SECONDE PARTIE

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES DES FONCTIONS A SINGULARITÉS QUELCONQUES. CHAPITRE ].

1. Nous allonsj dans cqUh seconde Partie, cherch«r à décomposer en sommes et en produits les fonctions affectées de coupures. Pour obtenir l'expression explicite en séries des fonctions auxquelles on se trouve ramené, il csL nécessaire de savoir développer en série une fonction holomorphe dans une aire quelconque ou à l'extérieur d'une ligne quelconque. C'est ce point que nous traiterons dans le premier Chapitre.

Un premier mode de développement repose sur les propriétés de la représenlalion conforme. Soit une ligne quelconque ^ du plan des s, assujettie à la seule condition de ne pas se couper. II existe une fonction s, =/(s} qui représente d'une manière conforme l'espace S extérieur à s (ou l'espace intérieur à s, si s est fermée) sur l'espace S, extérieur à un cercle C du plan des s, ayant l'origine pour centre. Autrement dit, s, est une fonction de z holomorphe dans S (sauf en un point s^ qui est un pôle), et telle qu'à chaque point s, de C corresponde un seul point s de S, et réciproquement : z=/,{z,) est holomorphe dans S,, sauf en un point qui est un pôle. La fonction /(z) dépend de trois constantes réelles arbitraires; on peut faire correspondre à un point de S et à un point de son contour s un point arbitraire de S, et de la circonférence c. Faisons correspondre les points à l'iniîni de S et de S, ; à l'extérieur de C, la fonction s = ^(c, ) qui admet le point ïo pour pôle se développe ainsi :

D'autre part, la fonction z, =/(s), à l'extérieur d'un cercle G ayant l'origine pour centre et comprenant s, est de la forme

SUR LES LIGNES SliSGUUÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQTÎES.

On en déduit qna p = y r= i et que, par suite,

La fonction s = 9(^1) contient encore une constante réelle arbitraire; on peut écrire

a désignant une constante réelle.

Posons s'= frs, ; quand s, parcourt C, s' décrit un cercle concentrique de rayon Rp, si R est le rayon de G et p le module de k. Dans ces conditions,

et, si l'on change, en dernier lieu, z' -+- a en s,, il vient

La limite de | s — 2, | est zéro pour s = co. En délinitive, étant donné l'espace S, il existe une fonction z, — f{z), telle que lim \ z ~ z, \ soit zéro pour z infini, et qui représente d'une manière conforme l'espace S sur l'espace extérieur à un cercle bien déterminé C, du plan des s,. La manière dont nous avons obtenu cette fonction montre qu'il n'en existe qu'une seule. Désignons par a le centre de C, ; nous dirons, pour abréger, que s, :=f(z) [ou s = 9(-3i)] '^'^^ fonction figurative de l'espace S et que a est l'ajfixedc la ligne s.

Soil maintenant une fonction'u = F(s) holomorphe dans l'aire S (y compris le point ao); posons s = cp(s,); la fonction F,(S|), holomorphe à l'extérieur du cercle C,, de centre a, se développe ainsi

et, comme s, =f(^z), on en conclut que F(s) peut se mettre dans l'espace S sous la forme

Ceci s'applique à une quelconque des fonctions s, ~f(z') qui représentent S

yGoosle

82 p. PAINLEVÉ,

sur un cercle d'une manière conforme. Mais la fonction figurative est la seule qui vérifie les égalités suivantes :

i" Soit <j un contour fermé entourant s :

En effet, l'intégrale précédente est égale à — ■ / ^(s,)(/2,, d, désignant un contour fermé entourant le cercle C, , et ^(S|) le produit F,(S|)-t^- D'après (r),

D'auLre part,

"■ = ""- ilTZITTif---- Par suite,

Le seul terme dont l'intégrale ne soit pas nulle est

^ — ~-^; donc — — j T{z)dz:=A.

2° — ^ / z F(z)dz — Aa + B, si F(3) s'annule pour zco. Celle intégrale est égale à l'intégrale / -^f\l(z,)dz,, où 'j'(S|) = (f (S|)F,(S|)-j;p-

On voit, comme plus haut, que dans ce produit le seul terme dont l'intégrale ne soit pas nulle est ka -\- lî

t/s,, par suite, ~— f sF{s) dz^^Aa

Quand les égalités précédentes sont vérifiées, pour une des fonctions z, =/(s), on aperçoit aisément que lim| s, — s | = o pour z ~ ^- La fonction figurative jouit donc seule de ces deux propriétés. Ces remarques nous seront utiles dans la suite.

En particulier, si ^ se réduit au point a, la fonction F(^) peut se mettre sous la forme

X et fi étant des constantes. Mais il faut que X — o et que [J- = i pour (|uc les égalités énoncées soient satisfaites. La fonction figurative devient donc z, = s quand s se réduit à un point.

Lorsque S est une aire à double contour, M. SchotLky a montré que S peut se représenter d'une manière conforme sur la couronne comprise entre deux cercles concentriques. Il s'ensuit que F(s) se développe dans l'aire S de la manière suivante ;

C'est la généralisation du théorème de Laurent,

2. Les modes de développement que nous indiquerons maintenant n'exigent la connaissance d'aucune fonction particulière relative à la ligne -s'.

En premier lieu, soit une aire quelconque S ne présentant pas d'angle rentrant et limitée par une courbe s. Traçons un cercle C tangent à s au point M et extérieur à S. Si a est le centre de C, z l'affixe de M, x un point intérieur à S, l'expression peut se développer ainsi

Faisons parcourir au point z la courbe s^ a variant avec s d'une manière continue, sauf aux points anguleux de 5 : la série A(z) converge uniformément et représente 7^^ — D'autre part, si F(3;) est une fonction bolomorphe de X dans S, continue sur s, on a

Par suite,

Mais on peut toujours tracer un contour extérieur à s, intérieur a la courbe a- décrite p^r a, et formé de /.- arcs de cercles tournant tous leur convexité vers s. A l'intérieur de ce contour, d'après un théorème de M. AppetI,