D'un autre côté
1° La formule (62) permet d'écrire
i=nÿ—) “ou 2 TÉH AD (æ) BC (70) th (x,3, D = D
( À J+k j —0 [Er el / \ :)
ho CH. PLATRIER.
T? désignant le nombre des permutations à répétitions de p lettres g à q.
Cette formule se réduit à (62) pour k = 1.
Supposons-la vraie pour Æ et démontrons qu'elle est encore vraie pour 4 +1. Il suffit de multiplier les deux membres par ch(y,2,))dy, remplacer A!(y, 3, À) par son expression (62) dans le second membre et intégrer entre o et 1 les deux membres de la nouvelle égalité ainsi obtenue en tenant compte de la biorthogonalité des fonctions A?(x), B°(y). On obtient facilement la formule (70) où k a été remplacé par # +1. C. Q.F.D.
2° L'orthogonalité deux à deux des g+1 noyaux 4? (x,7y,0) et K(x, y) entraîne (‘) l’orthogonalité deux à deux de leurs résolvantes AŸ(x, y, À) etæ(x,y, À) et par suite les égalités
1 h® ECS A) RPICS A ja = f” RO (x, s,À) AGY(5, YsA)ds= 0
(pour 0 <5w)
et
(1 1h RÉ (x, s, A) X(s, y, À) ds Se RO (x,s, À) Ny(s, y, À) ds = 0;
ces égalités permettent d'écrire (D) Hate, y, D = he. y, D +R (a, 7) + +R (e, y, À) + x (2, 7 À) = her(æ, À) + Nr, y, À).
3° Posons d’une façon générale (72) fav, 7, D = DENON us Cas 7 À) + AT fu (2 Je]. Les égalités (70) et (71) permettent d'écrire respectivement
i=nÿ—)
im D THYAP() [BC —B,.(n]
— À uv 3 h® — Œnie Pi (73) hkcuv(z, y, À) cv > À
QE == 0 { JE à à \ C
(avec la convention B! (y) =0iêt
(74). FT, y; À = hf ave PA) + RE, (æ, y, À) +... + AU, (ar, ÿ, À) + Xuv(Z, YA) = house», À) +u(æ, y, À).
(*) Voir Bryox Heywoon, Thèse déjà citée.
25. Nous sommes maintenant à même d'établir que tous les mineurs d'ordre p de la déterminante D(À) ne sont pas idenliquement nuls pour À = c.
Considérons en effet le mineur
Ai Pan Up db Jos es rs Ÿp La formule (4/4) permet d'écrire p ( Las ce. Dh 1)
V1 Vo, +...) Yp
Cr LOT Fan À) In (Aus Vas À) TON Rs (TL) = [Da(A)l" JC, 1; Yi À) Jn,,1(Te) Vas À) JC, 1 (T2; ps À)
nent de so nfblo los reed spires eo ver no sd de e stp à san ess
PA ETES Yi À) Ion 1(Lpr Var) OCT à TO TUE pair
p fois.
\ —— + ei 1) = D'or Lay 1.) Th
Fe] FA Ji Ja) s..) Vp
me
p fois,
Remplaçons la fonction 3%,,,(x, y, À) par sa valeur (74). Le déterminant en facteur dans le second membre peut être considéré comme la somme (q + 1}? déterminants.
Formons un déterminant de cette somme et multiplions-le par [D,(À)]". Supposons que ce déterminant partiel contienne: a, colonnes de fonctions k!?, ,, a, colonnes de fonctions A°,,,, etc., a, colonnes de
fonctions 27, et a,,, colonnes de fonctions %, ;,
A+ Ati. + dy + Ag+1 — D:
1° Supposons 4,,,5£ o et, à l’aide de la règle de Laplace, dévelop-
pons le déterminant partiel considéré par rapport aux 4,4, colonnes
contenant des termes en %, . Nous obtiendrons Cr termes corres- Lis Emi
) PAS LT ET (C'#*' désigne le nombre de combinaisons simples de p lettres a,., dan):
Un des termes T est décomposable en deux facteurs : le premier n’est pas infini pour À = c, il consiste en un déterminant formé avec des termes des a,,, colonnes contenant %,,, multiplié par la puissance nŸ" de la déterminante du noyau K(x,y); à chaque premier facteur ainsi déterminé correspond une somme de termes T dont la
pondants tk qui entrent dazs la somme composante P(
somme des seconds facteurs est un mineur d'ordre < g du système
d'équation (67) où l’on a remplacé H(x,y) par H(x, y) —K(x, 7),
et l’on sait (n° 22) que ce mineur est identiquement nul pour À — c. Donc l’ensemble des termes T est identiquement nul pour À — c. 2° Supposons &,+, — 0. La formule (73) montre que
Ai CT; À) = u(æ) fi (7) a Ua(x) 192 FREE Un, (Æ) Pr (y).
Done, si l’on considère un déterminant partiel tel que & > n5, en développant ce déterminant à l’aide de la règle de Laplace par rapport aux &, colonnes contenant Le on voit qu'il se compose d’une somme
de termes identiquement nuls.
LIN La NT.
Les termes T’ de P( Ur SAN OUT E
nants partiels considérés dans cette seconde hypothèse sont donc identiquement nuls pour À — c.
Li, Tosore, Ty C |» on YV15 Ja» ss Va
aura seulement à considérer les valeurs suivantes des nombres a :
à) correspondant aux détermi-
3° Finalement pour trouver l’expression de P(
dy —= 10; US See la = Nas Æg+1 — 0.
Désignons par D,;(X) la fonction déterminante du noyau unique K (x, y), on obtient alors en vertu de (73)
. | Asa) As) ... A,(&)
Roi Cr ee A TAC) Ap(Zp)
Bi(71) B:(»1) B,(y1)
Bi(Yp) B:(7») Bp(Y»)
A,(æ)A,(x)...A,(x) désignant les p fonctions Af(x) et B,(y)B,(y)...B,(y) désignant les p fonctions BŸ(y).
Les deux déterminants du second membre de cette dernière égalité ne sont pas identiquement nuls, en vertu de l'indépendance, d’une part des p fonctions A;(x), d'autre part des p fonctions Bi(y).
ce) 0
Cette inégalité établit la proposition énoncée au début du n° 25.
Donc
VAN EAN IE DOS “ ( Ji Vas ce V'h
26. Nous pouvons enfin résoudre le problème objet du présent Chapitre.
D'une part on déduit de la résolution des systèmes d'équations intégrales linéaires homogènes de deuxième espèce (n° 48) que les fonctions ©, (æ) qui satisfont au système (66) sont des fonctions linéaires homogènes à coefficients constants des p fonctions
P Les cos) Lin, Lo Lipyy ce. Up c) P;(x)— LEO CO D Cat TION TION DOI > Ÿp (Ë= 1,3, ; , P) My Lips es sa sr ar ets dnlers tee >» Lp P( e) Vis Vase senesnss soso >, Yp
D’autre part les fonctions +, (x) sont des fonctions linéaires et homogènes à coefficients constants des p fonctions linéairement indépendantes A;(x), puisque (n° 20) on obtient tous les groupes principaux par une substitution linéaire à coefficients constants effectuée sur l’un d’entre eux.
Or les p fonctions P;(x) sont linéairement indépendantes; en effet supposons qu'il existe une relation de la forme
mP;(z)+æP;(x)+...+a.P,(x)=0,
Gi, dr... , y étant des constantes non toutes nulles; faisons & — x; dans cette équation et remarquons que P;(x;) =1et P;(x;) = 0 pourt 7, on aura
== 0 pour EL A D
égalités contraires à nos hypothèses.
Nous concluons de tout ceci que les fonctions P;(æ) se déduisent des fonctions A;(x) par une substitution linéaire à coefficients constants, le déterminant de la substitution étant différent de zéro.
Les fonctions A; (x) constituant un groupe principal, les fonctions P;(x) en constituent un second.
Finalement ox aura tous les groupes principaux relatifs au noyau
H(x,y), au nombre fondamental e et à la variable x en effectuant une substitution linéaire à coefficients constants sur les p fonctions P; (x), le déterminant de la substitution étant différent de zéro.
De même on aura tous les groupes principaux relatifs au noyau H(x, y) au nombre fondamental c et à la variable y en effectuant une substitution linéaire à coefficients constants sur les p fonctions
By Boy corse sus esse € 1] 1» dy ce pute CRIS c'es es sie à P Ê Yi s Fe) .….. VE E V, Vi+1 RER ES Ÿp p PAT ER ES CEE TA MS PRET MNT Ver aies out NÉ
le déterminant de la substitution étant different de zéro.
Qu(Yr)=
