DEUXIÈME PARTIE

16. Dans cette seconde Partie nous nous proposons d’étudier les systèmes d'équations intégrales linéaires du type suivant :

Y=rm

(36) 23 ÉSECEN! bass) Bts) | = eut) (H=E,2, 200) 0 =

où duy(Z), Duy(T, S), (Er) sont des fonctions bornées et intégrables dans le domaine o£x£1, 0£s£1; À un paramètre donné et 0,(x) des fonctions inconnues que l’on se propose de définir dans le domaine CÉSAR E

Considérons le déterminant

Am (Z) CON Amm(æ)

etsupposons qu’il ne soit pasidentiquement nul dans le domaine o£x£1 EZ 4

et ne s’y annule que pour des valeurs de x isolées et en nombre fini. Faisons pour un instant l’hypothèse que les fonctions Ü,(x) aient 5 1

été remplacées par leurs valeurs sous le signe f et résolvons le

système (36) comme un système d’équations linéaires en (MER pÉness Ca) Nous obtenons le système équivalent

A(z) B(æ)= fut) +AŸ 7 Kyv(æ, s) 0,(s) ds (LES 86670

Posons A(x) Out) = pu(æ) et D] Ky,(æ, S) Se (37) SE TO Tue CL

La résolution du système (36) est équivalente à la résolution du

système DE 7 ),1 1

(38) quiz) = Ju(x) + À > É Hyv(æ, s) o,(s) ds (Er MEN fi Fredholm a montré que la résolution du système (38) peut étre ramenée à la résolution d'une équation unique. Pour cela il pose

T—p+I \ H(x,s)—=H,,(x —u+1,s—v+1), pour 0 << 4 (39) ‘ Ù $ —V +1I

ÉLUS), pour 0oZ—p+I <I, et considère l'équation

(40) ete) f H(&s)a(s)d = (x):

À toute solution 2(x) de (4o) valable dans le domaine ox <m correspond une solution du système (38); elle est définie par les égalités

(41) o(T)=qu(r—p+i), ,pouro<r—u+i<i.

Réciproquement, les égalités (41) montrent qu’à toute solution du système (38) valable dans le domaine o £x=1 correspond une solution de l'équation (40) valable dans le domaine o£æ<m.

La résolution du système (38) est donc équivalente à la résolution de équation (40).

Or, l'équation (4o) est de troisième ou de deuxième espèce suivant que les fonctions A(s— +1) s'’annulent ou non dans lintervalle os —v+1<1, c'est-à-dire suivant que A(s) s’annule ou non dans l'intervalle os 1.

Nous dirons également que le système (36) est de troisième ou de

deuxième espèce suivant que A(s) s’annule ou non pour s compris entreoetrt.