LL ASS

éléments (1+æ,).a engendrent, par rapport à la multiplication, un groupe

libre G(°).

Il s’agit de démontrer que

(+ a rater

quand tous les exposants x; sont des entiers rationnels £o et que deux indices

consécutifs quelconques t;, ,, sont distincts. Nous rapportons À à sa base naturelle constituée par les produits de æ,; alors tous les éléments de Gont pour coordonnées des multiples entiers de l'unité dans Q. Nous pouvons donc nous borner au cas où G est l’anneau Z des entiers rationnels, ou l’anneau 4, des entiers mod n. Le coefficient de x?...æŸ" dans le produit considéré est égal, si tous les exposants B; sont Æo, au produit des coefficients binomiaux : (%)...(4). Soit p un nombre premier qui sera supposé diviser z dans le cas où Q — Z,. Alors, si nous définissons f; comme la plus grande puissance de p divisant à;, B; 1 et (k)<o(modp) (!°). Ainsi le produit (&;)...(4) n’est pas divisible par p et ne peut donc être nul dans Q, ce qui démontre le théorème.

Nous appliquerons le théorème (3.2)au groupe libre G plongé dans l'algèbre

de Magnus A filtrée par son ordre. Lorsque Q — 7%, les sous-groupes de la N-suite ainsi obtenue ont été appelés par Magnus « groupes de dimension » de G. Witt [33] et Magnus [22] ont établi ultérieurement que cette N-suite coincidait avec la suite centrale descendante de G.

Lorsque Q —Z,, on obtient les « groupes de dimension modn » de G. Ils ont été caractérisés, pour z premier, par Zassenhaus [36]. Nous les étudierons dans le cas général. En tout cas, nous savons que les groupes de dimension constituent toujours des N-suites séparantes des groupes libres. D'où le résultat : tout groupe libre est un N-groupe.

Nous aurons à faire usage de certaines propriétés de l'algèbre enveloppante universelle d’une algèbre de Lie. Si L est une algèbre de Lie sur l’anneau commutatif d'opérateurs Q, une algèbre enveloppante universelle A de L est une Q-algèbre associative contenant L (comme sous-algèbre de l’algèbre de Lie portée par A), engendrée par L (en tant qu’algèbre associative), et telle que toute représentation linéaire f de L dans une Q-algèbre associative B puisse

(9) Magnus [21 |.

(19) En effet, posons à = fY, B étant une puissance de p et y un entier premier à p. Alors, siaæ >0o,

(1+ x) — (Ga + æ)8 )t =(1+a8) =(i+yx8+...) (modp). I en résulte, d’après le développement de (1+ æ)-1, que (i+ a) =r+ yrb+..…. (mod p),

quel que soit le signe de l’entier «.

ne LES

être prolongée en un homomorphisme d’algèbres 2 de A dans B. Ces conditions déterminent À à un isomorphisme canonique près. Nous admettrons l'existence de A lorsque L possède une base sur Q (Poincaré[28], Witt{331, Birkoff[21)(*); si(e,),a est une base de L sur Q, on obtient une base de A sur Q formée de monômes par rapport aux e, (produits de e,) en choisissant un représentant et un seul dans chacune des classes de monômes qui ne diffèrent que par l’ordre des facteurs. En particulier, les puissances e’(1€I, » entier > 0) dans A sont linéairement indépendantes sur Q.

Montrons que dans l'algèbre de Magnus À de générateurs (x, ),e, à coefficients dans Q, la sous-algèbre + Lie L D par fé (æ,) est une Q-algèbre de Lie libre par rapport aux générateurs eos Soit, en effet, L'une Q-algèbre de Lie libre par rapport aux générateurs (y.).e, en correspondance biunivoque avec les (æ,). L' admet une base sur Q, donc une algèbre enveloppante A’ qui admet les (y,) comme générateurs. Soit f l’homomorphisme de L’ sur L qui applique chaque y, sur x,. f se prolonge en un homomorphisme g de A' sur la sousalgèbre A de À engendrée par les (x,); par définition, A est libre par rapport aux (x,), et gest ren biunivoque. Sa restriction j'établit donc l’isomorphisme deL'et L’

Soient maintenant À l'algèbre de Magnus de générateurs (x, a à coefficients entiers rationnels, G le groupe libre engendré par les (1+x,), et (H;) la N-suite déterminée dans G par la filtration w de A[th.(3.2)]. Si (G;) désigne la suite centrale descendante de G, il existe d’après (2.2) un homomorphisme canonique de P(G;) dans P(H;) (*?). P(G:) est engendré par ses éléments de degré 1, et par conséquent par les classes modG, des éléments (1+x,) qui engendrent évidemment G/G,. L'image canonique 9 de (Gi) dans P(H;) est donc engendrée par les images des classes modG, des (1+x,), c’est-à-dire (en traduisant la définition de l’homomorphisme utilisé) par les classes modH, des (1+ x,), Or, f(H;) s'identifie canoniquement à un sous-anneau de l'anneau de Lie porté par G(A), lequel à son tour s’identifie canoniquement à A. Si nous composons ces identifications, f(H;) devient un sous-anneau de l’anneau de Lie porté par A, et M s’identifie au sous-anneau de Lie engendré par les (x) dans A. Nous venons de démontrer que ce sous-anneau est un anneau de Lie libre par rapport aux générateurs (x,); cela entraine que l’homomorphisme de #(G;) sur 9 est biunivoque, ce qui n’est possible, d’après (2.2), que si G;= H; pour tout entier z. Nous avons donc le :

Taéorème (4.2). — L'anneau de Lie P(G:;) associé à la sutte centrale descen-

(11) L’algèbre enveloppante n'existe pas toujours si L n’a pas de base (Chirchov [3}). Néanmoins, si © est un anneau principal (Z ou Z,, par exemple), l'algèbre enveloppante existe (Lazard) [15 ]. (22) Associé à l’isomorphisme identique de G sur lui-même.

: tOÿe2s

dante (G;) du groupe libre G est libre. Un système de générateurs indépendants de Æ(G;) est constitué par les classes modG, d'un système de générateurs indépendants de G. Si G est identifié au groupe muliplicatif engendré par les (1 + +.),a dans l'anneau de Magnus à coefficients entiers de générateurs (æ,), chaque sous-groupe G; est formé des éléments de G& dont les composantes homogènes de degré strictement compris entre o et 1 sont nulles.

Ce théorème admet une réciproque :

Taéorëme (4.3). — Soit G un groupe engendré par ses éléments (æ,).e ét (Hi) une N-suite dans G. Si les classes modH, des (x,) constituent, dans l’anneau de Lie #(H;), un système de générateurs indépendants d’un sous-anneau de Lie libre, alors G est un groupe libre par rapport aux générateurs (æ,), et (H;) est sa sutte centrale descendante.

Considérons, en effet, un groupe libre G' de générateurs (y.),er en correspondance biunivoque avec les (x,), et l'anneau de Lie f(G;) associé à sa suite centrale descendante. A l’homomorphisme f de G’ sur G qui applique chaque y,

sur æ, est associé l’homomorphisme / de P(G:;) dans (H;) qui applique y,modG, sur æ,modH,. Or, Æ(G,) est engendré par les classes y.modG, et /, qui applique £(G;) sur un anneau de Lie libre par rapport aux /(y.modG,), est

donc biunivoque. Cela entraine, d’après (2.2), CN CH) pour tout 7. Le noyau de f est contenu dans l'intersection des G, qui se réduit à l'élément neutre puisque G est un N-groupe. Ainsi / est un isomorphisme de G’ sur G tel que H;— f(G;) pour tout 7, ce qui achève la démonstration.

9. LES p-FILTRATIONS DES ANNEAUX DE MAGNUS. — Soit p un nombre premier. Un module quelconque A est filtré par ses sous-modules p'A (zentier =0)constitués par les éléments de la forme p'x, où æ€ A. Nous désignons par w,(A; æ) la filtration correspondante; ainsi æ,(A ; æ)—1 signifie +ep'A etæép"'A. Pour simplifier, nous écrirons æ,(æ) au lieu de æ,(A ; æ) lorqu'il ne pourra pas y avoir d’équivoque sur le module A.

Prenons en particulier l'anneau de Magnus & de générateurs (æ,)a, à coefficients entiers rationnels. æ, est une filtration séparante dans &, et le complété &, de & pour la topologie associée à æ, s’identifie à l'algèbre de Magnus de générateurs (x,) à coefficients entiers p-adiques. Comme précédemment, nous considérerons le groupe libre engendré par les (1x, dans le groupe multiplicatif des éléments inversibles de &,.

Nous connaissons deux filtrations sur &, : w, et l’ordre w. Nous allons étudier certaines filtrations + sur @, construites à partir de w, et de w, qui devront vérifier les conditions suivantes :

(9.1) «. Si E,,-,y: est la décomposition de yEe@,, en somme de ses composantes homogènes,

OU) Mie):

De plus, siw(y) 1, (7).

5. Si EX, est homogène de degré :, e(y;) ne dépend que de cet de #,(@ 3 Yi).

La condition x s’énonce encore ainsi : la filtration + est compatible avec la graduation de &, ; F(æ) 0 pour tout re &, et s(x,) == 1 pour un générateur quelconque x, de &,..

D’après 6, siyEe &, est homogène,

(e (4) = F,(degy, wp(Y));

F(x, j) désignant une fonction déterminée des variables entières © 0, z et 7, à valeurs entières © 0 ou +.

Réciproquement, pour que la fonction F,(7, j) définisse une filtration + satisfaisant à (5.1), il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées (pour tous entiers t, j, d, J 0):

s. CE AU MAC, 12h (EN Oo) ie F,(, 9) + FAP JL (+0, j +)

Ces conditions s’obtiennent en explicitant les axiomes généraux des filtrations pour la fonction construite à partir de F,(7, j) conformément à (5.1).

Nous nous proposons d'étudier les N-suites de G associées (3.2) aux filtrations e vérifiant (5.1). Nous aurons donc à calculer e(z2— 1) pour 2€ G. À cet effet, nous utiliserons une représentation de z comme produit infini, ce produit convergeant au sens de la topologie associée à la suite centrale descendante (G;) de G. Rappelons (4.2) que (G:;) est associée à la filtration w. Si nous convenons de poser p°— 0 et, par conséquent z°°—1 pour 2€ G, nous avons le

LEMME (5.3). — Tout élément 3€ G peut étre représenté par un produit de ; CAE k, . : à puissances z— 2° 2°"... ...; les k; sont égaux à des entiers 0 ou bien au

symbole ©; pour tout i, z:EGiet, sk, ©p(Gi/Gi; Z:modG:;,1) = 0.

Supposons déjà définis, pour 1<1-<j—1, les éléments z; et les exposants #; vérifiant les conditions du lemme, et tels que

k 7 Han y :

(CFA a TE CNT

SizeG;,., nous prendrons #;—, d’où #7 /—1; sinon v(Gj/G;1 ; z;modG;,1) = 10e

est fini (puisque GG; est un groupe abélien libre), et il existe z;eû; ets, eG;:1, tels que 2= #13... Ainsi se poursuit la construction du produit ordonné I?,2?* qui converge vers z pour la (G;)-topologie puisque, pour tout entier 7, Il. est

Nous voyons qu'une grande indétermination subsiste quant aux choix des 2° : une fois choisis les 2 pour 1j —1, k; est bien déterminé, mais 3; est seulement déterminé modG,,,. Néanmoins la donnée d’une suite (k;) suffit pour calculer e(3— 71), 6 désignant une filtration satisfaisant à (5.1). Nous caractériserons la filtration 6 au moyen de la fonction F,(7, j) vérifiant (5.2).

Calculons d’abord p(a2 — 1), #; étant fini. Posons

A am St

où y;estlacomposante homogène de degré rde 3;, et, puisque 3, € G;,0(4,,)>=1+1. D'après (4.2), y: appartient au sous-anneau de Lie L engendré dans &, par ses générateurs (x,) et æ,(G/G:,:3; 3: modG;,,)— o équivaut à æ,(L; y:)—= 0. Mais, d’après les propriétés de l'algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie, si EL, w,(&; yi) =, (L; y:) et, d'après les propriétés de la complétion p-adique, æ,(&; y) —=#, (@; y:). Ainsi finalement #,(@, ; :)— 0, et, de même, #,(@, ; Y')—= 0 pour toutentierr 1.

D’après (5.1):

e(( Ji)" 1)= Inf (Cr) = Inf F(ir, w((%)))-

iZrzpli iZrepfi

Montrons que

p(rrie- (1 +) > e(( + Ji ji 1) LL.

En effet :

el ( Ne (rer 212 = Inf, e((7) (67 Et y: )):

Or D ( (y: te LRNES y) __ cr + 1,

et, par conséquent,

11 (Go + li. )—yi) )=Fir+ Fi (5) er Cr, ((*)))+ EU(CEPDANENS

Ainsi,