FREE
i=È=m 1 Fe < = H,(s, y)DE( |A) ds (G6" S 'uann( she ur D'autre pat :
1° Si D(À) 0, ce que nous exprimerons en disant que À n’est pas un nombre fondamental du système de noyaux H,,,(x, y), le système d'équations intégrales linéaires (38) admet la solution unique
(47) qu(e) = futæ) +X Ÿ Î Fuv(e, ss, À) fs) ds,
V—=41 DH(? 1) y
(48) Fuv(x, PRESS vers
uv (Z, Y, À) étant la fonction
IL résulte des relations (46) que les fonctions %,,(x, y, À), dont l’ensemble est le système de résolvantes du système de noyaux
H,,,(x, y), satisfont aux deux systèmes de relations
—H,,, (æ, y) + JC, (x. Y; À) y} > | Hy,:(æ, SJ JÉAY CSS hs À)ds (49° ) (49) | Le ni ——#} pi J H;,(s,y) Hu:itx,s,À)ds (49°) i=1 "°
2° Si, pour À=c, D(A) est nul ainsi que tous ses mineurs
d'ordres 1,2,...,q — 1, un de ses mineurs d'ordre g étant différent de zéro, par exemple le mineur
ce que nous exprimerons en disant que c est un #ombre fondamental de genre q, les deux systèmes d'équations intégrales linéaires homogènes
(50) pute) AY Hyy(æ,s) p(s) ds = 0 (HE LERIUME V=1 !
V=7t 1 (51) DAY f Hu(s, y) de(s) ds = RENE RU à Y=1 W
dits systèmes associés, admettent respectivement les q solutions
Dé: EH Bpyarsen Hg Li Lay roues This Ds Thhto ces Tq
Lo Vao esse nnnnus tenseur nl
0 RE RG LENS “re Pu(æ) = DU (x) — Yi rs : : Ya A RE ? ls 2 , € UT D Vis Yo, Ya
Minas se: Peas Ve NAUST sr.) Ya
D 7) = C7) = —— a ss ur de Yom ras Piel 7
Dit: es by ne To; ….. T9 Yi: dos ss Ya
Si l’on pose
Dix) — D (x) pour o<x—"p+1<1,
MINEURS DE LA FONCTION DÉTERMINANTE DE FREDHOLM. 3r
les g fonctions D, (x) sont linéairement indépendantes, ce qui revient x . LE ï ‘ ss ul : :
à dire qu’il ne peut exister une même relation linéaire à coefficients
constants non tous nuls &,, &;, ..…, dy
a Di Ce) + a D (x) +. ..+a, D (x) =0,
vérifiée quel que soit x compris entre 6 et 1 pour les m valeurs +, 3,..:,.mde l'indice pu.
Nous exprimerons ce fait en disant que les g solutions (x) du système (50) sont linéairement indépendantes.
Dans le cas qui nous occupe, le système (50) admet 4 solutions linéairement indépendantes (52) et g seulement.
3° Pour À = c, nombre fondamental de genre q, le système d'équations (58) n'a pas, en général, de solution; les conditions nécessaires et suffisantes pour que des solutions existent sont les q conditions
(54) >»? [l PO (s) fu(s) ds = 0 COTON 2 10
| ra
Ces conditions supposées remplies, toutes les solutions du système (38) pour À — c sont définies par les égalités |
VE AA ô=9 55 at =nte+e Kuy(æ, 5) f(5) ds + Das DU (+) (59) = ee OR IS Aint):
où K,,,(2, y) désignent les fonctions
Dé BB TL, Li, Lo, 77 V, Vas Va, is Va DÉMÉ TNT Er
et où les a, sont g constantes arbitraires, les mêmes quel que soit pu.
56) K v(æ, — É TEE
Vas Va ee) Vg Vis Va is Va
49. Les résultats de l’étude des noyaux et de la résolvante d’une équation unique s’étendront également aux systèmes de noyaux et de résolvantes d’un système d'équations intégrales linéaires. |
Deux systèmes de m? noyaux H,,(x, y) et K,,(x, y) seront dits orthogonaur, s'ils satisfont aux deux systèmes de conditions
> 1 His(æ,s) Kiy(s, y)ds= 0 it Hd PUR Œ V=1,2,..., M)
1=m i | > ‘à H;, (5,7) Ku:(x, s) ds =0 JF
Si un système de 7° noyaux H,,,(x,y) donné est tel que chacun de ses noyaux est la somme de deux noyaux de mêmes indices y, v de deux systèmes orthogonaux de m° noyaux composants : 1° la fonction déterminante du système de noyaux H,,(x,y) est le produit des fonctions déterminantes des systèmes de noyaux composants; 2° les fonctions résolvantes Fv(T, 7) À) du système de noyaux H,,(x,y) sont les sommes des fonctions résolvantes de mêmes indices w., y des systèmes de noyaux composants.
Désignons par h,,,.(x, y, À) la partie de la fonction méromorphe Fu,(æ, Y, À) résolvante d'indices y, y du système de noyaux H,,,(x, y) qui devient infinie pour À = c, et soient c, et c, deux nombres fondamentaux du système de noyaux H,,(x,y). On peut poser
uvre, YA = uv (Ss PV À) + have, (@ À) + huv(æ, y, À).
Les trois systèmes de m° noyaux h,,.(x,y,0); h,,.(x77,0); hus(æ&,Y,0) sont orthogonaux entre eux deux à deux et admettent comme résolvantes respectives h,,.(x, y, À); h,,.(x, y, AY: PACS ARS
Finalement, on peut étudier séparément les parties des noyaux huse(x, Y,0) et les parties des résolvantes 2,,.(x,y, À) relatives au nombre fondamental c.
Soit c un nombre fondamental de genre g annulant p fois D (À); huve(Z, y, À) peut être considéré comme la somme de g fonctions
(@) (6 NACRE RE TE CS il hÈ,. As PU. v, 7 uv, ng—1(æ; Qu.vi(T, Y) ,e(æ:,7 À) ne ee der dr eee Ml
les fonctions ph; ..…, Pline étant définies à l’aide des constantes
arbitraires a! par les relations
in
(l : ENT (l Phi tmy= À aix)BPiy),
AE TE à CB Du, v,2 (Ar) = D af au(x By)
SR SN at ee en le ln UN et elS ce eee lee less à à à ver"
RIRE np elles "sn systèmes de fonctions ta) et ÿ : . . . . ; u:(Y), qui existent, quel que soit le choix des constantes a!”, sont
tels que si l’on définit les fonctions
ae) = ah),(& — p +1) POUROE ER, Br) =BVi(y—v+1) pouro<y —v+1<1,
ces 2p fonctions af (x), B?(y) forment un système biorthogonal dans l'intervalle d'intégration (0 — m).
RÉACGE, yY,o) forment un système de »#? noyaux canoniques d'ordre n5; A%,.(x, y, À) sont dits résolvantes canoniques d'ordre 7%
de ce système de noyaux.
De plus, la fonction déterminante du système de 77° noyaux
him. a)est (x — :)
Enfin, si l’on appelle p4 le plus grand commun diviseur des expo-
sants du binome (À — c) en facteur dans les mineurs d'ordre 6 de la déterminante D (À), on a
US rt le = PRE P::
(58) RG = PO — P6.
HÉLÉLanS N'e ‘ Pas Por Ho
Notons que, pour & et 0 donnés, l’une au moins des 72 fonctions aŸ(x) n’est pas identiquement nulle pour o£x£1, puisque «Ÿ(:r) ne LE é
saurait être identiquement nul entre o et m. De même, l’une des m fonctions BR) n’est pas identiquement nulle pour o£ y £1.
On ne saurait donc d’une part avoir simultanément
f) 2 A0 pes AE: AN pl, 1(Z 7) == oi (æ, y) CUITS Ph v,1( Ts Y ) = 0;
sinon 1l existerait une relation linéaire à coefficients constants non tous nuls entre les fonctions a«(x), aÿ(x), .., an (x), ce qui est impossible, celles-ci étant biorthogonales aux fonctions B/°(y), BAG) Le 64 (y) dans l'intervalle (o — m).
Nous pouvons donc énoncer que m résoloantes canoniques au moins admettent le pôle À —c, et, si nous désignons par {4,, V,3 Us, V3 ...3 Lovleurs indices mu eymilsteéntstels que, me ST tu Vis Vos ce) Vmy SONt deux permutations des nombres t, 2, ..., m.
Nous traduirons d'autre part les égalités (58) en disant que les ordres des pôles des résolvantes canoniques sont inférieurs ou au plus égaux aux exposants des diviseurs élémentaires de la fonction déterminante; ils sont égaux à ces exposants pour une au moins des m° résolvantes canoniques.
Nous remarquerons, enfin, qu’en vertu de (45),
bu =m + diog DO) LP ?
9) DE CL b=1
donc c est un pôle pour l'une au moins des m resolvantes &,,,(x, y, )),
LR d'logD (À car 1l est nécessairement un pôle simple de EL
