Nous pouvons dès lors énoncer le théorème suivant

Théorème I. — Soit une série ^f„(z) = F(z) et une aire S à contour quelconque : si les fonctions f„(z) sont holomorphes dans S et continues sur s, et si la série F(z) converge sur s uniformément : i" la série F(s) converge uniformément dans toute aire S' intérieure à h et sans point commun avec s ; 2° les séries formées par les dérivées successives des termes de F(s) convergent uniformément dans S' et représentent les dérivées successives de F(s) dont l'existence est ainsi démontrée.

Formons en effet la série

et appelons M le module maximum de -, . ^ -.p+ i quand s varie sur le contour s, et X dans l'aire S'. On peut, quel que soit e, trouver un entier v assez grand pour que, n étant supérieur à v, | MR„(3)| soit inférieur à s quand s

12 p. PAINLEVE.

parcourt s. D'après le lemme I, la série

est convergente, et de plus, pour les valeurs de n qu'on vient de définir, le reste de cette série H'^/x) a un module inférieur à Iz (octant la longueur de s), quelle que soit la position de x dans S' et sur son contour. D'autre part,

"" —:r—:Jni^)-

La série S/^f (a?) converge donc uniformément dans S'. On déduit sans peine du lemme II qu'elle représente la dérivée ^i*'"'* de la fonction F(a;), définie par la série convergente ^/^^(a;).

Le théorème est encore vrai, si chacun des termes /„(s) est discontinu sur^î, en des points «„, a^,, ..., ne formant pas de suite linéaire, pourvu que \Jn{^) I ne croisse pas dans S et sur s, au delà de toute limite. Il suffit de répéterleraisonncmentprécédcnt, enremarquantquol'intégrale / /^ /,^i

a un sons et représente encore — ^ — '- — f^(x), ainsi qu'on le voit facilement.

Le théorème subsiste même si la série converge uniformément sur ^, sauf en des points a,, a„, .. . (ne formant pas de suite linéaire), pourvu que le module maximum de S„(s) sur s ne croisse pas au delà de toute limite avec n. Il suffit de raisonner comme précédemment, en appUquant le lemme I généralisé.

6. TiiÉoitiiSiE II. — Soit un espace S, admettant la représentation conforme sur un cercle, et une série 2f„(a?,y) : les fonctions c„{x,y), qui satisfont dans S à l'équation Ac„^^ o, sont uniformes et régulières dans cet espace, et continues sur son contour s. Si la série

converge uniformément sur s : i" elle converge uniformément datis toute aire S' intérieure à S, et sans point commun avec s; 2" les séries formées par les dérivées partielles des termes de V(ic,y) convergent uniformément dans S', et représentent les dérivées partielles de V(a:,y) dont

SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l3

l'existence est ainsi démontrée. Ces dérivées satisfont à l'équation

AV = o.

Supposons d'abord que S soit un cercle C de rayon i, ayant l'origine pour centre. On sait que

(^, ï]) est un point de la circonférence c de C, (x,y) un point de C;

Si M est le module maximum de , ^ , ^ (■— r^— -) quand (^, t]) parcourt c, et quand (x,y) varie dans S', on peut trouver un entier v assez grand pour que, n étant supérieur à V, M| R„(^, ï])| soit inférieur à e, quel que soit (?,ï]) sur c. Par suite, la série

2ifs4-^(^)'.'^-^'-.

converge uniformément dans S'; car, pour les mêmes valeurs de n, le reste 'R'^(xy') est dans cet espace inférieur à t.

La série "S - - -■ "g représente, d'après le lemme II, , „ 1 p i 1^ fonction V définie par la série ^i>„(^x,y) satisfait donc dans C à l'équation AV ^ o et est régulière dans ce cercle.

En partant de Tesprcssion

on voit que la série

converge uniformément dans S', ainsi que ses dérivées. Ceci résulte encore de l'intégration de la série V ~ — i-r^- Toutes les fonctions /«(s) dont la partie réelle est c„{x,y) sont de la forme c,i(x,y) -+- iu„{x,y') h- 1X2.11. Si la série

yGoosle

converge pour un point (^oî^'o) de S, comme la série (a) converge pour ai^^^n, la série 2C« est nécessairement convergente, et par suite (^) converge uniformément dans S'. Autrement dit, it„(^x,y') désignant une quelconque des fonctions conjuguées de i'^Çx^y'), la série

converge uniformément dans S'.

Soit donc une série '^/^{z) = '^v„{x,y) -\- iun{x,y), si la série 2c„(x-,y) converge uniformément sur c, et si la série l!.u„(x,y) converge en un point (^b,jKu) intérieur àc, la série et les séries formées par les dérivées de ses termes convergent uniformément dans tout espace S' intérieur à c.

Remarquons de plus que, si une série 2f„(x,jK) converge uniformément dans une aire c, les séries formées par les dérivées de ses termes convergent uniformément dans toute aire œ' intérieure à cr; il suffît, pour le voir, de décomposer a' en parties tr,, o-^, . . . qui puissent être enfermées dans des cercles c,,c.^, ... intérieurs à t, et l'on raisonne sur ces cercles comme sur c.

Revenons maintenant au cas où Taire S est quelconque; d'après la l'emarque précédente, tout revient à démontrer que la série '^{'„(x,y) converge uniformément dans toute aire S' intérieure à «. Soit

une fonction qui représente d'une manière conforme l'aire S sur le cercle C. Inversement, s,—/, (s) ~<f,(x,y) -\- i<\/,{x,y). Les fonctions/et/, sont holomorphes, la première dans C, la seconde dans S. Posons a; = ^(a;,,^,), y = ^(ie,,y,) : les fonctions ^'„{^i,y,) sont régulières dans C et satisfont à l'équation Af^, = o. De plus, la série '^p',^^,, y,) converge uniformément sur c; elle converge donc uniformément dans toute aire S', intérieure à c; si l'on remplace x, par <:f,(x,y),y, par '\',(x, y), le théorème est démontré. On généralise de la même manière la remarque relative à la série

2i'„(^,j)-hi«,.(^,j).

Le théorème II est encore exact si la série "^v^Çx, y) converge uniformement sur s, sauf en des points ne formant pas de suite linéaire, pourvu que le module maximum de S„(a;,y) sur s ne croisse pas au delà de toute limite.

Les théorèmes I et II ont été établis en supposant que S n'avait pas de

points à l'infini : mais on ramène lous les cas à celui-là à l'aide de la transformalion s = , le point a étant cxtériem' à S.

7. On peut donner dn théorème H une démonstration qui s'applique au cas où l'aire S est à contour quelconque et au cas où les termes v„ do la série dépendent de trois variables.

Soit donc dans l'espace un volume quelconque S, n'ayant pas de point à l'infini, et limité par une surface s à connexité quelconque. Si la série \(x,y, s) = 2c„(a:,y, s) (dont lous les termes sont des fonctions régulières dans S, continues sur s, et satisfont à l'équation A('„= o) converge sur s uniformément : i° elle converge uniformément dans S; 3" les séries {a) formées par les dérivées de ses termes convergent uniformément dans tout espace S' intérieur à S ei sans point commun avec s.

En premier lieu, si l'espace S est une sphère, on établit comme dans le plan, en partant de la formule

ds,

que les séries (a) convergent uniformément dans l'espace S'. 11 en résulte que, si la série V converge dans S uniformément (S étant quelconque), les séries («) convergent dans S' uniformément.

Tout revient donc à démontrer la première proposition. Considérons pour cela la somme

Cette fonction^ est régulière dans S, continue sur .ç, et satisfait à l'équation Aip = o. Elle ne présente dans S ni maximum ni minimum, et, par suite, pour tout point (x,y, z) de S, la valeur de tp est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de ç sur s, ou égale k l'ime de ces deux valeurs. Si \j, désigne le module maximum de ip sur s, le module de ^ dans S est au plus égal à pL. D'autre part, on peut, par hypothèse, trouver un entier V assez grand pour que, quel que soit p, \ rf{^Xjy, z) | soit sur s inférieur à un nombre positif donné s, autrement dit pour que [a soit inférieur à e. Pour

tout point de S et de s, l'expression V v^(x,y, s) a donc, quel que soit p,

un module inférieur à £ : la série V converge dans S uniforinémenL.

Remarque. — Si S comprend le point ce, s ayant lous ses points à distance finie, cliaque fonction f„, holomorphe dans S, est holomorphe pour le point îo: fa(=o) = a„. Quand la série 2a„ est convergente, le théorème II s'applique encore à l'espace S. Il suffit de prouver que la série

converge dans S uniformément : pour le voir, on pose

(l'origine est supposée extérieure à S): la série V ^'' 'f '" a tous ses termes réguliers dans S', continus sur s', et converge uniformément sur s', par suite dans S' : on en conclut qu'il en est de même dans S de la série 2u„(a;,y, z).

Si la surface s a des points à l'infini et si les fonctions c„, régulières dans S, sont régulières aussi au point ec]v„(ca') = a„], on voit, en employant la nïème transformation, que la série 2f„ converge dans S uniformément, quand la série 2;'«„(^,y, z) converge uniformément sur 5, la série 2]o;„ étant de plus convergente (/• = \/x^ + y'^-hz-).

8. La série 1.v„(x,y, s) convergeant dans S uniformément, la fonction V{x, y, s) est continue dans S et sur s : quand (x,y, z) tend vers le point (^,yi, C) de s, V(a:,j, s) tend vers la valeur V(^, ïj, 'Q = 2f„(^, t], (T). Comme la remarque s'applique au cas de deux variables, on en déduit que, si la série 2/„(3) converge surs uniformément, elle converge uniformément dans S, et, par suite, quand z tend vers un point "C de s, 'Sif„{z) tend vers la valeur 2/„(C), ce qui ne résultait pas delà première démonstration.

Quand la série2c„(a7, y, s) ne converge pas uniformément sur s, le théorème n'est plus démontré. Toutefois, en s'appuyant sur la formule

=/x[v(?...o^-iS;<-.J"

on peut l'étendre à certains cas où les séries Si'^, V ~ convergent uniformément sur s, sauf sur des lignes de s.

SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FO^XTl0^iS ANALYTIOCES. 1 7

■10. Les théorèmes qui précèdent nous seront utiles dans la suite. Ils s'c- Lcndent facilement aux séries dont les termes sont des fonctions holomorphes dans un certain domaine de plusieurs variables complexes, z, «, v, .... Leur application à la série de Taylor, dans le cas d'une ou de plusieurs variables, est immédiate et évidente. Une autre conséquence très simple est relative aux produits de la forme n/„(s). Si les fonctions Lyî,(z) sont holomorphes dans une aire S et continues sur son contour s, et si le produit converge uniformément sur s, il converge uniformément dans S, et reprcv seule une fonction holomorphe de z dans cet espace. Si le produit des modules R„ des fu{z') converge uniformément sur s, le théorème est encore vrai à condition de remplacer dans l'énoncé S par un espace quelconque S' intérieur à S.

Revenons à la question qui nous a conduit à cette étude. Quand une série delà forme 2/„(3) converge uniformément dans une aire S oùles/),(z) sont holomorphes, elle représente dans S une fonction holomorphe de s. Il est impossible qu'une telle série converge uniformément dans une aire S, sauf en des points isolés, si ces points ne sont pas des points singuliers des f„{z'). Supposons qu'elle converge uniformément dans une aire S, sauf aux points singuliers des/.(2), et sur une certaine ligne L : si cette ligne n'est pas singulière pour une ou plusieurs fonctions y„(?), elle rencontre le contour * de S, à moins que les fonctions^ n'aient des points singuliers situés sur L ou tendant vers L, quand n croît indéfiniment. Autrement, en retranchant plusieurs termes de la série, on obtiendrait une série dont tous les termes seraient holomorphes à l'intérieur d'un contour fermé s" entourant L, et cette série, convergeant uniformément sur s', convergerait uniformément à l'intérieur. Ceci suppose les fn{z') uniformes dans S, sinon L peut être encore une ligne fermée entourant les points critiques d'une infinité de fonctions /„ .

Enfin, admettons qu'une série de fonctions analytiques 2y„(3) convergente dans une aire S où les^,(s) sont holomorphes ne représente en aucune portion de cette aire une fonction analytique : cette série no saurait converger uniformément dans aucune partie de S, ni sur aucun contour fermé de*' si petit qu'il soit. Déplus, il existe une portion de s' pour laquelle la série ne converge uniformément dans aucun intervalle, ou bien le module maximum de S„(s) sur s' croit avec n au delà de toute limite. En dernier lieu, si /n(s) = v„{x,y') -f- («„(a;,y), les deux séries 2p„ et 21«„ doivent présenter respectivement les mêmes singularités. Ces conditions étant sup- P. 3

yGoosle

rO p. PA1NLEVE,

posées remplies, on ne saurait d'ailleurs en conclure que la série ^y„(s) ne représente pas dans S une fonclion analytique.

11. Pour terminer, nous déduirons des théorèmes 1 et il une conséquence relative au point à l'iiifini des fonctions holomorphcs.

Soit une fonctiony(z) holomorphe pour tout point du plan situé à distance finie dans rintervallc AOB compris entre deux droites OA, OH. Si f,/(-^)] "^ croît pas au delà de toute limite quand z s'éloigne à l'infini entre deux droites quelconques OA,, OB, comprises dans l'angle AOB, /'(s) et, par suite, toutes les dérivées successives tendent vers zéro.

Soit S| Tcspace A|OB,. Considérons la série ^ . ^a - ^. ' /icsquantitésa,,

sont réelles et positives et la série V — converge). La série V-—-- — converge dans S, uniformément; car, si M désigne le module maximum de /(z) dans Sj et sur OA,, OB,, la série ^— est convergente. 11 en résulte

que la série2/'(«„s) converge uniformément dans toute aire S'intéi'ieure à S,, par exemple dans l'aire S' comprise entre deux droites OA', OB', et deux cercles de centre O et de rayon pctp' (p' est plus grand que p). On peut trouver un entier V assez grand pour que, » étant égal ou supérieur à v, \f'(a„z)\ soit inférieur à £, quel que soit s dans S'. Si l'on prend p et p' de telle manici'c que, pour les mêmes valeurs de n, a„^, p soit au plus égal à a„p', on voit aussitôt que l'affixe de tout point '( compris entre OA', OB' et extérieur au cercle de centre O et de rayon Ovp' est égal à «„s, s étant un point de S' et Il étant au moins égal à v : par suite, |/'(C) | est inférieur à e, quel que soit 'C- Il suffit de faire, par exemple, «„= n^ etp'= ^p. La fonction/' (s) tend donc uniformément vers o, quand 2 s'éloigne à l'infini entre OA' et OB' (OA' et OB' étant deux droites quelconques comprises dans l'angle AOB),

Si le module de la fonction ■ ■ ^ ■ ne croît pas au delà de toute limite quand z s'éloigne à l'infini OA, et OB,, on voit de même, en considérant la série V ■ ^"" > que f''*' (z) et les dérivées suivantes tendent vers o.

Le théorème est encore vrai si la partie réelle (ou imaginaire) v(x,y) de /(z) est telle que ' — ne croisse pas indéfiniment quand s s'éloigne à l'infini entre OA, et OB,.

11 peut arriver évidemment que |/(^) | ne croisse pas indélinimeiit dans

une direction OA, sans que f'(s) tende vei's O dans cette direction. Mais,

dans ce cas, \/(s) | croît au delà de toute limite pour des directions infiniment voisines. La fonction sin(s) est un exemple de ce l'ait.

CHAPITKK II.

1 . Soit y(z) une fonction de z définie dans une aire S de contour s, où elle est uniforme : AB étant un fragment de s, la fonction F(s) est dite continuable au delà de AB s'il existe une fonction /(s) définie de part ei d'autre de AB, coïncidant avec F(s) dans une portion finie de S attenante à AB, et holomorphe pour tous les points '( de AB, sauf pour des points ne formant pas sur AB de suite linéaire : autrement dit, pour chaque point '(, de AB (à l'exception peut-être des points « d'un ensemble ponctuel), il existe une fonction y( s) représentée par une série dcTaylor/(s) = 2a„( j — "()", et qui coïncide avec F(3) dans une portion de S. Il est clair que, pour chaque point C, il ne saurait exister qu'une seule scrie/(3) ; c'est ce quVn exprime en disant qu'une fonction continuable n'est continuablc que d'une seule manière. La coupure AB est dite alors coupure artificielle de la fonction F(3) : c'est une coupure essentielle, si la fonction F(^) n'est pas continuable au delà de AB.

Une condition nécessaire (mais évidemment insuffisante) pour que la coupure AB soit artificielle est que F(3) tende vers une valeur F, (i^) quand le point s de S tend vers un point (^ de AB (à l'exception peut-être des points X, d'un ensemble ponctuel). Pour trouver la condition suffisante, nous nous nous appuierons sur quelques lemmes très simples, qui ressortent de la théorie de la continuité et que nous énoncerons tout d'abord.

2. Lemme I. — Soit une fonction quelconquey des deux variables réelles x,y, uniforme et continue dans Faire S, Si à tout point M de AB correspond un chemin MN variant avec M d'une manière continue, et tel que, le point (x, y") de S tendant vers M sur MN, f{x, y') tende uniformément le long de AB vers la valeur y, (.s) (s désignant l'arc AM) : i" f, (s) est une fonction continue de «î i°/(x,y) tend vers /, (s) qi/and(x, y) tend vers M d^ une façon quelconque.

p. PAIWLEVE.

Si pctil que soit le nombre positif e, il existe une longueur X telle qu'en prenant sur chaque chemin MN la longueur MP = X, pour tout point (x^y) deMP, \/(x,y') — /'i(«)l soit inférieur à e. Quand M parcourt AB, Pdécrit une ligne continue a. Désignons par ^, ïj les coordonnées de P, par M' un point de AB voisin de M et correspondant à l'arc s -h h :

La fonctiony(H, tj) étant continue, et le point (^, ï]) variant avec M d'une manière continue, on peut trouver sur AB deux points M,, Mj de part et d'autre de M, tels que, M' variant entre M, et M^, |/(?', ï]') — /(E, ï))| soit inférieur à £. Il existe donc un nombre k, tel que, | h | étant compris entre + k et — k, on ait

ce qui montre que/, (s) est continue. D'autre part, soit (a;, y) un point intérieur au quadrilatère curviligne MiPjM^Pa, formé par AB, a-, M|P,, M^, P, ; ce point est situé sur la ligne M'P', et

/(^, r) -A (.î) = [/(^,7) -/,(.î + /')] + [/iO' + /O -fis)] ;

On peut donc décrire du point M comme centre un cercle C de rayon assez petit pour que, (x, y) étant un point de S intérieur à C, cette condition soit réalisée. Il en résulte q\ie/(x,y) tend vers/, (s) quiuid (3:^, y) tend vers M d'une façon quelconque.

Lcinme II. — Inversement, si/(x,y) tend vers f,(s), le point (x,y) de S tendant vers M sur un chemin quelconque, /,( s) est /onction continue de s, etf(x,y) tend uniformément vers/,(s) le long de AB.

En effet, à chaque point M (y compris les points A et B) correspond un cercle G de centre M et de rayon ;■, tel qu'on ait, pour tout point (j:^, y) de S intérieure C,

[Autrement, ît existerait, comme on le voit sans peine, des chemins MN tels que \/(x, y) — -/, (s) \ fût supérieur à t pour des points (x, y) de MN aussi voisins de M que l'on voudrait, ce qui est contraire à l'hypothèse. )

Soient donc M, etM^ les extrémités des deux arcs MM,, MM^, dont la longueur est r; M' étant compris entre M, etM^, faisons tendre vers M' le point (^,X) de C;/(.t,jk) tend vers /,(s-i- h) et, d'autre pari, si l'on pose /(x,y) —f,{s') = i], on a constamment |T]|f£; par suite, Um [ ï] | ou l/i (^ + ^) ~fi (*) I ^^^ ^" P^"^^ ^ê^^ ^ ^- L'a fonction/, (s) est donc continue. De plus, M', et M'^ désignant les milieux des arcs M, M, M^M, à tout point M' de l'arc M', M^ correspond un cercle C de centre M' et de rayon au moins égal à -, tel que, (x,y) étant un point de S intérieur à G, l/(^,7)~/,(.' + /') I

soit au plus égal à 2£. En raisonnant sur M', et M'^ comme sur M, et ainsi de suite, on atteindra les extrémités A, B de l'arc AB, à moins que le rayon ;■ des cercles C ne tende vers o, quand leur centre M tend vers un certain point L; mais ceci est impossible, car à ce point L correspond un cercle G,, de rayon r,, tel que, (x,x) variant à l'intérieur de G,, \/(x,y) —/,(s)\ ne soit pas supérieur à -> et, par suite, aux points M voisins de L correspondent des cercles C de rayon au moins égal à — ■ En définitive, on peut trouver une certaine longueur p, telle que, {Xjy') étant un point de S intérieur à un cercle C de centre M et de rayon r, on ait, quel que soit M sur AB,

ce qui prouve que/(a:, y) tend uniformément vers/, {s) le long deAB.

On dit, dans ce cas, que la fonction /( a:, >')/)reH(^ sur AB les valeurs /i(s) : la fonction est continue dans S et sur s.

On peut compléter ces remarques par les suivantes ; soit une fonction /(x,y) définie de part et d'autre de AB dans des aires S et S' où elle est uniforme et continue ; si à chaque point M de AB correspond un chemin NMiV, variant avec M d'une manière continue, et tel que, les points {x^y) cl(x,,y,) de S et de S' tendant vers M sur' IVMN,, f{x,y) —/,(x,,y,) tende uniformément le long de AB vers la valeur cp(«): i" tp('î) est une /onction continue de s', 2" la/onction/(x,y') définie dans S prend sur AB une suite continue de valeurs /,(^s), et la fonction /(x ,, y ,) définie dans S' prend sur ABles valeurs ft (s) -f- 9(«)-

On part encore de ce fait qu'il existe une longueur / telle, qu'en prenant sur MiS'M, les arcs MP et MP, de longueur l, on ait, si (27, y) est un point de

p. PAISLEVE.

MV,x,y, un point de MP,, \f(x,y)—/{x,,y,) — i:f(s)\<^i, quelque soit le point M sur AB. Le raisonnement s'achève comme précède mmenl.

De même, si la différence /(a;, jk) — /{^iiX\) ^^"^d vers ç (5) quand le point(3:^,y) de S cl le point (x,,y,) de S' tendent vers M d'une manière quelconque, la fonction f(s) est continue, et les fonctions f{x,y) et f{x, ,y 1 ) prennent sur AB une suite continue de valeurs.

De ce qui précède, il résulte qu'il est impossible que/(a7,jv') prenne sur AB une suite discontinue de valeurs. Il ai'rive qu'à chaque point M de AB correspond un chemin MN, tel que/'(a:,y) tende- sur ce chemin vers/, («), f,(s) étant discontinue; mais sur des chemins infiniment voisins de MN, la valeur de/(x,y) ne tend vers aucune limite ou tend vers une limite différente de/, (s). On le voit directement, en remarquant qu'il existe des points M' aussi voisins de M que l'on veut sur AB, pour lesquels |/i(*H-/*)— /i(*) I est supérieur à un certain nombre a. Si l'on prend sur MN, M'N' deux points (Xfy), (x',y') très voisins de M et de M', J(x,y) et /(3î',y') diffèrent très peu de/|(.s)et/, (5 -h h), et sur un chemin quelconque joignant ces deux points, /prend toutes les valeurs intermédiaires entre /{x,y) et f(x',y') : pour des points {x, y) aussi voisins de M que l'on veut, \f{x,y') — /, (s) I est donc supérieur à une certaine valeur,

La même singularité peut se présenter, /,(«) étant continue. Supposons par exemple que la courbe s soit formée d'un segment de Ox et d'un demicercle ayant l'origine pour centre. La fonction e '', continue dans S, tend sur la normale en M à s vers une valeur /i(^) -H i/i(s), fonction continue de

l'arc s. En particulier, quand s tend vers l'origine sur l'axe des^, e ^' tend

verso; mais, pour d'autres directions OM, \e ""'j croît au delà de toute limite (').

Il importe aussi de faire la remarque suivante : soit F(s) une fonction de

(I) Soit encore un cercle C de centre O et de rayon R. I.a fonction

(% désignant un point de la circonférence C) est holomorphe dans C, et quand 3 lend vers un point Ç de G sur un rajon OM, /(a) lend vers la valeur /ifÇ) = fi(s) + »'l'i(«). fonction continue de l'arc s de C. Mais \/(z) \ croit au delà de toute limite quand z lend vers a sur certaines directions. 11 existe une fonction V(a', j) et une seule, saiisfaîsanl à l'équation iV= o, régulière dans C, el prenant sur * les valeurs V,(ï)(Vi étant fonction con-

3 holomorphe dans S, et continue sur s, si Ton trace dans S un chemin ANlî quelconque ,

f ¥{z)d^=j 'V{z)dz.

Tout d'abord, si AN'K est un second chemin tracé dans S, ou voit aussitôt que

f ¥(z)dz=f Y{z)dz.

Par chaque point M de AB menons une parallèle à Ox' et prenons sur cette parallèle une longueur MP = l, telle que, s, désig;nant l'affixc de M, z l'aflixe de P, on ait, quel que soit M sur AB,

Par suite, comme dz^ ■-■■ dz,

\r^ I étant inférieur à es,, si s, est la longueur de l'arc Alî. D'autre pai't,

Ij Y{s)dz I et I y^ V{z)dz I

linue de s). Cette fonction osl donnée par l'intégrale connue

[En s'appuyant sur ce ((ue V,(s) est uniformément continue sur C, on démonUe, en etlct, que y{x,y) tend tiniformémeiit vers Vi(i) le long de C] Cette fonction V peut se déduire également du développement de Vi{*) en série de Fourier, comme on le voit sans peine en remarquant cpie celle série converge uniformément. Prenons en particulier Vi{s) = '^lis) : la fonction "W (a:, y) ^ i^ix, y) est régulière dans G et tend vers o quand {ce, y) tend vers C sur un rayon OM; mais elle n'est pas identiquement nulle. Le point a considéré plus haut étant quelconque) on voit qu'il existe une infinité de fonctions V régulières dans C et tendant vers zéro quand le point {a:, y) tend vers G sur la normale. Il existe en conséquence une infinité de fonctions \(x,y) satisfaisant à l'équation iV = o, régulières dans une aire S de contours, et tendant vers la suite continue de valeurs Vi(ï) quand x, y tend vers î sur la normale à cette courbe. Si Vi(i) est discontinue en certains points a, b, c, '. . . de G, il esisle encore une infinité de fonctions tendant vers Vi(s) sur chaque normale à C (sauf pour les points d,b, . ..): pour ces points, la fonction \(x,y) qu'on déduit de la

Vi(* + o)-i- Vifs — o) série de Fourier tend sur la normale à G vers — ^-^ , mais ce nés! pas la

seule.

p. PAINLEVE.

sont inférieurs respectivement à M, / et Ma^, M, et M^ étant les modules maxima de F(s) sur AP, et sur BP,. Il en résulte qu'on peut prendre la longueur / assez petite pour que l'on ait

a étant un nombre positif aussi petit qu'on veut ; mais J Y{^)d^=J \-{z)dz.

Cette dernière intégrale est donc égale à / Y(z)dz.

On en conclut immédiatement que, si^ désigne le contour formé par AB et une ligne ANB de S, x étant un point intérieur à ce contour,

Cette égalité est encore vraie quand F(s) est continue sur AB, sauf en certains points a,b,c, ... ne formant pas un ensemble linéaire, pourvu que, si l'on trace dans S une ligne g (formée de plusieurs parties) et séparant les points a, b, c, . .. du reste de S, / -^ — tende vers o avec la

longueur totale de cr. Cette condition est toujours remplie quand | F(s) | ne croît pas dans le voisinage de AB au delà de toute limite. Au cas contraire, l'intégrale / peut avoir un sens et ne pas représenter F(x). Par exemple, supposons que s' soit formé d'un segment de Ox el d'un demicercle ayant son centre à l'origine, / — n'a pas pour valeur e ^'.

Lemme III. — Si une fonction /(^,^) uniformedans S admet des dérivées partielles -^ ! -^ continues dans cet espace et prenant sur AB les valeurs

/x(s)^/r(s), la fonction ~(l désignant une direction quelconque) prend aussi sur AB une suite continue de valeurs fis), et la valeur du rapport

' '■ /T i' tend versfi(s) quand le point (x, y) de S tend vers M sur

une parallèle MN à l.

Soit a l'angle que fait avec Ox la direction l :

df df df .

(il dx df

donc-^ prend sur AB la suite continue de "valeurs /a,(s) cosa 4-/,.(s)sina. D'autre part, (x^y), (a;o,yo) étant deux points de S,

~- dx^ -f- d

L'intégrale qui figure dans ce second membre est prise le long d'un chemin quelconque de S joignant les points (irn,^'^) et (a?,^). Si l'on fait tendre (se, y) vers le point M (^, t)) de AB, on voit aussitôt que l'intégrale tend vers une valeur indépendante du chemin d'intégration ; la fonction /(ic, y) est donc continue sur la ligne AB, /, (s) est sa valeur au point M. Considérons un second point M' de AB

l'intégrale étant prise le long d'une ligne quelconque de S joignant (£', ■/]') et (E, rj). On démontre, comme pour l'intégrale /F(s) ds, que

f.'",iù''=°*'j,''''=^ £/•'•'''''' -"-■f'^''"'^-

Ceci pose, soit un point P ou i^yy) de S, situé sur une parallèle MP à /, et désignons par A/ la longueur MP précédée du signe + ou — , suivant que les deux directions / et MP sont de même sens ou do sens contraire,

(l'intégrale étant prise le long do MP); par suite

/(»'./) -/.(») = [A(5) + !](«- ï) + [/,(.) + e'Kj- - ,), sets' tendant vers o avec A/. On a donc

26 p. PAINLF.VÉ.

De plus, (^', ï]') éLanL un second point de AB,

/,(s') -/, (0 ^f M^) dx +/,.(..) dy.

On en conclut que/,(5) admet une dérivée/", (s), égale à

A(s)cos[3+/^{ï)sini3

(^ désignant l'angle avec Ç>x de la tangente en M à l'arc AB menée dans le sens des arcs croissants).

Le raisonnement s'étend au cas oùlcs axes Ox et Oy ne sont pas rectangulaires.

En particulier, si u ^ f(z) est une fonction holoinoi'plie dans S et si sa dérivée f'(z) tend vers /'(C) quand s tend vers uu point '(, de AB,

lim -^'^j-^'^^ =/X0; de plus, ^^^'^ZC^^^ tend vers /'(OquandC, tend vers C sur AB. On voit que la courbe A'B', que décrit le point u quand z décrit AB, a une tangente en chaque point, et qu'à toute courbe MN, décrite par s dans S et coupant AB sous un certain angle, cori'espond dans le plan des u une courbe M'N' coupant A'B' sous le même angle.

Une fonction/(a;, y) peut prendre sur AB les valeurs/, (5), /, (5) admettant une dérivée/", (s), sans que les dérivées j- > -j-, continues dans S, tendent vers une limite le long de AB. 11 est facile de former des exemples de cette singularité qai se présente nécessairement si /\ (s) est discontinue, ^ et -^ étant continues le long de AB. Mais nous démontrerons dans la suite que, si une fonction /(s) bolomorphe dans S prend sur AB les valeurs /((s), /, («) admettant une dérivée continue /',(«), la dérivée /'(z) prend nécessaire me /it sur AH les valeurs f ('Q — /", (s) ^ij^fceci suppose toule-

foisquc, le long de AB, les dérivées -^1 -=4 existent et soient continues!.

Une dernière conséquence est relative aux fonctions V(a;,y) régulières

dans S et satisfaisant à l'équation AV = o. Si les dérivées -j-> -r- prennent

surle contour s une suite continue de valeurs, il en est de même de V(œ,y); de plus, on peut prendre sur chaque normale MN à s une longueur MP = / assezpetite pour que, les points (iï;,^) et (07,, y,) étant compris entre M et F,

— y''^ ^ ■ J''-— ' soit inférieur à t (n désigne la direction MN). li

en résulte aussitôt que

-JX^

[/■ =:: \/~(x — ■^0)^+ [y —y^y, (sa, y) est un point de S, (^myo) un poinL de s]. Cette égalité subsiste si -j-^-^ sont discontinues en certains points de

s, ne formant pas un ensemble linéaire, pourvu que les modules de-r-i -3ne croissent pas dans S au delà de toute limite. Pour qu'elle soit exacte, il suffit encore que V soit continue sur s, et qu'à tout nombre £ corresponde une longueur /, telle qu'en prenant sur chaque normale MN à s la longueur MP = /, on ait, pour deux points quelconques (x,y),, (x,,y,) de MF,

I dn dn |

Les lemmes (I), (11) et (111) s'étendent évidemment, ainsi que les remarques qui s'y rattachent, aux fonctions /■(j;,^, s) de trois variables réelles, et en particulier aux fonctions V(x,jv, s) qui satisfont à l'équation AY -- o.