Y = 3VA'-8AV
Maison ne saurait conserver sans inconvénient, pour les applications, cet invariant, car il est décomposable en deux facteurs. En effet, de Tégalilé (n« 24)
on déduit, en différentiant,
2»A»Y=U»(VUH'-8UHV'-+-4VHU'),
et l'on en conclut que V contient le facteur U*. Je prendrai donc pour invariant fondamental et je désignerai par T la quantité
^ 3VA'-8AV' T= jj,
Dans A le coefficient de a^ est U* V ; par suite, dans T le coefficient de a, est 24irV*. Il sera utile de savoir aussi à quoi se réduit T pour U = o; l'avant-dernière égalité le met en évidence. Les quantités A, V, U' sont alors Za\, !ia\^ Saj. Désignons par h ce que devient H, et concluons
L'invariant T a pour degré 8, et pour poids a8. Remarquons qu'on peut aisément composer un autre invariant!, dans lequel le coefficient de a^ ne contienne que le facteur V. Il suffit de poser
L'invariant T< est entier, car la formule (21) montre que le numérateur
se réduit à zéro pour U = o; il est donc divisible par U.
28. On peut former directement Tinvariant T d'une autre manière. Il provient ici de Télimination de k dans Téquation A' + *V* = o. En conséquence, l'équation T = o a pour intégrale générale a = ^^7*"^, dans laquelle non-seulement les coefficients des trinômes, mais encore l'exposant X, sont une constante arbitraire. On peut donc obtenir T par élimination. On sait déjà éliminer une constante et parvenir à Téquation de Jacobi
On aura maintenant à éliminer A, B,. . ., ce qui se fera aisément par le même artifice déjà employé au n° 6 pour former A. On trouve ainsi une équation dont le premier membre est
tfa
6afl
Oi,
3aJ
3 as a.
']ata.
Sai^a
SaaûTs -♦-
Sa^as
Ce déterminant coïncide exactement avec l'invariant T obtenu précédemment. Pour s'en convaincre, que Ton retranche des éléments de la cinquième colonne ceux de la quatrième multipliés par ^a^, puis ceux
de la sixième multipliés par ~; on réduit ainsi à zéro tous les termes,
sauf les deux derniers, qui deviennent respectivement
Le cinquième. . . —
a\a^ -+- ia\ — 3a3a3a4
Le sixième
Zaïa-^a^ 4-4^a<^î "^ ?.aîac — 5flf ^4 1 V
Si Ton désigne par E, F les deux mineurs correspondants, on a ainsi
T = -~E-hr— F.
Dans E seulement se trouve a., et l'on obtient aisément
T = 24UV»a.
Ainsi dans le détermiDanl le coefficieDt de €7, est le même que dans Tinvariant précédent; donc> eu égard & leur mode de formation, ils coïncident entièrement.
29. II est nécessaire de former encore une combinaison particulière avec l'invariant T et les précédents, en vue des applications. Au moyen de la formule (i8) et en poussant les calculs jusqu'aux termes en V^ exclusivement, je puis écrire
Z' = 7«U*V'^ — 2«3.7U»VV'(U'V' -hUV) + . . ., U«V'»Z = -.7U*V'* -+-2.3U»VV'(U'V' + UV') -f- . . ., U*W'Z'= -2\U^VV'{U'V' -^-UV^j-f- ...
d*où il résulte que la combinaison
Z» -f. 7U>V'»Z - 2-'.3.7U» VV'Z'
est divisible par V. En y mettant A au lieu de Z suivant la formule (20), j'ai cette conséquence que la combinaison
û = 2^3«A> -H 2»U^V'»A — 3U»VV'A'
est divisible par Y^. Prenant maintenant l'expression de T
U»T = 3VA'-.8AV', l'élevant au carré, j'obtiens
U»P -i- 2-. 3» A» = 2* Au 4- 3*U»A'»V»;
d'où résulte que le premier membre est divisible par V. Je fais maintenant intervenir H
je supprime le facteur \]\ et j'obtiens la combinaison suivante, qui est entière :
On est assuré que 6 ne contient plus le facteur Y. En effet, dans T le coefficient de ^, contient simplement le facteur Y^; donc, dans T^ et par suite dans le numérateur de G, le terme du premier degré en ^g, qui ne peut se réduire avec aucun autre, contient le facteur Y^ et non Y'.
30. Au moyen de T, on peut former Tinvariant absolu U*V"*T. En y joignant rinvariant absolu A' Y'^ et appliquant le théorème X, on a cette conséquence :
Toute équation différentielle invariante du huitième ordre consiste en une relation entre les deux quantités U* V~*T et V~* A*.
D'où il suit un procédé simple pour former Téquation diflérenlielie correspondant k une intégrale projective donnée et contenant huit constantes. On en prendra un cas particulier, sans aucune constante, on calculera les deux invariants absolus, et entre leurs expressions on éliminera la variable indépendante. C'est, on le voit, un procédé tout semblable à celui qu'on emploie en Algèbre pour calculer un invariant en fonction des invariants fondamentaux d'une forme. Je vais immédiatement en donner un exemple, en cherchant V équation différentielle des courbes du troisième degré à point double .
Je prends l'équation de la courbe sous la forme
En posant (i — a?)"** = /, on a
Le calcul de A s'effectue très-rapidement, sous la forme en déterminant (n^6), et l'on obtient
En conséquence et en remplaçant t^ par 2, on a
L'équation ehorchéo résulte de l'élimination de z entre ces deux dernières. Cette élimination est très-simple, la dernière équation donnant immédiatement 2 en fonction de S, mais sous forme irrationnelle. Chassant ensuite les radicaux après avoir porté cette valeur dans 13, on obtient
Substituant à la place de^,>7 leurs expressions et tenant compte de (23), je transforme cette équation en la suivante :
