I -h mx H- /i

Si maintenant on pose

1 H- ma; + iif I 4- ma; H- /i^

on aura pour Y le développement Y = X* -h aX^ -f- ... de la forme annoncée. C'est donc un développement de cette forme que je substituerai dans la fonction envisagée y = 2*A*— 3'V'. J'ai successivement

ûs = -^ = 1-1-7 ,Socx* -h . . . , a. 3 '

fli— o / = 7.5aa:»-f-. . ., 2.3.4

2.3.4-5 V = «î^j— 3^36(3^4 -+-2aî =2 -h 2'. 3. 7 «a?* -h. ..,

11 est immédiatement visible» d'après cette expression de V, que le second terme de Z (18) contient x au quatrième degré, d'où résulte que 9 est divisible au moins para?\ Pour s'assurer que le terme du quatrième degré ne disparait pas, il faudrait le former au moyen de la formule (19).

Mais on peut remarquer que ce calcul est inutile. Dans A le coefficient de a^ estU^Y. Donc dans A' le coefficient de a, contient simple-

ment le fadeur U\ Comme a^ n'entre pas dans V, on a la un terme ne pouvant se réduire avec aucun aulre» et qui ne contient pas le facteur U'. On est donc assuré que U^ est précisément le facteur cherché. J'ai donc cette conclusion : La quantité (2* A' — 3*V*) est divisible parU* et ne l' est pas par U* . Soit

La dernière remarque prouve que la quantité h à laquelle se réduit H pour U= o contient la lettre a^. Ce résultat sera utile plus loin. On pourrait par le calcul précédent obtenir h. Il sutfit, à cet effet» de calculer a en fonction de m, n, p, remplacer ces dernières lettres par leurs expressions en a, b^ c, mettre à la place de ces dernières a^^a^^a^, et rétablir a^ pour l'homogénéité. Cette expression de h ne nous sera pas utile.

25. En terminant ici ce qui concerne la théorie des invariants du septième ordre, cherchons à concevoir, de la manière la plus générale possible, un invariant différentiel. Nous nous acheminerons ainsi vers les invariants d'ordre supérieur.

Imaginons entre x et y une relation dont la forme reste inaltérée parles transformations homographiques, et qui contienne m arbitraires. Ecartons tout d'abord le cas oii cette équation se changerait en ellemême par une infinité de substitutions homographiques : ce cas excepté, la forme envisagée admet (/ti— 8) invariants absolus indépendants. Entre ces invariants établissons à volonté {m—S — n) relations. La forme ne contient plus que(/i + 8) arbitraires, par l'élimination desquelles on pourra obtenir une équation différentielle d'ordre (n + 8), dont le premier membre sera un invariant. On conçoit donc ainsi une infinité d'invariants différentiels à partir du huitième ordre. On voit de plus qu'il n'est possible d'en obtenir d'ordre inférieur qu'au moyen d'une équation jouissant de cette propriété de se reproduire elle-même par une infinité de substitutions homographiques. Or on sait, d'après un résultat obtenu par MiM. Klein et Lie, dans un Mémoire cité plus liaut('), quelles sont ces équations. Ce sont précisément celles de ces

( ' ) Mathenuitischc Annalen^ t. IV, p. 5o.

deux formes a = p^y*"^ et - = log- que nous avons rencontrées ici.

On a donc la une confirmation nouvelle des résultats qui concernent les invariants d'ordre inférieur au huitième.

V. — Théorie des invariants du huitième et du neuvième ordre.

26. L'un des théorèmes généraux démontrés au § III» le théorème VI, fournit le moyen de former méthodiquement les invariants différentiels de chaque ordre. Il nous fait voir» en effet» que pour obtenir tous les invariants d'ordre n il suffit d'en connaître un de cet ordre» qui soit linéaire par rapport à la dérivée d'ordre n» et de connaître tous ceux d'ordre moindre. Le procédé sera donc complet quand on saura, au moyen de ces derniers» former cet invariant nouveau d'ordre /i, linéaire par rapport à ii^* Cette question est résolue par la proposition suivante :

Théorème VU. — Si ket 'R sont deux invariants différentiels d'un même degré et d'un même poids, la quantité BA' — - AB' est aussi un invariant différentiel.

On le prouvera» soit en appliquant le théorème lY» soit plus simplement encore en observant que l'équation BA' — AB' = o résulte de l'élimination de la constante arbitraire k dans l'équation invariante A4-*B =o.

Si maintenant A est d'ordre ( 71 — i), et B d'ordre (ai — i)ou moindre, BA' — AB' est d'ordre n et contient a^ linéairement. On a donc ainsi formé l'invariant nouveau nécessaire. Soit ^ cet invariant. On le combinera avec les invariants d'ordre moindre» supposés connus» conformément au corollaire du théorème lY» c'est-à-dire en composant des quantités d'un même poids et d'un même degré ; dans ces combinaisons seront contenus» suivant le théorème YI» tous les invariants d'ordre n. En ce qui concerne l'existence des invariants A et B nécessaires à la formation de ¥» on a la proposition suivante :

Théorème YIII. — Avec un invariant quelconque A et les invariants U» Y» A», on peut toujours composer un invariant absolu rationnel.

Soit, en effet» la combinaison AU" Y*" A''. Désignons par^? et 9 le poids et le degré de A. Le degré et le poids du produit seront nuls si Ton fait

Ces équations se ramènent à celles-ci :

qui peuvent toujours se résoudre en nombres entiers positifs ou négatifs u^ Çf d.

Les exposants ainsi choisis, la combinaison envisagée est un invariant absolu ; elle peut donc servir à former ^. Au septième ordre, nous possédons déjà un invariant absolu A' : V^ Nous sommes donc en mesure d'appliquer la méthode sans y rencontrer aucun obstacle, et nous pouvons dire que :

Théorème IX. — A partir du septième ordre^ il existe pour chaque ordre un invariant absolu.

Soit maintenant un invariant différentiel du n^^ ordre. D'après le théorème YI, on a identiquement

CO = E Y- -f- E, Y«-« -h ...-+- E„-.. Y -h E„,

égalité dans laquelle G, E, Ëo* . . , E/, sont des invariants d'ordre moindre que n. Soit B¥ un des invariants absolus qu'on peut former avec Y suivant le théorème YIIL Nous pouvons l'introduire au lieu de )F, puis diviser par E;,, de manière à obtenir finalement

^ = F(BY)--t-F,(BY)— -^...-+-F^.(BY)-+-i,

équation dans laquelle tous les termes sont des invariants absolus. Il résulte de la celte proposition :

Théorème X. — Toute équation différentielle invariante d^ ordre n, non inférieur à 7, consiste en une relation entre un invariant différentiel absolu d'ordre '], un invariant absolu (Tordre S,., .^un inçanant absolu d'ordre n.

En effet, si la proposition est vraie jusqu'à l'ordre {n — 1) inclnsi-

vcmeDt, la dernière équation montre qu'elle sera également vraie pour Téquation $ = o, qui est quelconque cl*ordre n. Or son exactitude a été prouvée pour le septième ordre; donc elle est exacte d'une manière générale.

27. J'applique les principes généraux, que je viens d'exposer, aux

invariants du huitième ordre. Pour former l'invariant fondamental

comme l'indique le théorème VII, j'emploie l'invariant absolu A' : V*.

J'ai ainsi