&;)= f(æ:). De plus, f est un isomorphisme de P(M;) dans P(H,) st et seulement si (M:) est l’image

réciproque de (H,) par f.

Démonstration. — On a, par hypothèse, FH) e A EM ONCE) ce

On en déduit donc, par passage aux quotients, l’homomorphisme associé de H}H;,, dans H/H,, qu'on peut prolonger en un homomorphisme f de EH}H;,, dans E;H}/H,,, et l’on voit immédiatement que f est aussi un

3 : . à . ER ñ homomorphisme pour les structures d’anneaux de Lie. Si H;—/f(H,) pour tout z, la restriction de / à H;/H;,, est, pour tout #, biunivoque; f est donc un

isomorphisme. Réciproquement, si pour un certain #, f(H;) £H;, il existe un +E G tel que /(x)EH,, xéH;; soit j l’entier tel que xEH;, x&H;,,. On a j Xi, et la restriction de f à Hy/H;,, n’est pas biunivoque.

Pour exprimer à quelle condition f est un homomorphisme sur P(H;), nous introduisons dans G’ la topologie obtenue en prenant les sous-groupes I/comme système fondamental de voisinage, de l’élément neutre. Nous l'appellerons brièvement la (H;)-opologie, et nous parlerons d’ensembles (H,)-fermés, etc., pour indiquer que nous nous référons à cette topologie. Remarquons que j'est une représentation continue de G dans G& munis respectivement de leurs (H;)et (H;)-topologies. Alors :

Tukorème (2.3). — f'est un homomorphisme de R(H;) sur L(H,) si et seulement st f(H;) est, pour tout entier j, (M,)-dense dans H..

En effet, la restriction de / à H}/H;,, est un homomorphisme sur HH; set seulement si H=— /(H;)H;,,. Cette relation devant être vérifiée pour tout y, on en déduit, par récurrence sur l’entier # : H;—/(H;)H,,, ce qui exprime précisément que /(H,) est (H;)-dense dans H,.

Si la N-suite (H;) dans G est séparante, la (H;)-topologie de G est séparée

(vérifie l’axiome de Hausdoriff), et réciproquement. On peut dans ce cas

construire le complété G de G pour cette topologie, et l’on voit facilement que les adhérences H; des sous-groupes H; forment dans G une N-suite telle que GOH;—H;. Il suffit alors d'appliquer les résultats précédents à l'isomorphisme canonique de G dans G pour montrer que f(H;) et F(H;), construits

respectivement à partir de G et de G sont canoniquement isomorphes. Considérons maintenant un sous-groupe G/ dans le groupe G muni de la

N-suite (H;). Alors, les sous-groupes H—H;nG' constituent une N-suite dans G', qui n’est autre que l'image réciproque de (H;) par l'isomorphisme canonique de G dans G. D’après le théorème (2.2), nous en déduisons un isomorphisme de P(H;) dans F(H;). Autrement dit, à tout sous-groupe Cr de G se trouve associé canoniquement un sous-anneau homogène de (H;) qu'on peut représenter par Z(G'NH;)H;,,/H;,,. Si G est invariant dans G, le sousanneau associé est un idéal homogène de P(H;); plus précisément :

Taéorème (2.4). — Soit f un homomorphisme de G sur le groupe Gr, (H,) l’image directe de (M;) par f, N le noyau de f. Alors le noyau de l’homomorphisme f de P(M;) sur P(H;) est l'idéal de P(M;) associé à N (°).

D'après (2.3), j'est un homomorphisme sur f(H;). Le sous-anneau associé à N est certainement contenu dans le noyau de f. Cela résulte de la proposition plus générale : si G, G', G” sont trois groupes munis respectivement des N-suites (H;), (H;), (H), et f, g des homomorphismes de G dans G' (resp. de G' dans G”) tels que /(H;)CH,[resp. g(H;) CH |, enfin si est l’homomorphisme

composé gf de G dans G”, alors  = ÿ.f. Par ailleurs, si /(4;)—0, f(m)eH, = f(H).

Il existe donc x;,, €H;,, et æeN tels que x;=x;,,x, autrement dit di E(NNH;)H;,,, c’est-à-dire que Æ; est dans le sous-anneau associé à N, ce qui complète la démonstration.

Si (G;)est la suite centrale descendante du groupe G et (H;) une N-suite quelconque dans le groupe G’, on a f(G;) CH, pour tout homomorphisme / de G dans G’. De plus, si f est un homomorphisme de G sur G', f(G;) est Le r°® sous-groupe G; de la suite centrale descendante de G'. Donc, f(G;) est isomorphe au quotient de f(G:;) par l’idéal associé au noyau de f. C’est ainsi que W. Magnus a défini f(G,) en considérant G' comme le quotient d’un groupe libre G [23 |.

Il résulte de la définition de la suite centrale descendante (G;) d'un groupe G que l’anneau de Lie #(G;) est engendré par ses éléments homogènes de degré 1. La réciproque de cette proposition est exacte en ce qui concerne les N-suites finies des groupes nilpotents :

THÉORÈME (2.5). — Sort (H;) une N-suite, (G;) la suite centrale descendante du groupe G. Alors (M) est engendré par ses éléments homogènes de degré x st et seulement st, pour tout entier j, G; est (M;)-dense dans H,.

(5) Ce résultat peut encore s'énoncer ainsi : soit (K;) la N-suite du noyau N de f définie par Ki HinN. Alors à la suite exacte N — G > G' correspond la suite exacte P(K;) + £(H;) + £(H!) des anneaux de Lie gradués associés.

RTE Eee

En effet, la condition pour que (H;) soit engendré par ses éléments homogènes de degré 1 peut s’écrire H;—G;H;,, (pour tout j). On en déduit, par récurrence sur #, H;=G;H;,4 pour tout k positif, ce qui exprime précisément que G; est (H;)-dense dans H;. Si (H;) est finie, H;—(e) à partir d'un certain indice zet G;— 1H; pour tout j.

3. MopuLes rILTRÉS ET N-surrEes. — Rappelons qu’une filtration décroissante sur un module À est définie par une famille de sous-modules à indices entiers A; vérifiant :

VU À;— À et A;5DAÂ;;1 pour tout £.

Nous nous bornerons aux filtrations positives, pour lesquelles A,— A. La filtration e(æ) d'un élément x de A est le plus grand entier t tel que x EA;, ou bien le symbole © si x€ À; pour tout r. Si A est une algèbre associative (resp. de Lie), on exige de plus que A;A;CA;.; (resp. [A;, A;]CA;.;) pour tout couple 7, 7.

La donnée dans A d’une fonction +(x) à valeurs entières = 0 et + définit une filtration si et seulement si :

p(æ— 7) > Sup(r(æ), e(3)); Par) er),

« étant un élément de l’anneau d'opérateurs du module; enfin e(æxy) =#(æ)+e(y) dans le cas d’une algèbre associative, e([æ, y|) == +v(x) +v(y) dans le cas d’une algèbre de Lie.

On définit à partir d’un module filtré A le module gradué associé noté G(A ): c'est la somme directe X;A;/A;,. Dans le cas d'une algèbre associative ou de Lie, on obtient par passage aux quotients une structure d’algèbre graduée, associative ou de Lie, sur G(A) (”).

Les N-suites permettent d'étendre aux groupes les constructions sur les modules filtrés, notamment celle du module gradué associé auquel correspond l’anneau de Lie gradué associé. Nous allons montrer comment définir des

N-suites à partir d'applications de groupes dans des modules filtrés. Établissons d’abord le :

Taéorëme (3.1). — Soit G un groupe et g une application de G dans une algèbre de Lie L munie de la filtration +, telle que :

r° v(g(æ)) 1 pour tout x EG;

2 (Gay) — ge) + g()) > nf(e(g(æ)). e(8()))+1 pour tous æ, y 6:

9° (era ty") —[8(), AO ET EC2) BE e(g(»)) +1 pour tous x, y EU; alors si l’on définit les parties M; de G en posant x € H; st et seulement st e(g(æ)) 6,

(7) Pour la notion de filtration, ef. J. Leray ou P. Samuel [19], [29].

UE

(H;) est une N-suite dans G et F(M;) est canoniquement isomorphe à un sousanneau de l'algèbre de Lie graduée G(X).

Démonstration. — I] résulte de la définition que H;3H;.,, et la condition 1° montre que H,— G. La condition 2° montre que H; est un sous-groupe de G, et la condition 3° établit que (H;, H;)CH;,;; (H;) est donc une N-suite dans G.

Désignons par L; l’ensemble des éléments de L de filtration =. Soitx;eH;; alors g(æ;)e Li: et, d’après 2°, la classe de g(x;)modl,,, ne dépend que de la classe de æ;modH,,,. D'où, par passage aux quotients, une application £ de H;/H;,, dans L;/L;,, ; la condition 2° appliquée encore une fois montre que £ est un isomorphisme de H;/H;,, dans L;/L;,,, que nous prolongeons en un 1isomorphisme 2 de ZH;/H;,, dans EL;/L;,,; la condition 3° montre alors que £ est un isomorphisme pour les structures d’anneau de Lie de f(H;) et de G(L).

On démontrerait sans peine que toutes les N-suites de G peuvent s’obtenir par le procédé précédent.

Nous allons appliquer (3.1) au cas où L est l’algèbre de Lie « portée » par une algèbre associative filtrée, c’est-à-dire est obtenue en conservant la structure du module filtré de l’algèbre associative et en y définissant le crochet de Lie par :

La, y]= xy — yz.

L’algèbre de Lie graduée associée s’identifie alors à l’algèbre portée par algèbre associative graduée associée. Nous pouvons énoncer le

Taéorime (3.2). — Soit À une algèbre associative de filtration + possédant une unité notée 1. St f est un homomorphisme d’un groupe G dans le groupe multiplicalif des éléments inversibles de À tel que e f(æ)—1 ) 1 pour tout xEG, alors l'application g(x)= f(x) — 1 de G dans l'algèbre de Lie portée par À vérifie les conditions du théorème (3.1). On en déduit donc canoniquement une N-suite (M) dans G et un isomorphisme de P(M;) dans l’anneau de Lie porté par G (A).

Démonstration. — Soient x, yEG; posons

f(æ)=1+ a, J(>)=1+ D, HN re 1 TITRE EEE PAS D == 22 TOP PÈRE TEEN.

La condition 1° de (3.1) est satisfaite par hypothèse. Il nous reste à vérifier que :

p(c—a+b) > Inf(v(a), o(b)) +1 (condition 2°) el e(d— ab +ba) >= v(a) +v(b) +1 (condition 3°). Puisque / est un homomorphisme,

Re eo

(k) a+ a + aa = b + b'+ bb'— 0.

Nous allons transformer les expressions de

c—(1+a)(1+b') —171 et de d={(i+a)({i+b)({i+a)(i+b) — en tenant compte de (x). Nous obtenons :

c—a+b'+abl—a—b+(a—b)t, et nous sommes ramenés à démontrer e((a—b)0)2= Inf(v(a), #(b)) +1, ce qui est immédiat puisque F(b') 1. De même d=a+a+aa +b+b!

DD DE TE ADD DRE AD EN OL RE aa DE DADE a barb: DU O0 C0 AO DATA LE TU br 00e Dane Cab EE Tborbe

Il s’agit donc de démontrer que

ep (aba' + abb'— baa' + ba'b'+ aba'b') pa) + v(b) +7.

Chaque terme de la somme considérée a au moins trois facteurs de filtration 7, parmi lesquels l’un est égal à a ou 4’, et un autre à b ou b'; comme e(a')—v(a) et P(b')—=+e(b), la filtration de chaque terme est = e(a)+v(b)+r, ce qui achève la démonstration.

Exemple. — Soit À un module muni de la filtration +, E l’anneau des endomorphismes linéaires de A. Les sous-modules E;de E, obtenus en posant EE, si et seulement si e(æ(a)) > e(a)+i pour tout a€ À, définissant dans E une filtration æ. Si G est un groupe d’automorphismes du module À tel que æ(g—1)>1 pour tout g€eG, le théorème précédent montre qu'on obtient une N-suite (H;) dans G en posant H;= GN(1 +E;). Plus particulièrement : si G est un groupe fini, et A l’anneau des entiers d’un corps valué complet à valuation discrète, alors G est un groupe de ramification, et (H;) n’est autre que la suite des groupes de ramification supérieurs.

Comme dans le cas, entièrement analogue, d’un groupe muni d une N-suite, nous définissons pour un module filtré les notions de topologie associée à la filtration, de filtration séparante, de module complété, etc. Si l’homomorphisme f du théorème (3.2) est un isomorphisme, nous pouvons identifier G à son image /(G). Nous avons alors deux topologies sur G : celle induite par la topologie de l’algèbre A (associée à la filtration e), et la (H;)-topologie, (H;) désignant la N-suite du théorème (3.2). On vérifie sans peine que ces deux topologies coincident; il en résulte que, dans le cas où 6 est une filtration

séparante, (H;) est une N-suite séparante et le complété de G pour sa (H;) topologie se trouve plongé canoniquement dans l’algèbre complétée de A.

Nous ne savons pas caractériser intrinsèquement les N-suites obtenues dans un groupe G par le procédé du théorème (3.2). Remarquons qu'on les obtient toutes en se bornant à considérer les filtrations de l'algèbre Z(G) du groupe G à coefficients entiers rationnels. En effet, l'homomorphisme / de (3.2) se prolonge univoquement en un homomorphisme d’anneau / de Z(G) dans À; et, si l’on pose 4 (y) — e(f(y)) pour tout yEZ(G), w est une filtration sur Z(G) qui permet d'obtenir la même N-suite (HD dé Ge

Terminons ces considérations générales en établissant une relation entre les anneaux de Lie F(H;) et P(K;) associés à deux N-suites (H;) et (K;) d’un même groupe G.

Pour cela considérons dans FP(H;)— E;H;/H;,, les sous-modules homogènes

et), 2 (HA KR) He

Les éléments de F(H;);sont les éléments de P(H;) dont toutes les composantes homogènes peuvent s’obtenir, par passage aux quotients, à partir d'éléments de K;. Cela montre que les sous-modules Z(H;); définissent sur f(H;) une filtration compatible avec sa structure d’anneau de Lie. L'anneau de Lie gradué GÆ(H;) associé à P(H;) ainsi filtré est naturellement bigradué, puisque la graduation primitive de f(H;) définit, par passage aux quotients, une graduation sur P(H;)/£(H;);.,. Nous dirons pour abréger que f(H;) est filtré à partir de la N-suite (K;), et nous appellerons G£(H;) l’anneau de Lie bigradué associé :

THéoRÈME (3.3). — Sorent(H;) et (K;) deux N-suites dans le groupe G. Considérons l’anneau de Lie P(M;) que nous filtrons à partir de la N-suite (K;), aënst que l’anneau de Lie F(K;) que nous filtrons à partir de la N-suite (M;). Alors les anneaux de Lie bigradués associés : GAP(H;) el GP(K;) sont canoniquement isomorphes.

En effet, G£(H;) s'identifie au groupe

Sn) ARS et de même G£P(K;) s’identilie à

SARA) MRNEANR E Or le « lemme de Zassenhaus » classique établit l’isomorphisme des groupes quotients

(HnK;)B/(H0 Ka) et (K;nB)K/(K; NH )Kye

(#) «west l’image réciproque de la filtration + de À par Phomomorphisme /.

nt ten

en montrant qu'ils admettent tous deux comme système de représentants un système de représentants quelconque du groupe

(HnK;)/(Hn K;1) (Hhn K;).

Nous voyons ainsi comment établir l’isomorphisme canonique des anneaux de Lie bigradués G£(H;) et GP(K;) en associant leurs composantes homogènes de degrés respectifs (1, 7) et (y, 1); l'existence d’un système de représentants communs montre qu'il s’agit bien d’un isomorphisme pour les structures d'anneaux de Lie, puisque les crochets de Lie s'obtiennent à partir des commutateurs dans G& par passage aux quotients.

Remarque (3.4). — Nous avons démontré le théorème (3.2) par un calcul direct. Nous aurions pu le faire apparaître comme une conséquence d’un résultat plus profond dû à Kaloujnine ([13], [14]). Soient G un groupe (H;) une suite de sous-groupes invariants dans G, K le groupe des automorphismes de G. Désignons par L; la partie de K constituée par les automorphismes qui laissent invariants les groupes quotients H;/H;,; (c’est-à-dire que 2€ L;équivaut àaeKetx ‘a(x)ell;,; pour tout entier positif z et tout xeH;). Alors (L;)est une N-suite dans le sous-groupe L, de K. Pour retrouver le théorème (3.2), il faut identifier le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau avec unité À à un sous-groupe du groupe des automorphismes du groupe additif de A (en considérant les multiplications à gauche).

4. LA SUITE CENTRALE DESCENDANTE D'UN GROUPE LIBRE. — Soit Q un anneau commutatif possédant une unité (notée 1), et (æ,),a une famille d'éléments que nous prenons comme générateurs libres d’une Q-algèbre associative avec unité, que nous noterons À. A est ainsi l'algèbre des polynomes à coefficients dans Q par rapport aux « variables » non commutatives (x,), ou encore l’algèbre tensorielle du Q-module libre de base (x,). A est porteur d’une graduation naturelle : les scalaires (éléments de Q) sont de degré o, les générateurs (x,) de degré 1. Nous appellerons ordre de x € À, et nous noterons w(æx) le degré minimum des composantes homogènes non nulles de +; « est alors une filtration séparante dans A, et, en complétant À pour la topologie associée,

noûs obtenons A, algèbre des séries formelles non commutatives par rapport aux (x,) à coefficients dans Q. Par définition, À sera appelé algèbre de Magnus à coefficients dans Q et de générateurs (x,),4. Dans A, les éléments 1 +4, deviennent inversibles ((i CO De DD D ; et engendrent donc un groupe multiplicatif G.

Taéorème (4.1). — Dans toute algèbre de Magnus de générateurs (æ,),a, les

THÈSE M. LAZARD. 2