P- PAINLEVÉ

Les a„, b„, ..., 4 sont des fonctions continues de a, par suite de l'arc / = M, M de 5; les a,, «2, ■ - -, °^* s<^rit des constantes. De même,

Donc

j^ r F(a)(s-av-'rf^ V

.,)" ■ ■■■ (:^-cij,y'

(2) r(^')=2vv(^)-

Si S est l'aire extérieure à une certaine ligne ouverte s, on rentre dans le cas précédent, en posant

(a et Z» sont les affixes des extrémités de .y). La fonction F,(Z|) est liolomorplie à l'extérieur d'un certain espace et peut se mettre sous la forme 2. Il suffit, pour avoir le développement de F(z), de remplacer z, en fonction de 3.

Dans le cas où S est l'aire intérieure à une courbe convexe *, un raisonnement analogue au précédent permet d'obtenir des résultats plus simples :

Nous supposons que s n'a en chacun de ses points qu'un contact simple avec sa tangente. Traçons un cercle C tangent à .s au point M et comprenant S à son intérieur. Si a est le centre de C, s l'affixe de M, x un point intérieur à S, l'expression ; peut se développer ainsi

Faisons parcourir au point s la courbe s, a variant avec z d'une manière continue, sauf aux points anguleux de s. La série A(s) converge sur ^ uniformément et représente ■ - __ ■ , .■ D'autre part, si F(x) est holomorplie dans S et sur s, on a

yGoosle

par suilc,

P„(a;) désignant un polynôme en x de degré n. On voit donc qu'une fonction F(ar), holomorphe dans S, peut se développer dans cette aire en série de polynômes.

Discussion. — Nous avons admis qu'on pouvait tracer, en chaque point de s, un cercle tangent à la courbe et comprenant s à son intérieur. Ceci est exact si la courbe s n'a, en chaque point, qu'un contact simple avec sa tangente. Soit, en eiTet, une courbe convexe passant par l'origine et ayant en ce point un contact simple avec Ox { Oy est dirigé vers le centre de courbure). Pour les valeurs de x comprises entre — ^ et + a (~ p et -h a étant les abscisses des tangentes parallèles à Ojy), on a

r — ?(a;) — — cp"(9a;).

Traçons un cercle tangent à Oic, de rayon supérieur au plus grand des nombres a et p, ainsi qu'à d (d désigne l'ordonnée do la tangente, parallèle à Ox). Si, entre ~ ^ et -H a, l'ordonnée du cercle

Y = R — v'iî'— *■'

est plus petite que l'ordonnée correspondante de s cnLre a. et ~ p, le cercle comprend s à son intérieur. Soit fi une valeur inférieure (ou égale) à la plus petite valeur de '^--^ — ■ entre -j- « et — P (fi est positif) : enti'c œ et — [3, y est supérieur ou égal à [Lx^. Il suffit donc que [j.x- — Y ne soil jamais négatif entre — ^ et H- a. Ceci peut s'écrire

(R — (Aa;^ est positif, puisque It esl supérieur à d). Élevons au carré; il vient, après réduction.

Prenons maintenant un point M quelconque sur la courbe s; x ety sont fonctions d'un certain paramètre, et le long de s, (x'y" — y'x") est, par