En premier lieu, considérons les foncticms

qui représentent d'une manière conforme un espace S sur le demi-plan des 3, situé au-dessus de l'axe des x, . La condition nécessaire et suffisante pour que 9(s) soit continuable au delà du contour s de S, est que ce contour soiV formé de lignes analytiques.

La condition est nécessaire; car, si cpCs) est continuable au delà d'un segment AB de s, inversement s = 1^,(3,) est continuable au dclàde O37,; les points z de AB vérifient donc l'équation s = cp, {x, ), où x est réel, et où (f , est une fonction analytique de x, ; AB est par suite une ligne analytique.

La condition est suffisante ; car, AB étant une courbe analytique, comme la partie réelle de ^(s) s'annule sur AB, cp(s) est continuable au delà de AB.

Quand une partie seulement s' de s est une Hgne analytique, (p(s) est continuable au delà de s' et admet le reste de s comme coupure essentielle .

Si tout le contour s csl analytifjue, il convicnL de dislingucr plusieurs cas :

1" Pour tout point (.roj/o) de s, x ci y sont dévcloppablcs en série de

SUR LES LIG>ES SliNGUUÈBES DES FONCTIONS ASALXTIQUES. 67

Taylor (nous prenons comme paramètre Tare l de s). On dira dans ce cas que s est formé d'une ligne analytique régulière. La fonction ^{z) est conlinuablc au delà de s et ne pressente dans le voisinage de s aucun point singulier.

2" Le développement de « et y est impossible pour certains points (x'o,yo); "l'iis pour des points z'(œ', y'), s"(a:", y"), voisins et situés de part et d'autre de {x^^ya), les développements de z en fonction de l relatifs, d'une part à s', d'autre part à z'\ coïncident pour des valeurs imaginaires de / voisines de 4; la fonction analytique à?: l, x + iy =■ z{l) admet l^ comme point singulier; nous dirons alors que le contour s est formé d'une seule ligne analytique. La fonction cp(z) est continuable au delà de s; elle présente ces points z^^ x^-h iy^ comme points singuliers, mais n'offre pas de coupure dans le voisinage de s.

3° Les conditions précédentes ne sont pas remplies pour tous les points singuliers (^x„,y^). La fonction z{l) présente des coupures qui passent par chacun des points exceptionnels (a;', y'). On dira dans ce cas que s est formé de plusieurs lignes analytiques : '^{z) présente des coupures extérieures à s et s'ari'êtant à chaque point z'i= x' -\- iy'.

Plus généralement, quand s, = ^(2) représente d'une manière conforme un espace S du plan des z sur un espace S, du plan des s,, la fonction 9(2) est continuable au delà du segment analytique AB de s, si le segnient cor^ rcspondant A,B, de .î, est analytique; au cas contraire, AB est coupure essentielle de 9(3)-

11. Etudions maintenant le genre des coupures indiquées par M. Her^ mite et que présentent les intégrales de la forme

où F et G sont des fonctions holomorphes de z, G(s, t) n'ayant que dos pôles simples.

Nous ferons dans ce but la remarque suivante : quand deux fonctions /(s) et/|(z) définies du côté opposé d'une ligne L prennent le long de L les vaIeurs/(/), /,(/), dont la différence est tp(Oï l^ condition nécessaire et suffisante pour que/(z) et f,{z) soient continuables au delà de L est que <f(l) représente les valeurs sur L d'une fonction analytique f(z), définie de part et d'autre de h-

bO p. PAIiSLEVE.

La condition est nécessaire: si /et/, sont coiitinuables, / — /, est une fonction analytique de s qui existe de part et d'autre de L et dont la valeur sur L est (f(l).

La condition est suffisante; car, si la fonction ^(s) existe, la somme /, (s) -h <p(s) prolonge /(s) au delà de L.

Pour que l'énoncé soit vérifié, il faut et il suffit (d'après une remarque du lemme II du Chapitre II) que, /(s') —/(s") tende uniformément vers cp (l), quand z' et z" tendent vers un point ^ de L, de part et d'autre de L, sur un certain chemin variant avec C d'une manière continue. Par exemple, on peut trouver un nombre £ tel, qu'en portant sur la normale à L en chaque point C les longueurs î^z' = ls"= £, de part et d'autre de C, on ait

l/(=')-/iC^")-9(0[ <-n

(v] étant un nombre positif aussi petit qu'on veut).

Quand la ligne L est analytique, il faut etil suffit, pour que /et/, soient continuables, que cp(^) soit une fonction analytique de L

Appliquons cette remarque aux intégrales dont nous venons de parler, et tout d'abord à l'intégrale

cette intégrale étant prise le long d'un certain chemin AB [C = g{l), si l désigne l'arc de AB compris entre C» et (^] ; la fonction /(i^) est définie en chaque point de AB,/(C) =/,(/). De part et d'autre de AB, J(3)prend des valeurs différentes J, (s), J2 (s): quand les points s' et z" situés sur la normale en ■( à AB de part et d'autre de C tendent vers ce point, J|(^) — J:>(-") tend vers 2(-n:/(î^). Si/(C) est discontinue, J, et J, ne peuvent être toutes deux continuables au delà de AB ; si /(C) est continue, on voit sans peine que la différence J,(s') — Ja(s") tend vers 2iTr/(C) uniformément le long de AB, sur la normale à AB. La condition nécessaire et suffisante pour que J, et J2 soient continuables- est donc que /(C) représente les valeurs sur AB d'une fonction analytique. Quand AB est une ligne analytique, il faut et il suffit que f,(l) soit fonction analytique de L Si, par exemple, /,(/) n'admet pas de dérivée d'ordre n, les deux fonctions J, et Jj ne sont pas continuables au delà de AB. On ramène à la précédente l'intégrale

X T^r^y ^^ posant K^g(iy,/(X)= -^■

yGoosle

Arrivons an cas plus géiiércil

Toutes les lignes AB, décrites par les points s qui véritient l'équation G(9, z) = 0, quand on donne à des valeurs réelles comprises enlre l^ et /,, sont des coupures de 3(z). Soit Ç un de ces points, ^ = g(^), et soit

P(^, s) = — G(ï, z) ; quand les points s' et s", situés sur la normale en i^ à AB de part et d'autre do^, tendent vers ce point, la différence J, (s') — i-^iz") tend vers pW-=T = o(9), et cela uniformément le long de AB, siç(0)est

continue. Lorsque J, et J^ sont continuables, ^(6) représente les valeurs sur AB d'une fonction analytique. Si AB est analytique, (; = g*(ô)peut être fonction analytique de 9; dans ce cas, cp(9) doit être aussi fonction analytique de ô; sinon, Ç est fonction analytique de /, <} = h(l), cl o[h( 1)1 doit être fonction analytique de /.

On voit que, si F et G sont fonctions analytiques de t, les conditions sont satisfaites ; les deux fonctions J, et J^ sont continuables au delà de AB,

Quand G(/, z) est fonction analytique de t, sans que F le soit, une au moins des deux fonctions n'est pas continuable.

La même discussion s'applique aux coupiires des intégrales doubles indiquées par M, Laguerre.

12. Nous donnerons, pour terminer cette étude, quelques exemples des principales singularités qu'une fonction peut présenter dans le domaine d'une coupure,

11 convient d'abord de distinguer les coupures /ermees des coupures ouvertes. Quand une coupure esl fermée et enclôt l'espace S, il n'y a aucun rapport entre les deux fonctions /(s) et/, (s) représentées par les symboles à l'extérieur ou à l'intérieur de S. Il est facile de former, à l'aide d'intégrales ou de séries, une fonction. F(z) égale à/(2) à l'extérieur de S, et présentant S comme espace lacunaire, ou égal dans S à une fonction quelconque <f(z). Les deux fonctions /et ^ peuvent admettre toutes deux le contour s de S comme coupure essentielle, ou comme coupure artificielle; ou bien, l'une est continuable au delà d'un segment s sans que l'autre le soit. Dans le cas où s est coupure essentielle de ^(s), par exemple, il n'existe, à aucun titre, une fonction qui puisse être regardée comme le pro-

70 p. PAISLEVE.

longcment naturel de ^(s) ; car les symboles analytiques pcuvcnL associer deux fonctions quelconques, et, d'autre part, on ne saurait trouver une fonction 4'(s), telle que4'(s.)~?(^a) tende vers o quand s, etSj tendent vers un point de s de part et d'autre de cette ligne ; autrement, <p(s) sérail continuable.

Quand 'p(s) est conlinuable au delà de S, la coupure s peut être purement artificielle; il arrive, par exemple, que la fonction prolongée est holomoi'phe dans le plan.

Au contraire, soit AB une coupure ouverte de /(s); de part et d'autre de AB, /(s) prend des valeurs différentes/, (z'),/a(s"); il est clair que les deux fonctions ne peuvent être associées arbitrairement. De plus, si/, (s') définie du côté C de AB est continuable au delà de ABpar une fonction o(z), les points A et B sont nécessairement des points singuliers (critiques ou extrémités de coupures) de 'p(^); autrement, s tournant autour du point A, après avoir franchi la coupure AB de C en C, la fonction ;f(3) prendrait, pour des points z voisins de AB et situés du côté C de cette ligne, les valeurs y, (s'), de même que la fonction /].(z); cp(^) coïnciderait donc avec/2(-2) pour les points z" voisins de AB et situés du côté C de AB, ce qui est impossible, /s{z) ne prolongeant pas/ (s).

Dans le cas d'une coupure ouverte AB, peut-il arriver que \a fonction f,(z') soit continuable au deltX de AB sans que/^^z") le soit aussi ? Il est facile de former des exemples de ce fait ; considérons un cercle C de centre O et de rayon R; formons une fonction ç(s) ayant comme coupure essentielle la demi-circonférence située au-dessus de Ox et holomorphe dans le reste du plan. Posons z = z, -i-^z\ — C^, le signe du radical étant choisi de manière que ] z \ soit inférieur à R, La fonction ^(2) = i|^(s, ) est une fonction uniforme de s,, admettant le segment AB de Ox, comme coupure; quand z, tend vers AB du côté des y, positifs, z tend vers un point de la demi-circonférence inférieure de C; 'l'C-^i) ^sL par suite continuable au delà de AB quand z, passe du demi-plan supérieur au demi-plan inférieur; on voit de même que '\'(z,) n'est pas continuable quand s, tend vers AB du côté desy négatifs.

On peut prendre encore une fonction /(z) définie dans un espace S et qui n'est pas continuable au delà de cet espace. Si AB est ime portion de s, sur laquelle /(s) soit continue, on considère ^(a^) = / \ dz\ ^(a;) n'est pas continuable au delà de AB quand x passe de S en S' (S' désignant l'es-

SUR LES LIGNES SlN'GULlÈliES DES FONCTIONS ANALYTIQUES, 7!

pace extérieur à S); au contraire, f(x) est coiitinuable quand z passe de S' en S, comme le montrent aussitôt les deux égalités

pourx intérieur à S, et

f{-^')àz

pour X extérieur à S.

Un exemple très simple de fonctions conlinuables des deux côtés d'une coupure AB est offert par les fonctions multiformes qu'on rend uniformes en joignant leurs points critiques deux à deux. Inversement, si /(s) présente une coupure AB jouissant de cette propriété, la fonction /(s) peutelle être considérée comme une branche d'une fonclion multiforme n'ayant aux environs de AB que des points critiques distribués sur AB ? On se rend compte du contraire de la manière suivante : soit 9(2) une fonction ayant comme plus haut la demi-circonférence supérieure d'un cercle C comme coupure, cette coupure étant essentielle quand z entre dans le cercle et artificielle quand s en sort. Si l'on pose 5 = 3, + '^z\— C*, la fonction '^(s, ) ^ 9(3) est continuable des deux côtés du segment AB de Ox^ ; mais, si 3, passe du demi-plan supérieur au demi-plan inférieur et tourne ensuite autour de B, la fonction ^^i^z^') qui prolonge 4'(si) présente AB comme coupure essentielle quand s, revient sur cette droite.

Nous avons, dans ce qui précède, donné les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit continuable au delà d'une coupure. Mais les conditions nécessaires peuvent prendre un grand nombre de formes ; il suffit de reconnaître que la fonction ne présente pas dans le voisinage de la coupure un des caractères d'une fonction holomorphe, pour être certain que la coupure est essentielle. Ainsi, quand la fonction admet dans le voisinage d'une ligne une infinité de zéros, de pôles ou de points essentiels formant une suite linéaire, cette ligne est sûrement une coupure essentielle de la fonction. C'est le cas du cercle fondamental pour les fonctions fuchsienncs définies seulement dans ce cercle.

Si/(z) est holomorphe dans le voisinage de AB, du côté C de cette ligne, sa valeur peut ne pas tendre vers une limite quand z tend vers des points (^ de AB formant une suite hnéaire [/(s) est indéterminée sur le chemin X,z, ou /(s) tend vers des limites diiîérentes sur deux chemins 'Qz différents].

J-l p. PAINLEVÉ.

Voici un exemple curieux de ce fait : considérons la fonction

On peuL toujours prendre n assez g;rand pour qu'à l'extérieur d'un cercle ayant a pour centre et p pour rayon le module du reste R„ de la série soit inférieur à e. Formons une suite de fonctions h, (s), . . . , h^^z)^ . . ., les points a^ qui correspondent à ces fonctions étant tous distincts et distribués sur la ligne AB où ils forment une suite linéaire (ces points sont, par exemple, déterminés par la loi suivante : «, est le milieu de AB, a^ et a^ les milieux de Ad, et de a, B, et ainsi de suite). Désignons par p^ la distance minima de deux points quelconques pris parmi les v premiers a, , «j, . . ., a^. Pour chaque valeur de v, on peut prendre n assez grand pour que

ait un module plus pctÎL que z^ pour tous les points M ou s extérieurs à un cercle C^ ayant a^ pour centre et de rayon Opv (0 est un nombre déLerrainé plus petit que i). Posons

Cette série est uniformément convergente dans l'espace extérieur à tous les cercles Cv, si la série Ss^ converge.

Faisons tendre M vers un des points a, (soit a^) de manière qu'il reste extérieur aux cercles Cj^+i, Gp.+3, . . . (ce qui est toujours possible : si 6 ^^ ^, il suffit que M soit compris dans l'angle droit de sommet a^ et dont la bissectrice est normale à AB). Dans ces conditions, cp(s) ■— R"^'(3) tend vers une valeur déterminée, car on peut toujours prendre q assez grand pour que

iit'-H^) I

soit inférieur à œ et, d'autre part,

est holomoii^he au point a^. La fonction ç(s) est donc indélermuiée comme R'i''(s) dans le voisinage de a^.

SUR LF.S LIGNES SISGULIÈRES DES FOSCTIOSS ANALYTIQUES. 73

On peut également former des fonctions qui tendent vers des valeurs /,(/) discontinues quand z tend vers AB sur certaines directions, par exemple sur la normale à AB. Soit/(0) une fonction de la variable réelle 0, discontinue dans tout intervalle, mais à variation limitée, et telle que la suite de valeurs - ? -— — ■ soit discontinue. Si l'on cherche à développer cette fonction en série de Fouricr, on obtient une série trigonoraétrique 2(A„cos«6 + B„sin7îO), qui, pour toute valeur de entre o et 27:, est égale à /i^"t-?-l-"t'liz:^^ . La séné 2( A„— B„t)3'' est une fonction F

de s, dont la partie réelle, quand 3 tend vers un point du cercle G de rayon 1 et de centre O, sur la normale à ce cercle, tend vers la valeur -'^— -— — "^^^^— > fonction discontinue de 0. Quand s tend vers un point de la circonférence C sur certains chemins, F(3) est indéterminée.

Quand une fonction F(5) prend sur une coupure AB une suite continue de valeurs F|(/), la coupure est essentielle au cas où, AB étant une ligne analytique, F,(/) n'admet pas de dérivée d'ordre 11. Par exemple, les séries

(dans lesquelles a„ désigne //", ou i .2 . . ./*, . . .) représentent des fonctions holomorphes de s dans le cercle G de rayon i , qui prennent sur la circonférence de C une suite continue de valeurs F, (0 ), mais qui ne sont pas continuahles au delà de G; car les séries

sont des fonctions continues de 0, n'admettant pas de dérivée, comme l'a démontré M. Darboux (').

Les fonctions qui représentent un espace à contour analytique sur un espace dont le contour est tel que -r^: n'existe pas, fournissent un autre

exemple de cette singularité. De même à toute fonction V(a^,jK), satisfaisant il l'équation AY = o, qui prend sur un contour fermé s une suite de

(') Mémoires sur les fonctions discontinues {Annales de l'Ecole Normale mpérii année 1875).

yGoosle

valeurs non analytique (le contour s étant analytique), correspond une foncLion de s, V -+- il], qui présente s comme coupure essentielle.

On peut encore considérer l'intégrale F(s) = / ■ } ■ ; -' prise le lonj^-

d'un chemin analytique AB, la fonction /(C) =/,(l) n'admettant pas de dérivée n"^"'" (ou étant discontinue, maïs susceptible d'intégration). La fonction F (^) n'est sûrement pas continuable des deux côtés de la coupure. Soit J, (s) et Ja (s) les valeurs de F(s) de part et d'autre de AB, soit de plus /,(/) = P(/) + iQ(^). Quand une seule des fonctions P(/), Q(/)cst analytique, AB est coupure essentielle de J, et de J^ ; car, si J| (3) est continuable, la fonction J^ — J,, définie d'un certain côté de AB, prend sur AB des valeurs dont la partie réelle (ou imaginaire) est fonction analytique de l, et n'est pas continuable au delà de AB, ce que nous avons démontré être

impossible. Ces remarques s'étendent sans peine à l'intégrale / ' -" ^ dt.

Au contraire, lorsque la ligne AB n'est pas analytique, la fonction /(5) qui prend sur AB la suite des valeurs/, (/) = P(/) + iQ(l), fonction analytique de /, n'est pas continuable. Plus généralement, quand les dérivées

liy tPy , . . î, 1, 1 1 , 1 ■■> 1 1 r .

d^' d^' '" ^ existent que jusqn a I ordre n pour la courbe AB, les dérivées dey',(^), siy(s) est continuable, doivent exister jusqu'à l'ordre n et seulement jusqu'à l'ordre n. Il suffit, pour le voir, de remarquer que les points 3 delà courbe AB vérifient l'équation /(s) =/,(/), où /(s) est analytique dans le voisinage de AB. 11 faut même que la partie réelle P(/) [ou imaginaire Q(/)] de /, (/) satisfasse à cette condition. Chaque fois qu'elle n'est pas remplie, la coupure AB est essentielle. On voit ainsi que l'intégi-ale J(s)^ / ■^^.-- où la fonction de l, /('Ç)=/,(l')^ est analytique,

le chemin AB ne l'étant pas, présente AB comme coupure essentielle. De même, les fonctions F(s) = V -1- îU dont la partie réelle prend sur AB la suite analytique de valeurs V,(Z), ne sont pas continuables au delà de AB. Enfin, lorsque la fonction s, — 9(3) représente d'une manière conforme uu espace S sur un espace S, , et que la dérivée -^ n'existe pas pour l'arc L de s, -^ existant pour l'arc L, de s, , L est coupure essentielle de 9(-).

Ajoutons, pour terminer, que, si une fonction /(j) prend sur AB des valeurs/, (Z) dont la dérivée^ — est continue, f'(z) prend sur AB les

valcLirs /j'(/) -^1 ainsi que cela sera démontre dans l;i siiile ( ceci suj)-

dl pose Lontefois -^ continue sur Alî | ,

13. Dans l'étude qui précède, nous avons admis que la coupure AB n'était pas limite d'autres lignes singulières. Au cas contraire, quand un point z tend vers un point "C, de AB, il rencontre une infinité de coupures A„B„de F(s). Si ces coupures sont essentielles, AB est nécessairement coupure essentielle de F(s). Sinon, il convient de distinguer les deux cas suivants : lorsqu'il existe un espace S attenant à AB où la fonction F(-s) est coiilinuable au deliV de chaque coupure A„B„ par une fonction F, (;) qui existe au delà de AB, on peut dire que F esl coniinuable au delà de AB; si cette condition n'est pas remplie, F(2) n'est pas continuablo. Par exemple, soit f(s) une fonction uniforme définie de part et d'autre de Ox, admettant les

poiiits O et A de l'axe des x comme points essentiels et les points - et an — comme zéros simples. La fonction uniforme F(r)'= \//(z), qui présente comme coupures les droites A„B„joignaut — à a H — 1 est contÎTiual)le

au delà de ces coupures et de OA, Considérons, au contraire, une suite de fonctions/,,/,, ...,/„(s), ...,/„(s) désignant une fonction dont Ox est coupure essentielle. La fonctionF(:) égale à/j(i;) entre les droites/ = -. y = 1 est continuable au delà de ces droites, mais présente Ox comme

coupure essentielle. Dans ce cas, il arrive parfois que F(2) tend vers des valeurs F, (x), fonction analytique de x, quand s tend vers Ox; ainsi, appelons f(z) une fonction continue sur Ox, mais dont Ox est coupure essentielle; on peut faire/, (z) = 9(^), ...,/,(;) = ^' ---^et F(;) tend verso, quand s tend vers Ox.

14. Les théorèmes précédents ont leurs analogues dans l'étude des fonctions V de deux variables qui satisfont à l'équation A"V = o.

Quand deux fonctions uniformes V(x,y), V|(a;,K), définies du même côté d'une coupure AB, coïncident le long de cette ligne ainsi que -j- et

p. PA.I>'Lr,VE.

-~, elles coïncident dans îe voisinage de la coupure. On le voit en raisonnant sur Fintég-rale / r^C'^) ~7^ ^(s)\^r\ds, comme sur rînlégTalo

Il suffit, pour que le lliéoréme soit exact, qu'i! existe une longueur X telle qu'en portant sur la normale àAB, en chaque point M, la longueur MN = X,

l^('^'j) ~ ^i(^)7)l *ïM — d ,'^''^ soient inférieurs à tout

nombre donné £.

Quand les deux fonctions V et V, sont définies de part et d'autre de AB, elles se raccordent et forment une fonction analytique régulière àQX,y, qui satisfait à l'équation AV = o. Il faut pour cela et il suffit que, si l'on porte sur la normale, en M à AB les longueurs MN ^= MN, = X, de part et

inférieurs à £ (a;, y étant un point de MN, x^,y^ de MN,). Ceci résulte du lemme 111 du Chapitre II.

Par suite, la condition nécessaire et suffisante pour que \(^x,y) soit conlinuable au delà de AB est que la fonction V, existe. Il suffit encore que les différences [^(x,y) -N ,(x,,y,)\ et [^(^,7) - ^(a^,, 7,)] tendent uniformément le long de AE vers des valeurs c(Z), v'{l) (/désignant l'arc AM)qui puissent être considérées comme les valeurs sur AB d'une fonction W(^,y) régulière et satisfaisant à AW = o.

La condition est également satisfaite quand VetV, se raccordent sur AB, en même temps que y- et -^ ou, plus généralement, que V = a t — ^ ? ttt et V'i = a-r-^ + ^-j-Va et p désignant deux fonctions de /, mais V'et V, différant de -jTi -ryll-Ce que nous venons de dire s'applique évidemment aux

fonctions V(a;,y, z) de trois variables, qui satisfont à l'équation AV = o.

Dans le cas où AB est une ligne analytique, il faut et il suffit, ainsi que nous l'avons démontré, que V(x,y) prenne sur AB une suite de valeurs c,(/), fonction analytique de /, pour que V(ir,y) soit continuable au delà

de AB, Ouand cette condition est réalisée, les dérivées ^7— j -r- sont elles- ^ ' ax ây

mêmes des fonctions analytiques régulières dans le voisinage de AB, et pren-

lient en conséquence sur ABdes valeurs v'(l), ^"{l), <'' et c" étant des fonctions analytiques de /. Mais existe-t-il toujours une fonction V(a7, j') telle que V prenne sur AB des valeurs f,(^), -r— des valeurs v'{l), (^,{l) et f'(l') étant

/onctions analytiques de 11 On voit sans peine qu'il en existe une et une seule: soit (x,y) un point de AB, x=^<û(l),y = '\;(l)-,siv existe, la fonction -j î -j- est une fonction analytique de z définie de part et d'autre de

AB, et l'on a sur AU

dv dv ^ -'■'("■''<"

— = 1''!/) eiY^__^ ~ç"(l)

Or il existe une fonction /(s) définie de part et d'autre de AB, et prenanl sur AB les valeurs f'(0 "'" '''"(0) fonction analytique de /. Si l'on pose

/ f{z)dz = F(s), la partie réelle de F(3), P(^,^), pour une valeur convenable de la constante d'intégration, satisfait aux conditions énoncées. D'après les premiers théorèmes, il est clair qu'il n'en saurait exister d'autres.

Plus généralement, on démontre de môme qu'il existe une fonction V(j;,^) prenant sur AB les valeurs ^^iV)-, et telle que a(Z) -. — h [3(/)^

prenne sur AB les valeurs c'(/) : a(/), P(0' ''i(0' ''(0 étant des fonctions analytiques de /.

De ces théorèmes, on déduit au sujet des coupures des fonctions V(a;,K) des remarques identiques à celles qu'on a faites sur les coupures des fonctions de z.

Les conditions nécessaires pour qu'une fonction v(^x^y') soit continuable au delà d'une coupure analytique peuvent s'étendre aux fonctions V(a?,y, s) de trois variables. Mais il n'en est pas de même des conditions suffisantes.

Soit S une surface analytique, coupure d'une fonction V(a;,y, z). Nous appelons fonction analytique de deux ou trois variables une fonction qui pour tout point (a^o, y„f s») (sauf pour des points exceptionnels) est dévcloppable en série de Taylor, cette série convergeant' tant que \x — Xo\, \y — y» I) I ^ — ^0 1 restent inférieurs à certaines valeurs, pour des valeurs réelles ou imaginaires de x, y, z.

Les fonctions y(^x,y,z') sont des fonctions analytiques. Une surface

analyticjue est une surface telle, que ses coordonnées x, y, z s'expriment en fonclloii analytique de deux paramètres a et [B

çi, ij'ï X L'Lant définies pour des valeurs réelles et imaginaires de a, p voisines de «fl, po (l<i couple a,,, ^^ définit un point de la surface). Si V(a:^,y,s)esl continuable au delà de S, V prend sur S (ainsi que ses dérivées d'ordre (pielconque) des valeurs V,(a, P), où V, (a, j3) esï une fonction analytique de a, P; car remplaçons a;, ^, z en a, ^ dans V(a;,y, s); les coordonnées X, y, z sont définies en fonction de a, p pour des valeurs imaginaires de a, P voisines de œ^, p„, et V(a;,jv, z) est définie pour des valeurs imaginaires de x, y, z voisines de x^, y^ ; il en résulte que V, (a, ^) est une, fonction de «, (3 définie pour les valeurs réelles et imaginaires de a, ^ voisines de a^, Pi,; c'est donc une fonction analytique de a, p. 11 en est de même

des valeurs de -t- ? ^r- on -7- > ■ ■ ■ ax df a"-

Inversement, quand une fonction y{x,y,z) prend sur S des valeurs

V|(«, p), et -j— des valeurs V'(a, P), V, et V' étant fonctions analytiques de

a, p, cette fonction est-elle continuable au delà de S? Autrement dit, existe-t-il une fonction V(j:,y, s) régulière de part et d'autre de S et vérifiant sur S ces deux conditions? Il n'en peut évidemment exister qu'une, et, si elle existe, les valeurs de ses dérivées partielles en un point x,,, y^, Zf, de S s'obtiennent en dérivant les équations

" («,,.,,).^-V'(.,fl)

La première condition donne, par dérivations successives, (n ■+■ i) équations contenant linéairement les dérivées de V jusqu'à Tordre n inclusive-

tout, ■ '-i- équations linéaires, c'est-à-dire autant (juo de dérivées

d'ordre n et d'ordre inférieur. On peut donc calculer les valeurs au point (■^oî/o» S|,)de ces dérivées; si la série de Taylor formée à l'aide de ces valeurs

SUR lils ligses singulières des fonctions analytiques. 79

Tgentc, la fonction $(3;, y, s) ainsi définie vérifie les conditions énoncées. Mais il n'est pas démontré qu'elle converge nécessairement.

Dans le cas où la surface de S comprend une portion u de surface sphérique 2, sur laquelle \Çx,y, s) s'annule [la fonction V (a?, y, s) étant ré^lière dans cette sphère et continue sur sa surface], \(x,y,3) est conlinuable au delà de 2, ainsi que le montre aussitôt l'égalité

OÙ r et a ont une signification connue.

Toutes les formes de conditions nécessaires, pour qu'une fonction f{z) soit continuable au delà d'une coupure, s'étendent sans peine aux fonctions V(a?, j, z) et permettent de trouver des fonctions V ayant difFércntcs espèces de coupures essentielles.