G-2.3'TV»)'-+-2«.3U«P

V équation [iS) est T équation différentielle des cubiques douées d^un point double.

31. II importe de savoir s'assurer si un invariant différentiel ainsi exprimé au moyen des invariants fondamentaux est décomposable en facteurs. Les seuls facteurs qui puissent^n'êlre pas immédiatement en évidence sont ceux qui composent le coefficient de a^ dans T, c'est-àdire U et V. Voyons d'abord comment on pourra trouver le facteur U, dans une fonction des deux quantités Ç, y?.

Au moyen des deux forniules

on remplace Tet A' parT, et H; en sorte que l'on aura une fonction des deux quantités a, b

On prendra le groupe des termes a'^i" pour lesquels (5/w + 4^) est minimum, et l'on aura ainsi en évidence le facteur U à la puissance {Sm -f- 4^)- Ce facteur enlevé, je dis que la fonction n'est plus divi- ' sible par U. En effet, si le groupe des termes qui ne contiennent pas explicitement le ft\cteur U se compose de plus d'un terme, il y entre la quanlitéTi : dansT, la lettreag a pour coefficient une puissance deV; donc, dans le terme qui contient T| à la plus haute puissance, existe un terme ne se réduisant avec aucun autre et qui ne contient pas le facteur U. Si, au contraire, il n'y a qu'un seul terme, la non-existence du facteur U est manifeste.

JFaisons immédiatement l'application de ce procédé a l'équation (25). Prenons-y le terme élevé au carré et remettons à la place de G son expression (23). Nous avons ainsi

G- 2.3'TV'= U^T^-f-9H-2.33(UT.4--:rH) ^ „ H!llriiL?!l' .

d'où résulte que cette quantité contieut une fois le facteur U» et que le premier membre de {25) est divisible par U*.

32. Pour rechercher le facteur V, je réduis l'invariant considéré à

ne contenir T qu'au premier degré, au moyen de la formule (23).

Posant

je réduis l'invariant a la forme £/(a, ^) -H 9 (a, b). Soient a'"6" et a^b^ des termes de /et 9. Après avoir chassé les dénominateurs, on aura un groupe de termes où le facteur V ne sera pas en évidence. Ce groupe sera composé des termes pour lesquels (6m -f- 8n -f- 4) ou (6/ui h- 8v) est maximum. De la manière la plus générale, supposons

max. de (6m -+- 8n -h4) = max. de (6/ui4-8v) = A*.

Le cas où l'une des deux parties seulement de l'invariant contribuerait au groupe envisagé est un cas particulier auquel l'analyse s'appliquera, comme on va le voir.

Le groupe formé des termes où le facteur Y n'est pas en évidence peut s'écrire ainsi :

Je dis qu'il n'est pas divisible par Y. Si> en effets il était divisible par Y, il en serait de même de la quantité

S'=U'PA-»/î(u*GA"*)~(p;(u^GA"*).

Celte dernière, en négligeant des termes qui contiennent Y en facteur, peut s'écrire

-S' = 9/;(u<GA"*)4-9f(u*GA"^)=^(u*GA"*).

Dans 6 il existe, ainsi qu'on l'a déjà fait observer, un terme conte-

nant a^ et non divisible par Y. Donc la quantité U^GA"* ne se réduit

pas à une constante pour Y = o. Une fonction de cette seule quantité

ne peut donc s'annuler identiquement, en vertu de l'hypothèse Y = o,

et, par suite, ne peut contenir le facteur Y.

Ainsi la transformation indiquée met en évidence le facteur Y, présément avec le plus haut exposant possible.

Si Ton fait application au premier membre de (^S), on voit que ce premier membre n'est pas divible par V.

33. Occupons-nous maintenant des invariants du neuvième ordre. Nous pouvons former l'invariant fondamental au moyen de l'invariant absolu U*TV""\ Nous aurons ainsi

S = UVT' -4- 4 (VU' - UV ) T.

Pour une application ultérieure, nous formerons de préférence un autre invariant fondamental au moyen de l'invariant absolu U*T^A~'. Faisons d'abord

L'invariant W est divisible par Y. De (a3), je conclus en effet

K étant un invariant entier» et ensuite, en différentiant»