ADMETTANT DES POLES DONNÉS
20. Considérons un seul noyau H(x, y), et conservons les notations du n° 2. | Les fonctions a!” (x), B(y), qui entrent dans la formation des
noyaux canoniques (x, y, 0), sont des fonctions dites principales relatives au noyau H(x, y) et à son nombre fondamental c.
Dans ses remarquables recherches sur les équations intégrales linéaires, M. Goursat (!) à montré qu'on peut définir de la façon suivan te les fonctions principales :
Etant donné un nombre fondamental de genre 4 du noyau H(x, y)
annulant p fois la déterminante de ce noyau et p? constantes a; ; telles que
C7 mL di2 i,p U A. LT eu DE RE:
(60) A(r) = 2,1 2,2 2,p = (1— r}, pi A p,2 . dp,p=T
il existe des fonctions D,(æ), p,(x), ..., o,(x) satisfaisant au système d'équations intégrales linéaires homogènes
Ai
c| H(xz;s)m(s)ds—a;s;m(x) + ui: pr) +...+a,,p PPT),
(61) sf. H(zx,s)oœ(s) ds — di pu( x) + Ge paf) +...+ Gp Op(T),
ini nain else es ele see lens 5121» na)» sais lelos uen pla s eee op lshetels +) os lee mn res s
| cf Hz, s)qy(s) ds — ap pr) + aa Pa) +. + Gpip pl) | br:
système de seconde espèce, puisque
Ronan TP en vertu de (60).
D'une part, chacune des fonctions », (x), o,(x), ..., 9,(x) est dite fonction principale relative au noyau H(x, y), à la variable x et au nombre fondamental c; d’autre part, l’ensemble de ces p fonctions
constitue un groupe principal relatif au noyau H(x, y), à la variable x et au nombre fondamental c.
(!) Ann. de la Fac. de Toulouse, 1908, Mémoire déjà cité.
Lorsqu'on connait un groupe principal relatif à un noyau H(x, y), à la variable x et au nombre fondamental ce, on obtient tous les autres en effectuant sur celui connu une substitution linéaire à coefficients constants dont le déterminant est différent de
zéro.
Nous nous proposons, dans ce Chapitre, d'appliquer les résultats du n° 48 à la recherche d’une solution d’un système particulier (61), et, par suite, à la détermination d’un groupe principal; la dernière proposition que nous venons de rappeler nous permettra d’en déduire
tous les autres.
21. Dans ce but, faisons un choix particulier des constantes a!” qui
entrent dans les formules (22); prenons-les toutes égales à € et appelons AÛ(x), B}(y) les nouvelles fonctions principales 4 (x), 8% (y), correspondant à ce choix de constantes.
Nous allons former le système d'équations du type (61) auquel satisfont les fonctions A (x).
Les formules (21) et (22) permettent d'écrire
i=nÿ—} Î1=ng -1 D AV(x)B,(Y) (62) chË(æ, v, À) — Y = RUES EMULE
Si, après avoir fait À — o dans cette égalité, on multiplie les deux membres par A!Ÿ(y)dy et intègre entre o et 1, on obtient, en vertu de la biorthogonalité des fonctions Af(x) et B!(y), la relation
(63) cf RÜ(æ, 5,0) AŸ(s) ds = AP (x) + Az) +...+ AÛ(æ). “0
D'autre part, posons
(x; y) =4(x, y 0) K(x, y) = AM (ze, 7,0) + AB (a. v,0o) +..,+ k (x, 7,0) + K(x, y),
les g +1 noyaux AV (x, y, 0) et K(x, y) sont orthogonaux deux à deux.
Cette orthogonalité entraine les identités (‘) | K(æ,s) hs, y,)) AS — 10, "0 | RBI(æ, 5,0) AŸ(s, y, À) ds = 0, pour & 6, quels que soient æ, y et À.
Tenant compte de lindépendance des fonctions B(y), il en résultera les identités
| | Kix,s) AS) s = 0, (64) +/0 | | 1e RS (æ,s, 0) ASS) ds = 0.
Les égalités (63) et (64) montrent que la fonction AŸ(x) satisfait à l'équation Aa | (65) c | H{z,s) As) ds — Ar) AN(S) 2e ANT).
En faisant varier 0 de 1 à q etide 1 à rw, on obtient p relations qui constituent un système du type(61)auquel satisfont les fonctions principales AŸ(x).
22. Considérons maintenant le système d'équations intégrales linéaire homogène du second ordre
atæ=e f H C2, ») 91 (5) ds!
ge) + palace f H(æ, 5) g(s) ds,
pi(z) + P(T) +.. +on(e) = f H(æ, 5) pn,(s) ds.
1) Voir Brxox Heyvoon, Thèse déjà citée ) J
Si l’on suppose n,n,-...7n,, ce système admet les 7 solutions définies par le Tableau ci-dessous :
Solutions. v.. Do moe On—nge Pnang+ie Pri—ng+2 Pri—np+3 = Pns—1° AE 0 0 ne 0 A) A AN) re AU; DEC o DE o) 0 A9) A RS SRE Se 0 (o) pue 0 0 0 A Fa Ne non: re) O0 ue 0 0 0 0 er (e)
et ceci est vrai pour 0 = 1, 2, ..., g. Donc le système (66) admet Ri+ Rat... .+ n4= p solutions.
Ces p solutions sont linéairement indépendantes dans le sens donné à ce mot (n° 18); cela en vertu de l'indépendance des fonctions AŸ (x).
St donc on considère le système d'équations intégrales linéaire du second ordre
| 1 qilx) = fi(æ) +àf Hu, s) gi(s) ds,
lequel se réduit au système (66) pour x = e, et fifz)=f(r)=.. = (e)=0,
la déterminante de ce système s’annule pour À = c ainsi que ous ses mineurs d'ordre 1 à p — 1 inclusivement.
25. Nous nous proposons d'établir maintenant que tous les mineurs d'ordre p de cette déterminante ne sont pas nuls.
Nous commencerons pour cela par exprimer la valeur de cette déterminante D(X) et celle des résolvantes du système (67) en fonction
de la déterminante Dj(À) et de la résolvante %(x%,y,ÀA) du noyau unique de Fredholm H(x, y).
Supposons que À n’annule pas D,(A) et résolvons la première équation (67) en ?,(æ), nous obtenons
qu(x) = fix) + À [ J(æz,s, À) f(Ss) «ds.
Remplaçons #,(æ) par cette valeur dans la seconde équation (67) et résolvons-la en #,(æ), nous obtenons
DUT) Ge) f Er ds at) PCT CO TENr its) ds +2 fa À) faits) ds.
En opérant de proche en proche et désignant par f},(#, y) la (4 — 1) fonction itérée de la fonction f(x, y), on obtient comme résolvantes du système (67)
(68) user, YA) = (— ai) EAN (Ze, Ph) HE AVI, (æ, YA].
Les formules (7”) et (45”) donnent alors
œ log RE =n f H(s,s,À)ds——-n Æ Re,
d’où, en vertu de (7') et de (45'), (69) D) = T[Da(a)}":
Les formules (69) et (68) donnent les expressions cherchées de la déterminante et des résolvantes du système (67).
