Nous pouvons dès lors énoncer le théorème suivant

TiiÉonÈME. — Soit une fonction /(z) holomorphe dans l'aire S de contour s, et prenant sur r arc KB de s les valeurs f, (s). S'il existe une fonction ç(s), holomorphe dans un espace S' extérieur à ?> et attenant à AB, qui prenne sur AB les valeurs f,( s), la fonction F(z) égale àf(z) dans S, à 1^(3) dans S', est holomorphe dans l'aire totale ^formée par les deux aires S et S',

En efîet, traçons dans S et S' les chemins ANB, AN'B. Si x désigne un point intérieur au contour ABNA,a;' un point intérieur au contour ABN'A, on a (te sens AB étant le sens direct du premier contour)

Par suite,

(t représentant le contoiir AN'BNA). La fonction Y{x) est donc liolomorphe dans 2.

On peut remarquer que le théorème subsiste, si à tout le nombre £ correspondent des longueurs l et V et pour chaque point M de AB un chemin N'MN variant avec M d'une manière continue et tel qu'en prenant sur N'MN, de part et d'autre de M, les longueurs MP = /, MP':^ /, on ait, quel que soit M, |/(s) — ^(s') |5£, ^ et s' étant les affixes des points P et P'. Cette condition est remplie par exemple si, z et z' étant deux points situés sur la normale en M à AB à la même dislance d de M, on peut prendre la longueur(/assezpetite pour que |y(s) — if (2')|soitinféricurà Elelongdc AB.

D'après le théorème qui précède, on voit qu'une fonction F(3) uniforme et continue dans une aire S est holomorphe dans 'à ou y présente des espaces la.cunaires ; car, si elle est holomorphe en chaque point de S, sauf peut-être sur certaines lignes, elle est aussi holomorphe en chaque point de ces Hgnes.

Ce théorème permet également d'énoncer la proposition suivante :

Pour qu' une fonction f(^z') définie du côté C de AB et holomorphe dans le voisinage de AB soit continuable au delà de cette ligne, il faut et il suffit qu^il existe une fonction de z, cp(3) définie du côté opposé C de AB, uniforme dans le voisinage de AB ei prenant la même valeur quef{z) en chaque point de cette ligne (à l'exception peut-être des points d'un ensemble ponctuel).

En particulier, si une fonction y(2) holomorphe dans l'aire S de contour s prend sur une portion quelconque AB de s une valeur constante, elle est une constante dans S. Par suite, si deux fonctions/(s) et f, (z), holomorphes dans S, prennent sur la coupure AB les mêmes valeurs, elles coïncident dans S ; car la différence y(s)—/',(z), nulle sur AB, est nulle dans S.

Les raisonnements qui précèdent supposent que la courbe AB admet en chaque point M (sauf aux points d'un ensemble ponctuel) une tangente

SUR LES LIGNES SlNGULltRES DES FONCTIONS ANALÏTIOOES. 2f)

variant avec M d'une manière continue. On peut donner de la dernière proposition une démonstralion qui s'applique à une courbe continue quelconque.

Il suffit de prouver que, si la fonction /(5) liolomorplic dans S s'annule le long de AB, elle est nulle dans S. Soit z„ et s, deux points de AE; posons z' = (s — Za){cos«. + isina); àla ligne AB et k l'aire S correspondent une ligne A'B' et une aire S' qu'on obtient en faisant tourner AB et S de l'angle a autour du point z^. Posons de même z" = (s — s, ) (cos ^ -i- isin P); à AB et à S correspondent A"B" et S". En prenant les points 3„, z, assez voisins, on peut choisir les angles a et ^ de telle sorte que les aires S, S', S" aient une partie commune 1i limitée par des fragments de AB, A'B', A''B". Considérons le produit f(z)/(z')f(s'''). C'est une fonction de s liolomorphe dans 2, car /(s) est holomorphe dans S,/(s')dans S', /(z") dans S". De plus, ce produit P -i- i'Q s'annule sur le contour d de 2. Les deux fonctions P, Q, régulières dans 2, satisfont dans cette aire aux équations AP = o, AQ = o et s'annulent sur (t; elles sont donc identiquement nulles. Il en résulte qu'un au moins des trois facteurs et, par suite, les trois facteurs du produit, sont nuls dans 2. La fonctiony(3) est nulle dans l'aire S.

Ajoutons encore que, sî la fonction /(z) est continue le long de AB et s'annule en des points formant un ensemble linéaire ayant AB pour limite, f(z') s'annule le long de AB; autrement, elle prendrait pour des points infiniment voisins des valeurs discontinues; elle est donc identiquemcntnulle dans S.

Nous allons appliquer immédiatement les remarques précédentes à l'étude de quelques propriétés des fonctions définies par une relation implicite ou une équation différentielle.

4. Théorèmes sur les fondions implicites. — Soit/(r, u) une fonction uniforme de deux variables s et w, holomorphe quel que soit u (sauf pour «3s) quand z varie dans une aire simple S. Si l'équation en u,f(za, u) = o, (So étant un point de S), a une infinité de racines, les points z pour lesquels l'équation n'a qu'un nombre donné, n, de racines forment au plus dans D une suite ponctuelle ^ 2 étant un espace quelconque intérieur à S, sans points communs avec son contour s.

Supposons que la fonction /(s, u) s'annule pour z-= z„,u= ?(„. Quand

■4-{za, Wo) n'est pas nul, l'équation /(s, «) = o définit une fonction de u égale à u^ pour z = z^, et homolorphe dans le voisinage de = = ;;„ , Quand

-^ (z„. Ua') — o.uTiG dérivée -T-^ ne s'annule pas pour u,,. z„ rautroment, du' "' ' ' aw 1 r ji u i

/(s„, u) est nulle identiquement, et/(z, u) contient en facteur une puissance de (z — Sa) qu'on peut supprimer]. La relation /= o définit alors une fonction égale à u„ au point s^ et admettant ce point comme point critique algébrique : u est dans tous les cas développable suivant les puissances

de (z — ZoY'^'jii l'intérieur d'un certain cercle C. Ces propriétés rappelées, traçons dans S un chemin quelconque L de longueur finie joignant les points Zf,, z. Prenons sur L un point z intérieur à C. La fonction u est égale à u en z (si z^ est un point critique de u, on choisit arbitrairement une desp -+- i valeurs de u). En raisonnant sur z comme sur Zq, et ainsi de suite, on arrive à un cercle comprenant z à son intérieur, à moins que le chemin SuS ne rencontre un point singulier de u. Soit C ce point, je dis que, quand z tend vers X,, u tend vers l'infini. En effet, u ne peut tendre vers une valeur finie V; car le couple (Ç, c) serait analogue au couple {z^, u^). Supposons que u soit indéterminé; il existe alors un nombre R tel que \u(z) I soit inférieur à R pour des points 2 de L compris entre z et Ç, si voisin que z' soit de C, et un nombre p tel que pour des points s et s, , compris entre 2' et ^, on ait I «(s) — «(s,) I >p. A l'intérieur du cercle C, décrit dans le plan des u de l'origine comme centre avec R comme rayon, l'équation /((T, «) =: o a un nombre fini de racines «,, u^, ..., u^, qui varient avec C d'une manière continue. (Quand un de ces points est surC,, on donne à R une valeur un peu plus grande.) Traçons dans le plan des z un cercle 7 de centre "C et de rayon assez petit pour que «,, «,1 ■ ■ ■; "v quand z varie dans y, restent compris dans des cercles c,, c.j, ...,c^ de rayon inférieur à - ! sans points communs et intérieurs au cercle C, . Soit enfin A le module minimum de/(z, u) quand s varie dans y, et « dans l'espace T intérieur à C, et extérieur aux cercles c. On peut toujours, ainsi qu'il sera démontré dans un instant, prendre y assez petit pour que A ne soit pas nul, c'est-à-dire pour que /(z, u) = o n'ait pas dans C d'autres racines que les V valeurs u,, ...,u^. Quand z tend vers Ci « qui varie avec z d'une manière continue n'est ni constamment extérieur à C,, ni constamment intérieur à un cercle c, sinon | «(s) — «(z,) ] serait constamment inférieur à p. On voit donc que, pour des valeurs z' de z intérieures à y, u prend des valeurs u intérieures à T. Mais \f{z', u') \ est au moins égal à A, et, par hypothèse, f{z', u') = o. La fonction «(s) ne peut être indéterminée, et par suite tend vers l'infini quand z tend vers Ç.

Ce point établi, nous ferons encore les deux remarques suivantes, nécessaires à la démonstration : i" quand z„ varie dans u/ie aire Z intérieure à S, Véquation /{Za, u) ^ o n'admet qu'un nombre fini q de racines dont le module soit inférieur à un nombre donné M, En effet, pour chaque point Zfl de 2, l'équation n'admet qu'un nombre q^ de racines répondant à la condition (en tenant compte des degrés de multiplicité). Il suffit de prendre pour valeur de q le plus grand des nombres §„, quand s» vario dans 21. Ce maximum existe, autrement q^ croîtrait indéfiniment quand z„ tendrait vers un certain point X,- En ce point Ç, l'équation n'admet qu'un nombre fini^ de racines (égales ou distinctes), de module égal ou inférieur à M; ces racines (c,, v.,, . . ., Vp) sont développables dans un certain cercle,

de centre 'Q et de rayon r, suivant les puissances de (^ — Ç) ou de (: — X,)'' (k étant un certain entier), et ces développements représentent toutes les racines de l'équation / = o qui tendent vers une des valeurs p,, v^,,.., Vp quand So tend vers C- Mais pour des points z^ infiniment voisins de "C, l'équation devrait être satisfaite par des racines «<, de module inférieur à M et distinctes des précédentes, par suite ne tendant vers aucune des vale^lrs V,, . .., Vp, quand z^ tend vers C- Autrement dit, pour des points z^ aussi rapprochés de ^ qu'on voudrait, l'équation admettrait des racines a„ toiles que les modules des différences u^— f,, u^ — ■ Cj, . . ,, «^ — Pp fussent supérieurs à un certain nombre h. Or, soit A le module minimum de /(t, u) quand u décrit l'espace T intérieur au cercle C, ayant M pour rayon et l'origine pour centre, et extérieur aux cercles c, de rayon h et de centres (j, , Cj , . . . , Cp. On peut décrire de Ç comme centre un cercle y de rayon assez petit pour que, z variant dans y et « dans T, on ait constamment

Or, pour un point z' de y et u' de T, on devrait avoir

/(.-',«') = « etpiirsuite |/(:,«')|<^,

ce qui est impossible, puisque [fCÇ, u') | est au moins égal à A.

2° Soit/"(s) = P + i'Q une fonction analytique de ^. On sait que, si/(z) est holomorphe au point s,, — ^o + iy^, les deux fonctions P et Q ne peuvent présenter au point z^ ni maximum ni minimum. 11 en est de même si

32 r. PAINLEVÉ.

Sj, est un point critique algébrique défiez). En effet, on peut développer f{z') de la manière suivante :

/{z) = P + (Q = (P„+ iQ„) + a(z -z,Y^....

Si s décrit j5 fois un petit cercle de centre z,,, P + i'Q décrit un contour enfermant Po + (Qi, ; par suite, P prend des valeurs inférieures et supérieures à Pd dans le voisinage de x^y^, et la même chose a lieu pour Q et Qo-

Nous pouvons démontrer maintenant le théorème énoncé. Pours = Zn, l'équation a par hypothèse une infinité de racines. Considérons dans l'aire ^ intérieure à S et comprenant s,, tous les points z' pour lesquels l'équation /(s', w) = o n'a pas plus de n racines, et supposons que ces points forment un ensemble superficiel. Ils comprennent alors tous les points d'une certaine aire S'; car, si pour un point s,, l'équation /(^o, k) = o a n -\- i racines, ces {n -h i) racines peuvent se développer en série dans un certain cercle de centre So, et pour les points s, de ce cercle, l'équation a (o H- i) racines. Cet espace S' est séparé du reste de 2 par une ligne continue L, et pour tout point Su do L, l'équation y (So, u) = o n'a pas plus de n racines; sinon il en serait de même pour les points de S' voisins de z^.

De même, si les points z' forment un ensemble linéaire ayant pour limite unehgne L, pour tout point s„ de L l'équation /(^„, u) = o n'a pas plus de n racines. Soit donc v le nombre maximum des racines de f{z„, «) =: o quand s, décrit un segment de L (v est inférieur ou égal k n). PourSy = 'C, l'équationy — o a v racines. Si "Ç, est un point critique algébrique de l'une d'elles, on le remplace par un point Za voisin; au point z„ ainsi choisi, les V racines sont holomorphes et développables en série de Taylor dans un certain cercle C de centre z^.

Pour des points s de C voisins de L et extérieurs à S' (si S' existe), l'équation /(z, u) = o admet des racines u' distinctes des précédentes et ne se permutant pas avec elles à l'intérieur de G. Joignons z h un point z^ de L par un chemin de longueur finie contenu dans C : si la fonction u' est définie le long de "k, elle tend vers l'infini quand s tend vers Zq sur X; sinon, le chemin ît renferme un point pour lequel «' devient infinie.

Tout d'abord, si l'on peut séparer un nombre fini de valeurs de u' <jui ne se permutent qu'entre elles dans le voisinage de L, le produit u\ ... Uj est uniforme aux environs de L et doit tendre vers l'infini le long de cette ligne : le théorème établi dans le paragraphe précédent montre que c'est impossible .

son LES LlGiSES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 33

Il faut donc supposer que les valeurs de u' présentent daus le voisinage de L un nombre infini de points de ramification formant une suite linéaire. Appelons C, la partie de C extérieure à S'. D'après la remarque (i), il n'existe qu'un nombre fini q de valeurs de u' dont le module soit inférieiir à un nombre donné M pour un point de C. De plus, on peut toujours prendre le rayon de C assez petit pour qu'aucune de ces valeurs ne s'annule dans C , ; [il suffît que C, ne renferme aucun des zéros de la fonction /(s, o), lesquels sont nécessairement isolés dans S, puisque /(s, o) est holomorphc dans cette aire]. Soit donc N le module minimum dans G, de ces q valeurs. Si nous posons V = -, la fonction V(s) n'est indéterminée pour aucun point de C, ; tout point z pour lequel une de ses valeui's ne s'annule pas est un point ordinaire ou un point critique algébrique de cette valeur. De plus, son module dans G, ne peut dépasser jt: = IN,, et elle n'admet qu'un nombre fini q de déterminations dont le module pour un point de G, soit supérieur ou égal à un nombre donné M, . Enfin, si l'on joint un point de G, à un point z„ de L par un chemin >., toutes les déterminations de 'V(s) tendent vers zéro quand z tend vers z^ sur >,, ou quand z rencontre des points intermédiaires. Ceci posé, employons le raisonnement qui nous a déjà servi à la fin du paragraphe précédent. Soient z^ et s, deux points de L; on pose z'={z — 3o)(cosa -1~ isina), z" — {z — z^){cos^ + isin^), z^, s,, a et ^ étant choisis de telle sorte que les aires G', et C", qui correspondent à C, aient avec G, une partie commune 2, dont le contour es^ soit formé de fragments deL,L',L". Considérons alors le produit!p(s) = Y(2)V(s')V(s").Ghacunc des fonctions y(s') et ¥(/) jouit dans G', etC^, et par suite dans l'aire 2,, des propriétés énoncées pour V(z). En conséquence, le produit ç(s) ne peut être indéterminé en un point de 2, ; si une valeur de 9(3) ne s'annule pas en un point z, ce point est im point ordinaire ou algébrique de cette valeur. De plus, |f(^)| ne peut dépasser N' dans S,; et, sis décrit un chemin \ joignant un point de 2, à un point z^ de tr, , toutes les déterminations de a(s) s'annulent quand z tend vers z^ sur \ ou rencontre des points intermédiaires. Enfin, cp(z) n'étant pas identiquement nulle dans 2,, pour un point z de cette aire, une valeur de ^(s) a un certain module A.

D'autre part, chacune des trois fonctions V, V, V" n'admet qu'un nombre fini y de déterminations dont le module prenne dans 2, une valeur supérieure ou égale à ^- Si Ton considère une détermination de V qui ne satis- P. ■''

yGoosle

'i'i P. PAIKLEVli.

fasse pas à celle condition, le pi-oduit VV'\" a un modide inférieur, diuis — M î" jvïlVl X IV"! ou, a fortiori,, à A. Il en esl de même pour les déterminations analogues de V' et V". Pour tout point s de 2,, il ne saurait donc exister que q" valeurs de <p (z) au plus, dont le module soit supérieur ou égal <i A. Formons pour chaque point de 2, les g' valeurs de 9 (s) de plus grand module. Ces modules, étant inférieurs à N, , admettent une valeur maxima P, qui con-espond à un point z' de 2,. Ce point z' ne peut être sur le contour (T| ; autrement dit, le module d'une valeur de f (s) no peut tendre vers P quand z tend vers un point de L, puisque ce module doit tendre vers zéro. De plus, P n'étant pas nul, ce point s' est un point ordinaire ou algébrique pour la valeur 9(2') dont le module est P, ainsi que pour la fonction [og;f(z) = LP(3;,y) 4- i6. Mais la valeur pour s = s' de la fonction hVixjy) doit être supérieure ou égale aux valeurs qu'elle prend pour les points voisins, ce qui esl impossible d'après la seconde remarque. Le théorème est donc démontré.

Nous avons supposé que pour toute valeur de z intérieure à S la fonction /(s, «) était holomorplie dans le plan des u. Mais le raisonnement s'applique aussi bien si, pour les mêmes valeurs de s, /{z, u) admet, dans le plan des u, m points essentiels a,, a.^, . . ., a„, et des pôles en nombre quelconque (a,, ..., a,„ étant des conslantes).

On démontre alors, comme plus haut, que, si un point z„ est un point singrdier (non critique algébrique) d'une racine u(z), cette racine tend nécessairement vei's une des valeurs a,, a.,, . .., a,„, quand s tend vers s„i on outre, si s„ varie dans une aire 2 intérieure à S, l'équation /(zq, u) = o admet au plus un nombre q de racines telles que le module du produit (u — ct,}(u — a.j), ...,(« — a„) soit supérieur à un nombre donné M. On pose V(3) =(a — «,),...,(« — a„); il suffît de répéter identiquement le raisonnement fait sur ^(z) dans le premier cas.

Le théorème subsiste encore si les affixes des points a,, a^, ■■■,a^ ne sont pas des constantes, mais dépendent analytique ment de z. A chaque point s de S correspondent m valeurs a,,a^, . . ., a„, fonctions analytiques de z. Les quantités 2a,-, 2a,ay, . . . sont dans S des fonctions uniformes de z, qui n'admettent que des pôles isolés; en conséquence, a,,a.,, . . ., a,„ sont racines d'une relation algébrique

U'"«„,(^)-hU'"-'9,„,(=)+.., + 9„(.)--=o,

yGoosle

SIJR LES UGKES SINGULIÈRES DES FONCTIOKS ANALYTlQeES. .1)

OLi :p,„, -y,».. , , . , , -po sont holomorphes dans S. Il suffit de considérer le produit

et de raisonner sur V comme dans le premier cas. On voit que V devrait être identiquement nul, ce qui est impossible, puisque y'(^, «) = o par hypothèse, et que /(s, ai) est indéterminée.

Nous pouvons, en définitive, énoncer le théorème suivant :

ïiiÉoitÈME II. — Soit/(z, u) une fonction uniforme des deux variables z et u telle que, pour toute valeur z^ de z intérieure à une aire S, la fonction /(s„, «) ne présente dans le plan des u que m points essentiels, dont les affixes sont des fonctions analytiques de s. Si l'équation f{z, u) = o liadmet qu'un nombre n de racines pour des points z' formant dans une aire X, intérieure à S, une suite linéaire, il en est de même pour tous les points s de S.

En effet, si L désigne une ligne limite de la suite des points z', la démonstration précédente prouve que Téqualion no peut avoir plus de n racines pour les points z, voisins de L. Considérons donc tous les points de S pour lesquels/=o n'a pas plus de n racines. Ces points forment une certaine aire S' ; si S' est intérieure a S, elle est séparée du reste de S par une ligne L', et pour des points z voisins de L', intérieurs à S et extérieurs à S', l'équation/— o doit avoir plus de n racines, ce qui est impossible. La fonction «(^), définie par/= o, n'admet dans S que n valeurs au plus, et n'y est jamais indéterminée. On en conclut qu'elle vérifie une relation do la forme

'h,,, '■I'h-o • ■ -1 "l'a étant holomorphes dans S.

En particulier, supposons que la fonction /"satisfasse aux conditions précédentes pour tous les points z^ du plan s, sauf pour les points z„ d'une suite ponctuelle [ces points z^ sont des points essentiels de la fonction /(z,Ui^), quelquesoitHoI-Si, pour un point s,, l'équation en «,/'(Z|, «) = o, a une infinité de racines, les points s pour lesquels eUe n'en a qu'un nombre donné n ne forment dans le plan qu'une suite ponctuelle. Les points s„ sont les seuls où une racine u puisse être indéterminée. Soit, par exemple, l'équation e" = /(s), 01^/(5) est uniforme dans le plan des s et admet des

36 p. PAIMEVÉ.

points essentiels s,, cl des zéros s' ayant ces points pour limites : pour tous les points s', l'cquation n'a pas de racines, et pour les points Soi " <ïst indéterminée.

Considérons, pour terminer, une fonclion/(:r, u) telle que, pour tout point Su de l'aire S, la fonction /(s^, u) présente dans le plan des u des points essentiels formant une suite ponctuelle, les affixesdecespointsa,, a.,, . . ., a,„, . .. dépendant anatytiquement de 3, Les valeurs a, , ■ .., a,„, . .. doivent donc être considérées comme les diverses déterminations d'une fonction analytique A(z). Nous supposons qn'une quelconque de ces déterminations ne présente pas dans S une suite linéaire de points critiques. D'une manière plus précise, quand on part d'un point z^t "ic S avec une détermination particulière a,(3(p) et qu'on fait varier z„ de manière à le faire passer une fois et une seule par chaque point de S, en contournant tous les points critiques de la valeur a,-(s) considérée, on définit une branche a^Çz) pouvant présenter des coupures dans S et ne prenant qu'une valeur en tout point de S extérieur à ces coupures. Nous admettons que les points critiques de chacune de ces hranches ne forment pas dans S une suite linéaire. Ces restrictions faites, on peut énoncer le théorème suivant :

Tbéorème IÎI, — Si, pour tout point z^ d'une aire S, la fonction /(z,,, u) n'admet dans le plan des u qu'une suite ponctuelle de points essentiels «I, (Zj, . . -, a,„, . . . (les affixes de ces points dépendant analytiquement de ^d), iouie racine uÇz') de l'équation /{z-, «) = o uniforme (^ou ne prenant (jue n valeurs") dans une aire S de contour cr, intérieure à S, est coniinuahle au delà de u, et ne présente dans 2 que des pôles isolés (ou des points critiques algébriques').

On établit encore que, si 'Ç est un point singulier d'une racine «(s), s tendant vers X, sur un chemin X de longueur finie, u{z') tend nécessairement vers une des valeurs a,„ÇÇ) et ne peut èti^e indéterminée. La démonstration est la même que celle qui sera donnée d'une proposition analogue concernant les équations différentielles, et d'où résulte d'ailleurs la précédente. Les points singuhers de la fonction «(s) dans ^ ne peuvent donc être que des pôles (ou des points ci'itiques algébriques). Admettons qu'elle soit uniforme dans X et qu'elle présente une ligne singulière L : quand z tend vers un point X. de L sur un chemin X, en l'estant du môme côté de L, u{z) tend vers une des valeurs a,„('Ç), qui est indépendante de \ et varie avec 'Q d'une

StU LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 37

manière coiiliiiuc; autrement, d'après les lemmes établis au dcliut de ce Chapitre, «(2) serait indéterminée quand s tendrait vers L sur certains chemins. Les valeurs de u(z) le long de L coïncident donc avec une détermination a,„(s) de A(z), qui, par hypothèse, ne présentant pas dans 2 de suite linéaire de points critiques, est uniforme le long d'un certain segmcnL L' de L. Les deux fonctions «(s) et a,„(s) uniformes d'un côté de L' dans le voisinage de cette ligne, et coïncidant le Içng de cette ligne, coïncident identiquement, d'après le théorème fondamental, ce qui est impossible puisque /[«,„(s), 2] est constamment indéterminée.

Le raisonnement subsiste si «(s) prend dans 2 les h valeurs u,, u^, - --, «„, à condition de considérer le produit

qui s'annule surL,

Quand y(3, «) satisfait aux conditions énoncées, sauf pour des points ;„ de S qui ne forment pas de suite linéaire [ces points sont des points essentiels dey(3, «fl), quel que soit «„], la fonction u(z) peut admettre ces points Sg comme points d'indétermination (points essentiels), et, par suite, comme points hmites de pôles ou de points critiques algébriques.

Remarque. — Si la fonction /(s, u) est une fonction multiforme, mais peut être considérée comme définie par une relation G(/, s, k) = o, G étant uniforme, on remplace l'équation /= o par G(o,s, î() = o. Mais quand /(j, m) est une fonction multiforme quelconque, les théorèmes précédents cessent d'être exacts. Considérons, par exemple, une équation z — S'(m) = o, ^ étant une fonction multiforme qui n'admet dans le plan

des u qu'une suite ponctuelle de points singuliers a„, . . . a,„, Quand s

tend vers un point singulier !^, d'une racine «(s), « tend vers une des valeurs «,„, ou est indéterminée. Mais, dans ce dernier cas, on ne peut trouver p déterminations de g(u), telles que, pour des valeurs voisines de C, « satisfasse à la relation F(z, u) — (s — gt)(^ — ^3) ■ ■ ■ (-2 — Sp) = '^- Sinon, en raisonnant sur l'équation F ^ o, on verrait que u tend vers une limite quand z tend vers!^. Il faut donc qu'on puisse former avec des valeurs de g(u) une suite (^ — g,(u),'C ~ g^iu), . .., "Q — Sq{u), . .., telle que | î^ — g-,(«)| tende vers o avec -■, quand u décrit un chemin fini dans le plan, et, par suite, quel que soil u. Une racine u{z') ne saurait donc présenter une coupure L

38 p. PAIKLEVÉ.

(dans le voisinage de iaquello elle ne prend que n valeurs), à moins que la condition précédente ne soit remplie pour tous les points C de L, ce qui exige que les valeurs z de g{u), pour tout point w, forment une suite linéaire ayant L pour limite. Un exemple de ce fait est offert par la fonction modulaire z = w(«). La fonction inversez/ = 9*(w) est uniforme et présente l'axe des valeurs réelles pour coupure : les valeurs de w qui correspondent à un point u forment une suite linéaire, ayant cet axe pour limite. La même méthode va nous permettre de démontrer un théorème utile dans la théorie des équations différentielles du premier ordre.

5, Théorème sur les fonctions définies par une équation différentielle. — Soit ~ =f(z, u) une équation différentielle du premier ordre, 011/(3, u) est une fonction uniforme de s et « quand z varie dans une aire S cl M dans le plan des u. Nous rappellerons d'ahord quelques propriétés connues de l'intégrale d'une telle équation.

Si une intégrale «(2) tend vers u^ quand z tend vers So, y(S|), «0) étant holomorphe, cette intégrale est elle-même holomorphe dans le voisinage de Sfl, et développablo par suite en série de Taylor dont on sait calculer les coefficients. Il n'existe pas d'autre intégrale prenant au point z„ la valeur «n, c'est-à-dire tendant vers «^ quand s tend vers z„ sur un chemin de longueur finie.

Si la valeur dey'(2n, h„) est infinie, il existe toujours une dérivée de -^

IHt) 1

par rapport à u d'un certain ordre — /'^ par excmpie , qui ne s'annule pas pour (z^, u^), et le point z„ est un point critique algébrique de «(3) autour duquel se permutent^ -H i valeurs.

Quand, z tendant vers s,,, u tend vers l'infini, on pose u= -> et la fonction u, vérifie l'équation

Si y, (s,,, o) est holomoi'phe, z^ est un pôle de u(z)\ si/, (^u, o) est infinie, Zn esta la fois un pôle et un point critique algébrique do l'inlcgrale.

Ce qui précède s'étend au cas où le point s,, est le point ■» du plan des z;

SUK LES LIGNES SINflUUÈRES DES FOSCTIOSS ANALYTIQUES.

on pose alors s = — ; l'intégrale « ( — ) vérifie l'équation

et l'on étudie cette équation dans le voisinage de 5, = o.

Ajoutons que la valeur de /{z„, «„) peut être indéterminée, soit parce que «0 est un point essentiel de la fonction y(z„, «), soit parce que /(s, w) est de la forme TT et que P(so, «„) = Q(So, «,,)-- o. Enfin, f(3^,u) est

parfois infinie ou indéterminée, quel que soit «; dans ce cas, l'intégrale u(z) peut elle-même être indéterminée quand 5 tend versz„.

Nous supposerons que, pour tout point z^ de l'aire simple S, la fonction /(zo, u) n'admette dans le plan des u qu'une suite ponctuelle de points essentiels (ou d'indéterminations) dont les affixes a,, ...,a,„, ... dépendent analytiquement de z^, ainsi qu'il a été expliqué dans l'énoncé du théorème III (les points «^ comprennent le point ao , si/|(so,o) n'est ni holomorphe, ni infinie). Les pôles Aef{z^, u), Z*,, b^, b,„, . . ., ne forment euxmêmes, en conséquence, qu'une suite ponctuelle [il n'existe pas dans S de points So pour lesquels y(zo , u) est infinie ou indéterminée quelque soit «].

Dans ces conditions, soit «g la valeur d'une intégrale au points,), /'(3|,, u^) étant holomorphe. Si z, partant de s,,, décrit un chemin ^ de longueur finie, on peut prolonger u{z) le long de X à l'aide de la série de Taylor, à moins qu'on ne rencontre un point Z qui soit un point singulier de k(z). Si ce point n'est ni un pôle, ni un point critique algébrique de u{z), je dis que m(s) tend nécessairement vers un des points a^ ÇÇ), . . ., a,„((^), . . . quand z tend vers l.

Tout d'abord, l'intégrale u{z') ne peut tendre vers une valeur u' distincte des valeurs a,n('(); car,/("(, «') étant déterminée ou infinie, Ç serait un point ordinaire ou algébrique de u(s); de même, u ne peut tendre vers l'infini [si le point oo n'est pas un des points «m(^)], car/, (î^, o) étant déterminée ou infinie, Z, est un pôle ou un point critique algébrique de «(s). D'autre part, l'intégrale peut-elle être indéterminée ? Il existe alors un nombre R tel que I «(2) I soit inférieur à R pour des points z de 5^ compris entre z' et i^, si voisin que z' soit de Ç, et un nombre ap tel que pour des points s et s,, compris entre s' etÇ, on ait | «(s,)— u{z) |>2p. Traçons dansle plan des w un cercle C ayant l'originepour centre et de rayon R, et un cercle C'concentriqiieà (^, c t

f\0 p. PAISLUVÉ.

rlo rayon R'supcricurà 11; 11' =1(4- A. Arintcii(uird« C les points singulierH a,„,^,„de/(Ç,«)neformenL qu'une suite ponctuelle. Nous admettons qu'aucun de ces points ne se trouve sur C ou C (sinon on augmenterait un peu R ou R'). On peut donc enfermer les points (ï,„, b,„ dansj» cercles c, dont les centres

sont certains de ces poinls(aj, . , ., a '), de rayon r inférieur kjy cl tels que,

les p cercles c' concentriques et de rayon double a;', n'aient entre eux ou avec C et G' aucun point commun. La distance minima de deux points situés respectivement sur les circonférences de deux cercles c , C ou C est donc un nombre fini k. Désignons par k' la plus grande des quantités -^ et ^ ■ Pour des points s voisins de t, les points a,„, h,„ sont compris dans p

cercles de centres a', (s), , . ., et {z) et de rayon /■', r' différant peu de r. Traçons dans le plan des z un cercle y de centre ^ et de rayon S assez petit pour que | a'X-^) — '^KO I ^^ I f'^^ \ soient inférieurs à k' quand z varie dans Y- On voit qu'alors les points «,„, b,„ restent compris dans p cercles c,

de rayon p' inférieur à - et tels que les p cercles concentriques c\ , de rayon

double, n'aient pas de points communs entre eux, ni avec C et C. Ceci posé, appelons S, l'espace de C' extérieur aux cercles c,, S^ l'espace de C extérieur aux cercles c',, M le module maximum de /(s, u) quand z varie dans Y et « dans S,. Pour tout point s^ compris dans un cercle y' concentrique à Y et de rayon S' =; - ) et pour tout point «„ de S^, la fonction /(;;, «) est holomorplie et de module au plus égal à M quand s varie dans un cercle de centre z„ et de rayon S', et u dans un cercle de centre u^ et de rayon l, l désignant la plus petite des quantités h et p'. On en conclut que toute intégrale, égale à u^ au point s^) "^st holomorphe dans un cercle de

centre z^ et de rayon cl ^ -\i — e *"') .

Mais, si voisin que z' soit de 'C, z décrivant 'k entre z' et 'C, u{z) qui varie avec z d'une manière continue n'est ni constamment extérieur à C, ni constamment intérieur aux cercles c', ; donc, pour des valeurs de Zg telles que I ^n — i^ I soit inférieur îx d, u coïncide avec des points «„ de S^ ; mais il n'existe qu'une intégrale égale' à «o au point z^, et cette intégrale est holomorphe dans un cercle de centre s,, et de rayon d, par suite au point i^, ce qui est contraire à l'hypothèse.

STJR LES LIGNI-.S SINGUI.lÈlir.S DES FONCTIONS ANAIATIQUES. /( l

Nous pouvons dès lors énoncer le théorème suivant :

Théorème. ■ — Soit une équation différentielle du premier ordre,

-r: ^f(^z, u), dont le coefficient f(^z, «) est uniforme quand z varie dans

S eï « dans le plan des u. Si, pour tout point s^ de S, les points d'indétermination dc/(z^, u) ne forment dans le plan des u qu'une suite ponctuelle (dont les affixes dépendent analytiquement de z^, avec les restrictions indiquées), toute intégrale u(z) uniforme (ou ne prenant que n valeurs) dans une aire ^ de contour a, intérieure à S, est continuable au delà de a et ne présente dans 2 que des pôles (ou des points critiques algébriques).

La démonstration est identiquement la même que celle du théorème III. On voit que, si l'intégrale u(z) présentait une ligne singulière, elle devrait coïncider avec une des fonctions a,„(z), ce qui est impossible. Remarquons que, par la même raison, les points z, tels que u(z) coïncide avec une des valeurs <ï,„(z), ne peuvent former dans 2, pour chaque intégrale «(s), qu'une suite ponctuelle.

Quand les conditions précédentes sont remplies pour tous les points de S, sauf pour certains points z^ [ces points sont des pôles ou des points essentiels def(z, u„), quel que soit u^], le théorème suhsiste, à cela près, que les points s„ peuvent être des points d'indétermination (points essentiels) do u(z).

Le théorème subsiste également si la fonctiony(s, u) admet p valeurs fnf-^y ••■'/? quand z varie dans l'aire S et « dans le plan. Autrement dit, -r: est racine d'une équation algébrique

!■(«',«,;) = (pp(s, «)«'" H- ?„-,(3, «)«'"-' + .., + 9„(^, «) ^o.

les fonctions fp, ■■■,(p9 vérifiant les mêmes conditions que la fonction f(z, u) précédemment.

Pour chaque point z, de S, la fonction /(s^, u) admet des points d'indétermination a,, ..., a„„ ., ., formant une suite ponctuelle, des pôles b,, b.,, ..., b,„, ..., et despointscritiques c,, c^, ..., c,„, ... formant également une suite ponctiielle dont a,, . . ., «,^, . . . sont des points limites. Les valeurs Ci(s), ..,, c,„{z), ... vérifient la relation obtenue en éliminant u' enlrt'

f\1 p. TAISE.EVlL

Rappelons qu'il n'existe en général qu'un nombre fini d'inlègxales pre= nant au point z^ la valeur c,„(^Zf,) et que Sa est un point critique algébrique de ces intégrales; il n'y a d'exception que si la quantité riz -•- -f- «' ^st nulle pour 3 = z„, « = c„,(Sfl), u' ^/{s^, c,n). Ceci n'a lieu d'ordinaire que pour des points particuliers z' de S. Quand les trois relations

sont compatibles pour toute valeur de z, z^ n'est encore en général qu'un point algébrique des intégrales égales à c,„(zo) pour s — z„; il n'y a d'exception que pour des points particubers z' vérifiant une certaine relation

distincte de F = o, -;— r = o.

' ou

Ces remarques faites, on voit, comme plus baul, que- (les points z' exceptés), si un point z^ est un point singuUer non algébrique de l'intégrale «(s), u tend nécessairement vers une des valeurs a,„{z„) quand s tend vers Zg. Pour les points z', u peut tendre aussi vers une valeur c,„(s'). On lire de là les mêmes conclusions que plus haut : si «(2) est uniforme, on ne prend que n valeurs dans 2, « est continuable au delà de <j et ne présente dans 2 que des points singuliers algébriques.

Les seuls points où une intégrale «(s) puisse être indéterminée sont, comme précédemment, les points So, pôles ou points d'indétermination de /(s, «0)) li"^' It^fi soit «j. Il peut exister des points s, qui soient pour toute valeur de u^ des points critiques (mais non de discontinuité) àef(z, «,); dans ce cas, J{z, «g) admet s, comme point critique algébrique d'ordre p au plus; eLy(s, Wn) se met sous la forme

/(z,«„) = A(«„)(=-=,)'^^lï(«.)(;-3,)''' -»----■

Si Ton pose {z — z, ')" ■— l, on voit que rc<]uation

ne présente i>lus pour / = ola même singularité; «(ï) ne pouvant être indéterminée pour t = o,il en est de même de «(s) pour z =^ z,.

En particulier, supposons que le coefficient différentiel /(z, «) soit uni-

SUR LES LIGNES SlNGULllÏRES DES FOSCTIOSS ASALYTIQLES. /|3

forme ou ne prenne que n valeurs quand s et « varient respectivement clans lout le plan. De plus, pour toute valeur z^ de s, sauf pour les points z^ d'une suite ponctuelle, les points d'indétermination dey(s„, u) ne forment dans le plan des u qu'une suite ponctuelle dont les affixes dépendent analytiquement de z^. Pour les points z,, /(s, «„) est infinie on indéterminée (|uel que soit «o . Le point ce est un point s, , si, pour s' = o , ^ /( ^ , «„ J

est discontinue, quel que soit «„. Nous convenons du dire, pour al)rcf;(:r, que le coefficient fi^z^u') ne présente que des singularités ordinaires, quand les conditions précédentes sont vérifiées. Dans les applications qui vont suivre, nous admettrons toujours (à moins d'indication contraire) que les fonctions y(z, u) considérées rentrent dans cette catégorie.

Cette hypothèse faite, si une intégrale «(z) est uniforme dans tout l'espace du plan où l'on peut la prolonger, elle ne saurait présenter de coupure vApar suite existe dans tout le plan. De plus, elle ne peut admettre d'autres points essentiels que les points z^.

De même, si une intégrale «(s) ne prend que /* valeurs dans l'espace du plan où elle existe, elle existe dans tout le plan et vérifie une équation algébrique

où les fonctions <^n{^)i •■ ■■> i(o{z) sont uniformes et ne présentent pas dans le plan des z d'autres points essentiels que les points z^ [ces points z^ ne sont pas d'ailleurs nécessairement des points essentiels de u(s')\.

Si les points z^ n'existent pas c'est-à-dire si la fonction /(5, u) n'est discontinue quel que soit u pour aucun point 2, du plan et s'il en est de mcmr de la fonction — /(-' u\ u toute intégrale uniforme do l'équation estnécessairement une fraction rationnelle de s; toute intégrale qui réadmet que n valeurs est nécessairement une fonction algébrique de z.

Nous allons donner quelques applications des résultats précédents,

6. Applications du théorème précédcnA. — lui premier lieu, j'iMivisaf^i.' Tcquation

dz - Q(3,«)' où P et Q sont deux polynômes en ; dont les coefficienis sont des fonctions

uniformes do « (ou admettent /> valeurs). Pour que la remarque précédeuLo s'applique à cette équation, il faut et il suffît que le dénominateur Q ne renferme aucun facteur de la forme s — a, a étant indépendant de u, et de plus que le degré en z du dénominateur surpasse d'au moins deux unités le degré correspondant du numérateur. Ces conditions remplies, toute intégrale de l'équation, qui ne prend que n valeurs dans l'espace du plan où elle existe, est nécessairement algébrique.

Quand P et Q sont deux polynômes en z et w, on peut trouver (ainsi qu(^ nous le montrerons dans un autre travail) toutes les fractions rationnelles qui vérifient l'équation différentielle. Si les conditions précédentes sont remplies, on est certain d'obtenir ainsi toutes les intégrales uniformes.

Au lieu de l'équation (a)

<ia P(a, « )

on peut considérer une équation de la forme

OÙ F est un polynôme en u' et en z. Si le coefficient '^p{z-, u) de la plus haute puissance u'^ de u' ne /-enferme aucun facteur de la forme (s — a) {a étant indépendant de u), et si de plus le degré en z de ']jp(s, u) surpasse d'au moins ii(p — g) unités le degré correspondant du ■coefficient de m'*, ^{^^(z, «), toute intégrale qui ne prend que n valeurs dans l'espace où elle existe est nécessairement une fonction algébrique de s. Mais je n'insiste pas davantage ici sur cotte première application, qui nous entraînerait hors du sujet.

7. Comme seconde application, nous allons rcclicrclicr la forme de Trqualion

[où /(s, «) est uniforme]. (|uand l'intégrale générale de cette équation est elle-même uniforme.

Nous démontrerons d'abord <juc l'intégrale générale peut s'écrire dans ce cas

A/, + 9,' /", y,, Og, (f I étant des fonctions uniformes de s, et A une constante.

SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONXTIOSS ANALYTIQUES. /jS

Soit u„ la valeur au point s^ d'une intégrale u(z) : désignons par C et C' des cercles de rayon p et /■, décrits respectivement de s^ et de «„ comme centres, à l'intérieur et sur le contour desquels /(z, u) est lioloraorpheeLdc module inférieur à M,

On sait que l'intégrale u peut se développer ainsi :

la série (!i) convergeant pour toute valeur de z intérieure à un cercle de centre z„ et de rayon p \i — e'^'f/. Donnons à «„ une valeur quelconque f, intérieure à un cercle C'j de centre «„ et de rayon -■ La fonction /(s, u) est holomorphe quand z varie dans C, et « dans un cercle de centre c et de rayon -. et son module est au plus égal k M. Par suite, la série (2)

converge pour toute valeur de s telle que \ z — z.^] soil inférieur à p yi — c*"P j et pour toute valeur de c telle que | f — «„ | soit inférieur » -; elle converge en outre uniformément, comme il résulte aussitôt de la démonstration de Briot et Bouquet.

Les termes de la série étant des fonctions holomorplies de v dans C',, pour toute valeur de z intérieure à C, « est fonction holomoi-plie de c dans C',, d'après les théorèmes sur les séries établis dans le premier Chapitre.

Ceci posé, admettons que l'intégrale générale de l'équation (i) soit uniforme; une quelconque des intégrales particulières, u(z), ne peut présenter dans le plan que des points singuliers C, formant une suite ponctuelle. Ces points sont des pôles ou des points essentiels; dans ce dernier cas, ils appartiennent à l'ensemble ponctuel des points z' pour lesquels /(3, u) est discontinue, quel que soit «. De plus, les points s, du plan tels que la valeur u(z,) rende /(u, s,) discontinue ne forment également qu'une suite ponctuelle. Désignons par E l'ensemble de tous ces points singuliers [à chaque intégrale u(z) correspond un ensemble E]. Soit enfin c la valeur de l'intégrale «(s) au point z„; pour toute valeur «„ de f, distincte des points a,(s„), ..., a,„(2„), ... [tels que/(s„,a,„) soit discouLinue], l'intégrale

46 l>. PAISLEVÉ,

u(z) = F(s, c) a une valeur unique et déterminée en chaque point du plan z, sauf aux points de l'ensemble E. Je dis que u(s) est une fonction analytique de f ; la chose vient d'être démontrée pour les points Z voisins de s^. Prenons dans le plan des z un point Z quelconque, qui ne coïncide avec aucun des points singuliers E de l'intégrale u(z, «„), et joignons s^Z par un chemin L qui ne renferme également aucun des points E. -Quand s décrit L, m(s) = F(s, u„) décrit un chemin L'. Soit Z' un point de L. On peut trouver deux nombres p et r, indépendants de la position de Z' sur L et tels qu'en décrivant deux cercles, le premier G de centre Z' et de rayon p, le second C de centre «(Z', «„) et de rayon r, /(s, u) soiL holomorphe et ait un module inférieur à M, quand s varie dans C et w dans C (en effet, pour chaque point Z', /■ et p existent; il suffit de prendre leurs valeurs minima quand Z' décrit L; ces minima existent, sinon r ou p tendrait vers zéro ([uand z tend vers un point Z', mais en ce point Z', ;■ et p ont une valeur différente de zéro, et l'on en conclut qu'il en est de même pour les points voisins). 11 suffit de prouver que F(Z, v) est fonction holomorphe de c pour des valeurs de v voisines de «„; décrivons du point s^ comme centre un

cercle C„ de rayon R ^= p( i — c'"''/ et du point u^ un cercle C'„ de rayon

-; s\'/l est un point de L intérieur à C„, la série

i.'sl fonction holojnorphe de v dans le cercle C,, ; pour des valeurs ^■ voisines de «0, c' prend des valeurs voisines de U'= F(Z', Uo)i décrivons alors un cercle G, du point Z' comme centre avec R comme rayon, du point U' un cercle C'i de rayon -; et soit Z" un point de T^ intérieur à C, et compris rnlrc Z' et Z. La série

est fonction holomorphe de c' dans G',, par suite fonction holomorphe de v dans le voisinage de u^. En raisonnant sur Z" comme sur Z' et ainsi de suite, on arrive à un cercle G renfermant Z, et l'on voit que V = F(Z, v) est fonction holomorphe de c dans le voisinage de u„ ; la proposition est éLabhe.

La fonction u =^ F(3, c) est donc une fonction analytique des deux varia!)les z et v. Si l'on excepte les valeurs z' pour lesquelles /(s, u) est dis-

8«ft LES LlGKES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. t\')

eontiiiue, quel que soit tf, F(3, p) est pour tout système s et t> déterminé): ou infinie. Si, pour une valeur s,, F(z,, c) est infinie en des points v formant une coupure, F est infinie dans tout le pbn c; ceci ne peuL avoir lieu que pour les points Z, d'une suite ponctuelle, sinon F(s, c,,) serait infinie en tous les points Z, d'une suite linéaire, par suite dans tout le plan Z, quel que fût p,,. En conséquence, la fonction «(s, c) pour toute valeur de z (sauf pour les points d'une suite ponctuelle) est définie dans le plan des c et n'y présente que des pâles.

Le raisonnement précédent démontre en toute rigueur que la fonction F(j, p), où l'on donne à c une valeur quelconque différant des valeurs a, (s,,), . .., «,„(s„), . . ., vérifie l'équation différentielle (i). A deux valeurs de V correspondent deux intégrales distinctes, puisqu'elles sont uniformes et prennent au point z^ deux valeurs p différentes. On sait d'ailleurs qu'eu un point Z du plan z il n'existe qu'une intégrale «(s) prenant la valeur U, siy(Z, U) est liolomorphc. l'osons donc

U étant une valeur quelconque, distincte des valeurs

Yll,a,{^„)l ..., F[Z,«,„(^,)], ...

et telle que F(Z, U) soit holomorplie. Cette équation en c ne peut avoir plus d'une racine, car si elle en avait deux, r, et f,, les deux intégrales F(s, fo), F(s,, c,) seraient distinctes et prendraient au point Z la même valeur U, ce qui est impossible. II en résulte que la fonction F(Z, ç) est de la forme .''"^.- , A, B, C, D dépendant de Z, et, comme ceci a lieu quel que soit Z, l'équation (i) est vérifiée par une fonction «(s)— — rrr-^T- httt'

où l'on donne à p une valeur constante (A, B, C, D étant des fonctions uniformes de z qui ne présentent dans le plan que des points essentiels). Toute intégrale u,(z) de l'équation est donnée par u(z); car on peut choisir des points Z qui soient des points ordinaires de A, B, C, D, et pour lesquels «, prenne une valeur U, /(Z, U) étant holomorphc; si l'on donne à p la va-

leur P„- uG(CZ)-A(Z)'

cide avec m, (s); p^ peut être infini, mais p,, ne peut être indéterminé quel

que soit Z; sinon on aurait - = — identiquement, el u^= y,; u serait indé-

PAINLEVE.

pendant de v, ce qui est impossible, puisque u(zo) = c. L'intégrale géné- /■ale de l'équation (t)peut donc s'écrire

ou encore

On en conclut immcdiatcment que Tcquation (i), qui s'oblifint en décrivant l'équation (4) par rapport à s, est de la forme

«, h, c étant des fonctions uniformes de s. Ainsi, toute équation dont le coefficient différentiel est uniforme dans le plan des z et des u, et dont l'intégrale générale est également uniforme, est une équation de Hiccati.

L'intégrale générale peut alors se mettre sous la forme (3); cette relation (3) exprime que le rapport anharmoniquc de quatre intégrales est constant. On sait que cette propriété appartient à toute équation de Riccati (alors même que son intégrale n'est pas uniforme).

Parmi les équations de la forme -^ ~ ^r|'", - où P et Q sont des polynômes en «, il était "clair que l'équation de Riccati pouvait seule admettre une intégi'alc générale uniforme; car u ne peut figurer au dénominateur [sinon en un point s„ une intégrale prend la valeur u^ qui annule Q(3ui ") et admet s^ comme point critique], et, de plus, la même condition doit être

remplie pour l'équation transformée en - , ce qui exige que P soit du second degré en u.

Si l'intégrale générale de l'équation (i) est une /onction entière, elle est de la forme

A et B étant holomorphcs. En effet, quand le dénominateur de u dans l'expression (3) dépend de v, pour une valeur s, de z, on peut donner à c la valeur (', = „ '' ; et la fonction u(z, i-, ) est infinie au point «,, à moins que

Sliri LES LIGNES SliSGULIERES DES FONCTIONS AîSATA'TIQlIKS. /|9

l'on n'ait, pour toiiLc valeur de z., — ^ , " ' , ■ = — . /V -i ce qui csl impossible, H on résulte que l'équation (i) est, dans ce cas, uécessairemenl linéaire :

Il est facile alors de reconnaître si l'intégrale est uniforme : il faut notamment que a{z) soit la dérivée logarithmique d'une fonction uniforme.

Si l'intégrale de l'équation (i) est une fraction rationnelle, cette équation est une équation de Riccati dont les coefficients a, 6, c sont eux-mêmes des fractions rationnelles. Supposons que ni a, ni c ne soient identiquement nuls (au cas contraire, on ramène l'équation à être linéaire). Nous allons chercher à quelles conditions l'intégrale est effectivement une fraction rationnelle. Remarquons que, si l'on sait d'avance que ces conditions sont remplies, on obtient l'intégrale générale par des opérations pw^ement algébriques. Désignons en effet par A„, B„, C„, D„ des polynômes en z de degré /i, à coefficients indéterminés ; pour une certaine valeur de n, on peut déterminer

ces coefficients, en sorte que toute fonction u(z) = " , , p" vérifie l'équation différentielle; si l'on ajoute de plus la condition que, pour z = z^, on ait, quel que soit v, v = c (. ) ^Xd ('- ) ' '^^^^^ détermination n'est possible que d'une seule manière. On fait donc n égal successivement à j , ii, 3, . . . , et l'on finit par obtenir un système d'équations algébriques compatibles, et n'admettant qu'un système de solutions, qui dépendent par suite d'opérations purement algébriques. On peut encore exprimer que la fonction

« := ï^' vérifie l'équation; le système de relations auxquelles on est conduit est indéterminé pour une certaine valeur de o; on peut y ajouter la condition c = T>", " ' Pt- les coefficients de A„, H„ dépendent linéairement de v. Tout revient donc à trouver les conditions pour que l'intégrale de l'équation soit algébrique et rationnelle , Ramenons d'abord f en posant «, = « -h -- j l'équation à la forme

5o p. PAINLEVÉ.

OU encore

a, p, Y étant des polynômes qui n'admettent pas un facteur commun.

Les seules valeurs de s pour lesquelles une intégrale puisse êlre indéterminée sont les racines 'C du polynôme p, et la valeur z = =o, si le degré de ^ ne dépasse pas d'au moins deux unités les deg;rés de « et y. Ces points sont aussi les seuls points critiques possibles des intégrales, car, pour tout autre point Sd, une intégrale u prend une valeur finie u^ ou devient infinie : dans le premier cas, u est holomorphe dans le domaine de z^, dans le second cas - est holomorphe. Pour que l'intégrale soit une fraction rationnelle, il faut

donc et il suffit que les points (^ ne soient, pour aucune des intégrales, des points de ramification ou d'indétermination. On peut ramener l'équation de Riccati à une équation linéaire et appliquer les conditions données par M, P'uchs pour que les points singuliers possibles des intégrales soient algébriques ; on peut aussi faire la discussion de la manière suivante, en s'appuyant sur les résultats de MM. Briot et Bouquet.

Soit ^fl un des points ^, 2„ est le pôle au moins d'une des deux fonctions a et c ; en premier lieu, si s^ est un pôle d'ordre m de a (3), éesl un zéro au moins d'ordre (m — 1) de «(s); car, si l'on pose « ^ «, h — (« étant une

intégrale quelconque), la fonction c vérifie l'équation — jT =^ aaw, f H- a. et l'intégrale de cette équation étant par hypothèse une fraction rationnelle, le produit 1au^ doit êlre la dérivée logarithmique d'une fraction rationnelle, et ne peut admettre par suite que des pôles du premier degré. Mais Za est un pôle d'ordre m de «(s) : donc a, doit contenir en facteur (3 — 3„)'"''. Faisons pour abréger l'écriture So = o, et posons

[A(3) et v{s) sont holomorphes pour r = o, et A. ne s'annule pas avec s |. La fonction c vérifie l'équation

Pour 3 = o, c a par hypothèse une valeur finie, ainsi que sa dérivée, ce qui

exige que c(s) contienne le facteur s au moins à la puissance (m — 2). Ainsi tout pôle d'ordre m de a(z) est zéro au moins d'ordre (m — 2) de c(z). Si l'on pose C(z) = 7^') l'équation précédente devient

De même, tout pôle d'ordre m' de c(z) est pôle d'ordre (m — i) au moins de toute intégrale et zéro d'ordre (m — 2) de a(z).

Cette remarque faite, considérons d'abord un pôle simple s^ de A(z) : z^ ne saurait être un pôle de c(s) d'ordre plus grand que r, sinon, d'après ce qui précède, a(so) serait fini. Posons encore, en faisant s =^ o,

A et G sont holomorphes pour ^ = o, et A ne s'annule pas avec s. L'équation peut s'écrire

da^ ^/HA(o) + ^A'(o)+...] + C (o) +.-C'(o)+ ---

Si, quand z tend vers zéro, u tend vers une valeur u^, le système s =: o, u = M(,, annule nécessairement le numérateur du second membre («0 ne peut être infinie, car, dans l'équation transformée en - = v, le coeflicieut différentiel est infini pour s = o, p = o, puisque Ap n'est pas nul). Toutes

les intégrales doivent donc tendre vers une des valeurs ± i/-t— ^ quand z tend vers o et être holomorphes dans le voisinage de ce point. Désignons par -H Md= -+-\/—r~^ celle des deux valeurs du radical dont le produit par Aji a sa partie réelle positive. Si u tend vers — m„, on pose

la fonction s'annule pour ^ ^ o et vérifie l'équation

La partie réelle du coefficient de v étaiiL négalive, l'équation n'admet qu'une seule intégrale c, (s) s'annulant avec s, et cette intégrale est holomorphc pour 3 = 0. Toutes les intégrales «(s), sauf Fintégrale

doivent donc prendre la valeur «g pour 2 = 0. Posons u = -h- \/ -r— -H c- Toutes les intégrales (sauf une) de l'équation

doivent s'annuler et être liolomorphcs pour s = o. Pour r[u'il en soit ainsi, il faut d'abord, d'après un théorème de MM. BrioL et Bouquet, que le coefficient de V, -h 1 \ — A|,Co, soit un entier positif n; de plus, si « = 1 , le coefficient de s, [j, :^ C'^ j~, doit être nul; sinon on diminue le coefficient de f de (« — 1) unités, en posant

f,, (■-,, . . ., ('„, représentant les valeurs pour s = o des (« — 1) premières dénvécs de v(z), valeurs qui se calculent en différenliant l'équation

L'équation se ramène ainsi à la forme

H faut que X' soit nul. Quand ces conditions sont remplies, si l'on pose (V = Iz, l'équation devient

M, N, P étant holomorphes pour s = o. On voit sans peine que, dans le cas actuel, la condition A' = o exprime que D"[ A (3) u^ (z) -h C(z)] s'annule pour s = 0, «„(z) désignant le polynôme («0+ 1^.3 + f^z^-f- .-. + f„,s"-').

Quand les deux conditions précédentes sont remplies, l' équation (7) se ramène à la forme (8) par la transformation « ^ «„ + tz". Pour s — o, aucune intégrale l(z) de l'équation (8) ne peut être indéterminée; si une intégrale t(z) tend vers /„, elle est liolomorphe pour s = o, ainsi que la fonction u correspondante ; si t(z) tend vers l'infini quand z s'annule, on

pose t— -s, et l'on voit que l'équation en admet une intégrale et une seule s'annulant avec z : cette intégrale correspond à la fonction u, qui prend la valeur — «„ pour 3 = 0. Les conditions énoncées sont donc nécessaire.^ et suffisantes pour que z ^ o soit un point ordinaire de u,(z).

Le raisonnement suppose C,, différent de o; mais, si C,, = o, l'équation (7) est de la forme -y^ — ^ '-^ ■ Le coefficient de « étant nul dans le

second membre, l'équation ne peut admettre qu'une intégrale liolomorphe ou algébrique au point 2 = 0. Ceci revient à dire que tout pôle simple de a(s) est pôle simple de c{z), et réciproquement.

U importe de remarquer que les deux conditions trouvées peuvent se vérifier par des opérations j3«re7«c/ii algébriques, aloi's même qu'on ne connaît pas les racines de |3(s) = o. Soient p, — o l'équation qui donne les racines simples de ^(s), S|> une de ces racines; on doit avoir d'abord /iGnAf,^ — /i*

(n étant un nombre entier); A(s) désigne {z — z„) x a.(z') ou — — '" et C(2) désigne ^^^ — ^ ' ; par suite,

J*osons

La transformée en C de l'équation P, = o doit n'avoir comme racines que des nombres entiers carrés parfaits, ce qu'on reconnaît par des opérations linéaires qui donnent ces racines. Soit «' l'une d'elles. Pour X, = /**, les polynômes P)(s) et «'p'°(s) -i- 4«(^)y(-s) ont un plus grand commun diviseur dont les racines doivent vérifier la condition

Di'[<(=o)A(=„)+C{:,)]^o.

Les valeurs pour 3 = «„ des dérivées successives de A et de C s'expriment

p. PAINLEVE.

linéairement en fonction des coefficients de a, p, y, comme le montrent aussitôt les identités

ïî±Mî..z-J±U.

De plus, les coefficients de u„ s'expriment linéairement en fonction de A„, A'ji, A'Ji, ..., G(|, G',,, ... quand la première condition est satisfaite

et ainsi de suite. La seconde condition s'écrit donc H(s^) =: o, H étant un polynôme dont les coefficients se calculent linéairement à l'aide des coefficients de a, |3 et y. Il faut que H(s) soit divisible par ^2(^)1 ce qui se vérifie encore par des opérations purement algébriques.

Passons au cas où le point z^ est un pôle d'ordre m de a(s). Nous avons dit que Sfl est alors zéro au moins d'ordre (m — 1) de u(z), et que par la transformation u = vs'"'' (nous faisons z^ = o), l'équation (7) devient

A et C étant holomorphes pour s = o, et A ne s'annulant pas avec s.

En raisonnant comme plus liaut, on voit que c doit prendre pour s = o

une des valeurs v^, v^ de 1 expression U — — ^ . ■■■■ ; si

l'on pose {I := U -H w, l'équation devient

La discussion précédente montre que \/(m — i)* — /iA„Cn *J<"t ^^r^ un entier positif//, et que de plus la dérivée n'^'"*^ de [Ap,^h- C(ï)] doit être nulle pour ï ~ o, f„ désignant le polynôme Cu-t- (.', ? + ... -t- v„^,z"~', où

OÙ C|, t'j, . . ., p„| sont les valeurs de w', tv", . . . calculées, pour 3 = o, tv = o, en diiîérentiant l'équation

Quand ces conditions sont salisfaÎLes, toutes les inlégrales sont holomorpîics pour 3 = o et prennent en ce point la valeur f„, sauf une seule qui prend la valeur c'^.

On obtient des conditions analogues pour les pôles d'ordre m de C(^) en

raisonnanL sur la transformée en - ■ Ces conditions se vérifient par des opérations linéaires, alors même qu'on ne sait pas résoudre l'équation qui donne les racines d'ordre m de P(s). Enfin, si le point z = ao est un point singulier, on rentre dans les cas précédents à l'aide de la transformation

Nous voyons qu'en somme on peut reconnaître, par des opérations purC' ment algébriques, si l'intégi'ale de l'équation de Riccati est une fraction rationnelle, et dans ce cas l'intégrale s'obtient elle-même par des opérations linéaires.

Si les deux conditions précédentes sont satisfaites pour Lous les points i^, sauf pour un seul point =„ (le point co, par exemple), l'intégrale de l'équation esL uniforme, et le point 3„ est nécessairement un point essentiel de l'intégrale. Plus généralement, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale soit une fonction uniforme n'ayant dans le plan qu'un point essentiel sont les suivantes : les coefficients a, b, c ont au plus un point essentiel (qui leur est commun), le point 00 par exemple, et les deux conditions énoncées sont satisfaites pour tous les pôles X, du coefficient différentiel. Si les fonctions a, b, c sont algébriques, ces conditions doivent être satisfaites pour tous les points C, sauf pour un seul.

En particulier, si le coefficient différentiel est une fonction périodique de s, il suffit de vérifier les conditions pour les points z situés dans la bande du plan comprise entre deux droites, perpendiculaires au segment qui représente la période et passant par ses extrémités. De même, si le coefficient est doublement périodique, il suffit de vérifier les conditions dans le parallélogramme des périodes. On peut chercher aussi à quelles conditions l'intégrale est elle-même périodique : on voit qu'alors le coefficient doit être une

,»() p. PAINLEVIi.

fonction de e'"; il suffit de poser n''^ = t, cl de chercher pi l'intégrale csL fonction uniforme de t.

Ce qui précède permet de résoudre très facilement la cpicstion suivante : Trouver les équations de la/orme

(où V est uni/orme en z el en u'), dont l'intégrale générale est uniforme.

Difîcrentions cette équation par rapport à 2 ; il vient

,^' „ dF " "" du' " "^ ôz nu bien

Si "(s) csL uniforme, il en est de même de u', et inversement, si l'intégrale h' do (z) est uniforme, l'intégrale «(s) de l'équation proposée est uniforme, puisque u = F(s, «')('). Il suffit donc d'étudier l'équation (2) dont l'intégrale

générale doit être de la forme «'= p fi'^^ *^'^ l"^^ ^ ^^ saurait iigurcr

au dénominateur; autrement, on pourrait écrire «'— tt ( ..' ]■ B, différant do D, et D, n'étant pas une constante. Soit s,, un point quelconfiLic, pour lequel aucune des fonctions C, B— D,, D', ne s'annule. Si

( ') Cette remarque est générale : soit/(M', u, z) = o une équation oii/ est un polynôme en II et une fonction uniforme de 1/ el de s. Différentions-la par rapport à z, et éliminons u entre /= o el -^ = o. On obtient une équation /,(«", u', z} = o, de même degré en

u' que / en u. Si l'intégrale de cette équation est uniforme, il en est de même de l'intégrale de/= o; car u =■ fit' ds-¥ c, et ne peut présenter que des points critiques logarithmiques, ce qui est impossible, puisque u dépend algébriquement de fonctions uniformes de «' et de z. Si u' admet p valeurs, u. admet également p valeurs. Il n'y a d'exception que si / ne contient pas u. De là découlent plusieurs conséquences ; ainsi le logarithme d'une fonction uniforme ou algébrique ne peut vérifier l'cquationy = o, sauf dans le cas ofi /ne con-

SUfi LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 37

la fonction u'(z, Uf,) peut se développer ainsi

h n'étant pas nul, et l'intégrale /u'(z, Vn)dz présente un point logarithmique, ce qui est impossible. L'équation (2) doit par suite être linéaire, et son intégrale u' est égale à pH'(s) + G' (s). Quant à l'intégrale «(s), elle est de la forme

En définitive, pour que l'équation u = F(s, u') ait une intégrale générale

,'}¥ uniforme, il faut et il suffit que le quotient — j^-- soit un polynôme du prc-

mier degré en u', a«' -1- ^, et que l'équation u" = au' ■+- ^ ait son intégrale uniforme.

8. En employant le même raisonnement que plus haut, on montre que si l'intégrale d'une équation F(m', «, s) = o (où F est un polynôme de degré p en u' et une fonction uniforme de u et de z) n'admet pas plus de n valeurs, cette intégrale peut se mettre sous la forme /(s, «,«(,) = o,ydcsignantune fonction uniforme de s et un polynôme de degré np en u et «„. En tenant compte de la remarque que nous avons faite à la fin du paragraphe précédent, on en conclut que si l'intégrale d'une écjiiation F(«', u, s) (où F est un polynôme, soit en «, soit en u', à coefficients uniformes) n'admet pas plus de n valeurs, F est nécessairement un polynôme en u et en u', ou que, du moins, l'équation peut se ramener à une équation de cette forme. Pour de telles équations, M. Fuchs (') a indiqué à quelles conditions l'intégrale générale n'a que des points critiques fixes. Allant plus loin, M. Poincaré (^) a montré que, lorsque les conditions de M. Fuchs sont satisfaites, l'équation se ramène à une équation de Riccati, si la relation entre u' et u (où on laisse z constant) est du genre o; elle se ramène à des quadratures, si cette relation est du genre i , et elle s'intègre algébriquement si le genre est supérieur à l'unité. L'étude des cas où l'intégrale de l'équation F = o est uniforme csl

(I) Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin, 26 jui (^•) Acta mathematica, t. V[I, i885.

yGoosle

ainsi complèlc. On peut, sans faire intervenir le genre, donner les conditions qu'il faut ajouter à celles de M. Fuchs pour que l'intégrale soit uniforme, en suivant une métliode analogue à celle de MM. Briot et Bouquet pour le cas particulier où 2 n'entre pas dans F explicitement. Pour le moment, nous nous bornons à étudier un cas particulier du problème traité par M. Poincai'é, ce qui va nous conduire à une généralisation du théorème de M. Hermite sur les équations F(«', u) = o, 011 F est un polynôme en /(' et u. J'envisage une équation de la forme

(T) A(H',»,^) + UB(«',a,.-) = o,

où A et lî désignent deux polynômes en u' et deux fonctions uniformes de u et de 2, et U une fonction algébrique définie par la relation irréductible F(i/,U) = o. On peut toujours supposer que la relation (i) est irréductible, c'est-à-dire que A et B n'admettent pas de facteur commun ■|(«', «, s). On obtient l'équation différentielle sous sa forme ordinaire /(«', «, s) = o, en remplaçant, dans F ^ o, U par — ^- Les théorèmes énoncés au n" 5 s'appliquent à cette équation.

Si une intégrale u =^ 9(5) est uniforme dans l'espace où elle existe, elle existe dans tout le plan, et n'y admet que des points essentiels. Il en est de même de «' = tp(s). De plus, si l'on remplace, dans A et B, « et u' par -p et 9', aucune des deux fonctions ne peut être indéterminée, quel que soit z ; autrement pour u = ç(s), la fonction u' définie par/'(M', «, 2) — o est indéterminée, et l'on ne peut dire que 9 est une intégrale de/ = o. Il est impossible également que A ou B soit nul, quel que soit 2 pour u = tp(2), autrement la relation F(«, U) = o serait vérifiée, quel que soit u, par U = o, ou U = 00. Mais il peut arriver que A et B soient nuls à la fois pour toute valeur de 2 : la fonction u = çC-) vérifie alors la relation x(-) «)= o obtenue en éliminant u' entre A =^ o et B = o. En conséquence, si l'équation admet une intégrale uniforme ne vérifiant pas la relation )^ = o, la fonction U = ,, , 'r ' "■ " çg|. m^g fonction uniforme de 2, oui ne saurait présenter de coupure, puisqu'elle dépend algébriquement de «(2) et que u{z) n'en présente pas. D'après un théorème bien connu de M. Picard, les coordonnées « et U de la courbe algébrique F = o s'exprimant en fonctions uniformes et sans coupures d'un paramètre 2, la courbe est du genre o ou p . L'intégrale générale de (y) ne peut être uniforme que si le genre dr F = o ne dépasse pas l'unité.

SUU LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANAlATrOUFS. 5ç)

Envisageons maintenant une équation G(«', «, s, U) =: o où G est un polynôme en «' et en U dont les coefficients sont uniformes en « cl s : on peut toujours supposer que U n'entre dans G qu'au degré (« — i), « étant le degré de F en U. L'équation s'obtient sous la forme ordinaire en éliminant U entre les relations G ^^ o, F = o. Pour tout système u'^, u^, Sq vérifiant la condition /:= o, les équations G = o, F = o ont une racine commune, et en général une seule, qu'on obtient en fojiclion uniforme de u'„, u^, z-„,

A(H;,»„,;,)[i-i-ii(«;,./„,:„) = o.

Le raisonnement fait plus haut s'applique encore iei, à moins que, pouf (( = ^(z), u' = ç' (3), A et B ne soient nuls identiquement. On peut donc énoncer ce théorème : Si l'équation proposée admet une intégrale particulière uniforme u = 9(3), la relation F =: o est du genre a ou i, à moins que, pour u = f(^}, «' = î'C-^)) ^^s deux équations en U, F = <>, G = o, n'aient plusieurs racines commîmes, quel que soit z. Si l'on expi'ime que F = o et G ^ o ont deux racines U communes, on obtient d'ordinaire deux relations distinctes en u', «, z et, en éliminant u' entre ces deux relations, une certaine relation '^(z, u) = o entre z et u. On peut toujours vérifier si cette relation définit une fonction uniforme satisfaisant à l'équatiou différentielle. Quand '^(z, ii) ^^ o se réduit à une identité, quels que soient z et u, pour une valeur de u' vérifiant la condition/^ o, les deux équations G = o, F ^= o ont plusieurs racines communes. Nous écartons ici ce cas particulier qui demande une discussion spéciale. Dans tout autre cas, l'intégrale générale de l'équation ne peut être uniforme si F = o est de genre supérieur à i .

Considérons de même l'équation

où G est un polynôme en u', U, U,, . . ., U„, , et U, U,, . . ., U„i des fonctions algébriques de u définies par les relations

(3) F{»,U) = o, F,(»,TJO = o, ..., F„,(,<, lI„,)=-o.

L'équation différentielle s'obtient sous la forme /(«', u, z) = o en éliminant U, . . ., U„| entre les relations (2) et (3). Pour tout système u^, u^, z^ vérifiant la condition/^ o, les équations simultanées (2) et (3) n'ont en général qu'un système de solutions U, U, , . . . , U„| , qui s'expriment linéairement en fonction de «'„, «„, z^. On en conclut que si l'Intégrale u = 9(2)

Go p. PAIMLEVÉ.

est uniforme, U, U, , . . . , U„, sont des fonctions uniformes de z sans coupures. Les relations qui lient Via u et celles qui lient Vj à Uy sont, en conséquence, de genre o et i. Ceci suppose toutefois que pour u ^= ç(s), u'=f'(z'), les équations (2) et (3) n'admettent pas plusieurs solutions communes quel que soit s.

Le théorème s'applique aussi bien si, dans Tcquation

U, U,, . . -, Un, sont fonctions algébriques, non plus de a, mais de u; car si u(z) est uniforme et sans coupure, il en est de même de u'(z). Quand G est un polynôme en «, U, U, , . . . , V^^, , et une fonction uniforme de u' et de s j Lï, U,, U„, vérifiant les relations F;(«', U,-) = o], on élimine u entre G = o et --jj = o, en remplaçant dans cette dernière équation —7^ par — -jï^ -j-^ u". On obtient ainsi une équation

Gi{«%m',3,U,Ui, ...,U,^,) = o;

si une intégrale u(z) est uniforme, u'(z') est uniforme, et le théorème énoncé s'apphque à l'équation G, = o : les relations F,-= o sont donc du genre o ou i .

Enfin, si U, U,, ..., U„i sont fonctions algébriques de z, l'équation n'admet d'intégrale uniforme u = <f (s) qu'au cas où U, U,, . . ., U„, sont rationnels en s, à moins que, pour u = f(z'), u' ^ ^'(z), les équations F((s, U() — o, G = o n'aient plusieurs solutions communes.

Sous sa forme la plus générale, le théorème peut s'énoncer ainsi. Soit

(3) G(«',«,3,U, ...,U„,, V, ,,., V„..i, W, ..., Wç.-,) = o

ime équation différentielle où G est un polynôme en u' (ou en u), et en V,-, Vy, W^ : U,-, Vy, W;^ sont respectivement des fonctions algébriques de «, de u' et de z, définies par les relations

( tp, {a, U, ..., U„0 ^ o, I, («', V, ..., V,.,)^. o, X. (=. ^V, ..., W,,) = o,

Quand une intégrale u = 9(2) de cette équation est uniforme, les W* sont des fonctions uniformes de s, et les relations qui lient U,' à \.]j ou à

SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 6l

u, V,- à Vj-, ou à «', sonl du genre o ou i [à moins que, pour a = 9(s), u' = <f'(^), le système d'équations (3) et l'équation G = o n'aient, quel que soit s, plusieurs systèmes de solutions communes]. Si l'intégrale générale de G = o est uniforme, les conditions précédentes sont remplies, à moins que, pour tout système z^, u„ et pour une valeur li^ vérifiant la condition y("'o' "»' ^o) ^ o, ledit système n'admette plusieurs systèmes de solutions communes, ce qu'on reconnaît sans peine par des opérations purement algébriques.

Revenons à l'équation G(«', «, z, U) = o, où U vérifie la relation algébrique F(«, U) = o, et supposons que u' n'entre qn''a.a premier degré dans G. Si l'on écarte le cas exceptionnel indiqué, on sait que l'intégrale générale de l'équation ne peut être uniforme que si la courbe F ^= o est du genre o ou I. Admettons que cette première condition soit satisfaite, et cberchons le cas où cette intégrale est effectivement uniforme.

La courbe F = o étant du genre o ou i , ses coordonnées « et U peuvent s'exprimer en fonction rationnelle et algébrique d'un paramètre t et d'im radical du quatrième degré en t, \fR(j),

et cela de telle sorte qu'à tout point («„, U^,) de la courbe F = o ne corresponde qu'une seule valeur de /,

^ étant rationnel. Supposons « et U exprimées en fonction uniforme de s :

«, = V,(s), U = ^,(s); on a

t est donc fonction uniforme de u. Si l'on pose u = ç(i), l'équation à laquelle satisfait la fonction i(z) a son intégrale rationnelle, en même temps que l'équation proposée. Cette équation est de la forme (en remplaçant u et U en fonction de i),

!'=M((,;;)-HN((,z)v/ït(Ô.

M et N étant uniformes en ï et s. N est toujours identiquement nul, si F = o est du genre o; et le fait peut aussi se présenter quand la courbe est

6a p. PAINI.EVÉ-

du genre i. Dans C(!tte liyjiolliése, l'équation se réduk k

et M doit élrc un jjoiynàme du second degré en t. On se trouve ramené i'i l'équation de Riccati dont la discussion a été faite précédemment. Si l'inlégrale de cette équation est uniforme, on peut l'écrire

t - J^i^lLi ou bieo - .. ^ i-'- —

g, g,, h, ht étant uniformes. Quand la courbe F = o est du genre o, u = ^[^(s)] est toujours uniforme avecï(3); il en est de même chaque fois que (p(ï) ne dépend pas de \/R(7). Au cas contraire, u n'est jamais uniforme; il faudrait pour cela que ^R[ï(2)] fût rationnel en s, et, par suite, que chacune des équations = - " ■ . ■ ■ n'eût pour toute valeur de v que des racines de multiplicité paire [0 désigne une des quatre racines /„, i,, l^, Ï3 de R(')]- Ceci exige que les racines de l'équatio:! — i-' — ■s-;;r-z~rr soient multiples pour toute valeur de p, et, comme on n'a pas identiquement

-2- = = 9 la condition ne peut être vérifiée que si la dérivée de y—^

est nulle identiquement, c'est-à-dire si celte fonction est une constante

— f[|. Pour i" = t^u, t(z) = — "- ^^ . est constamment égale à 0, et pour toute autre valeur de p, t(z) ne prend pas la valeur ô. Mais ceci ne peut avoir lieu pour les quatre valeurs de 0, autrement des fonctions uniformes

- "" - ), - (sans coupures) ne prendaient dans le plan aucune des quatre valeurs t^, t, , t^, ;,, ce qui est en contradiction avec le théorème de M, Picard sur les zéros des fonctions uniformes. On volt donc que si N est identiquement nul, il faut et il suffit, pour que «(s) soit uniforme, que la fonction l{z) soit elle-même uniforme et que u — ç(;) ne renferme pas \/K(Ô- Traitons maintenant le cas où N n'est pas identiquement nul; F = o est alors du genre i . La fonction t vérifie l'équation

(4) ■■^;=M((,;)+N(i.^)v/ÏÛÔ.

D'après la remarque faite au début du paragraphe, quand l'intégrale t est uniforme, M et N sont des fonctions algébriques de t. Si l'on observe que /

ne peut figurer au dénominateur de M et de N, et que la même condilîon doit être remplie pour l'équation transformée en-, on voit que M est un polynôme du second degré en t, et N une fonction de z seulement (ceci résulte d'ailleurs des conditions de M. Fuchs). D'autre part, si 6 désigne une racine de R(ï) — o, ô doit amiuler M(6, s), quel que soit z. Soit, en effet, s^ une valeur de s pour laquelle M(6,^) etN(s) sont holomorphes, et considérons une intégrale /(s), égale à 9 pour z = z^. Si cette intégrale est uniforme, elle est holomorphe, ainsi que ses dérivées, au point s,, ; or, quand on calcule /", on voit que t"= a-h ■ ■ ^ '' ■ — : ■ ■—■, « étant une quantité finie: t" ne

peut donc être finie pour z := z^ que si i'(^o) ^st nulle, ce qui exige que la quantité M(9,So) soit nulle; maisM(ï, Zo) est du second degré en t, et ne peut s'annuler pour les quatre valeurs de 6, à moins d'être identiquement nul; comme ceci a lieu quel que soitZoï M(ï, s) est identiquement nul. L'équation (4) doit donc se réduire à la suivante :

u bien 1 enfin

C désignant l'intég-rale / N(z)dz et C une constante. C'est le résultat

obtenu par M. Poincaré dans le cas général où la relation F(u', u, z) ^ o (entre u' et u) est du genre i.

Dans le cas actuel, la fonction N(z) étant rationnelle, les diverses valeurs deÇen un point z sont de la forme 'C,,(z)-\- imi-zia-v- 2.m' i-xb -{- . . . {a et b étant des constantes). Soit 2/110), aiTio) les périodes de sn(s); pour que t = sn(^ 4- C) soit uniforme, il faut et il suffît que tous les résidus de N soient égaux à mw -H/?w' (/i et^ désignant des entiers quelconques) : la fonction cn(C -4- C) àn(X, -t- C) est alors uniforme, et par suite l'intégrale u{z) = <p[sn((; H- G), cn(C 4- C) ân((, + C)].

La discussionprécédenles'applique aussitôtàl'équation G(u', «,s, U) = o, où G est un polynôme en U et en w (du premier degré en u) et une fonction uniforme de u' et s, L' dépendant algébriquement de u' : F(h', U) = o. Il suffit de diffcrentier l'équation G =0 par rapport à s, et de remplacer

7r=N(j)v'R(ij

l=sii(î+-C),

p. PAINLEVE,

par — u!' -sp 1 pour ramener l'équalion à la forme «"= G|(«', s, U). On W retombe sur la question précédente.

Les théorèmes sur lesquels nous nous sommes appuyés ont encore de nombreuses applications. Mais j'abandonne ce sujet pour le moment, et j'arrive à l'étude des conditions qui expriment qu'une fonction est continuable au delà d'une ligne analytique.

9. Conditions pour qu'une fonction soit continuable aii delà d'une ligne analytique. — Nous avons démontré que la condition nécessaire et sufOsante pour qu'une fonction uniforme F(s) soit continuable au delà d'une coupure L est qu'il existe une fonction /(s) définie de l'autre côté de L et prenant sur Lies mêmes valeurs que F(z). Quand la ligne L est analytique, la condition prend une forme plus simple.

On sait qu'une ligne analytique est une ligne telle que ses deux coordonnées X ety soient fonctions analytiques d'un paramètre t\ autrement dit, pour tout point (iCo,jKfl) de la courbe (sauf pour certains points formant une suite ponctuelle), x eiy se mettent sous la fonne

les deux séries convergent pour des valeurs de (ï — /„) suffisamment petites. Remplaçons l par 'z ^ t-{- t'i (les deux séries convergent encore), et posons

; = ^ + iy = .^{i + ('() + ,-^(i + t'i) = G(z);

z est une fonction analytique de T, et réciproquement la valeur de t égaie à ?„ pour z ^ Sa est fonction analytique de ^; t: = G, (s). A un segment AB de L correspond un segment de l'axe Ot, k des points z voisins de s,, et situés de pari et d'autre de L correspondent des points t voisins de tg, de part et d'autre de Ot, et inversement.

Soit f(z) une fonction uniforme définie du côté G de L et qui admet celle ligne pour coupure. Si /(s) est continuable au delà de L, il existe une fonction F(s) coïncidant avec/(3) du côté C de L, et holomorphe dans le voisinage d'un segment AB de L. Si l'on pose

yGoosle

lu fonclion F|(':) prolonge, au delà de Ot, /, (t). Quand /(s) est conlinuable au delà de AB, /, (-z) est donc continuable au delà de O t, et inversement. Pour -z = t(t étant réel et voisin de ïo), /, (t) doit prendre une suite de valeurs/, (ï) qui soient les valeurs pour /' = o d'une fonction F,(l-ht'i), holomorphe dans le voisinage de i^. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que/, (t) soit développable en série de Taylor pour des valeurs de\( — tg\ suffisamment petites. Nous anûvons ainsi à la conclusion suivante : pour que/(z) soit continuable au delà de AB, il faut et il suffit que f(z) prenne sur AB une suite de valeurs f,(j), fonction analytique de t. Ajoutons que toute fonction analytique/, (t) peut être regardée comme représentant les valeurs sur AB d'une fonction analytique /(s) =/, [G, (s)], définie de part et d'autre de AB.

On peut donner à la condition une forme encore plus simple, indiquée pour la première fois par M. Schwarz ( ' ).

Pour que la fonction f(z) définie du côté C de AB soit continuable au delà de AB, il faut et il suffit que sa partie réelle P (^ou sa partie imaginaire Q) prenne sur AB une suite de valeurs P, (Oi fonction analytique de t.

Supposons d'abord que ^(x^y) s'annule le long de AB. Posons, comme plus haut, s = G(t), et

où/, désigne aussi une fonction analytique de T. Pour que /(s) soit continuable au delà de AB, il faut et il suffit que la fonction/, (t -+- t'i) soit continuable au delà du segment A,B, de l'axe réel Ot. Soit

Par hypothèse, P, s'annule sur 0/ le long de A, B, ; mais la fonction

-V,{t,-l')-hiQ,(t,-t')

est une fonction analytique de -r,

M^)^'^At,t') + i(Ut,t').

Pour des points t symétriques par rapport k Ot, t -^ tfi, t — t i, les fonctions Q,(ï, ï'), QaC^) — f) coïncident; et, d'autre part, on peut prendre l'

(') Monatsberichte de l' Académie de Berlin

66 p. TAlNLEVlt

assez petit pour que |P,(/, t')\, \ ^^(t, — ^)] soient inférieurs à tout nombre donné e, quand le point / décrit A, B, . Il en résulte que les deux fonctions

/i('î)i/2('ï) se raccordent le long du segment A, B,, et que/,(c) prolonge

Passons au cas où P(.t;, y) prend sur AB les valeurs P,(i'), P|(0 <''l*'"E une fonction analytique de t.

Soit encore s = G(t). Inversement, -7=0, (s). La fonction

est une fonetion analytique de s, définie de part et d'autre de AB, et dont la valeur le long de AB est égale à P,(ï); la fonction /(s) — '$(^), dont la partie réelle s'annule sur AB, est continuable au delà de AB; il en est de

même en conséquence de/(z), somme de deux fonctions continuables. La proposition est donc démontrée.

Ces deux théorèmes permettent de discuter plusieurs classes de coupures.