SUR LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES DE TROISIÈME ESPÈCE

27. Nous avons vu (n° 16) que l'étude des systèmes d'équations intégrales linéaires de troisième espèce

À | AS KZ, S) : Z e (75) quiz) = Jar) + F4 1 he io) as (&m—1,2,...,m), ne

où À (s)s’annule pour des valeurs isolées de s en nombre fini comprises entre o et 1, est corrélative de celle de l'équation intégrale linéaire de troisième espèce

(76) o(a) = te) + f H(æ,s)o(s) ds,

les fonctions f(x), H(x,s) étant définies par les relations (39).

En conséquence, nous nous proposons de reprendre ici, en les complétant sur certains points, quelques théorèmes déjà connus concernant l'équation intégrale linéaire unique de troisième espèce. Nous appliquerons ensuite ces théorèmes au système (73) en utilisant les résultats du troisième Chapitre.

28. Nous étudierons tout d’abord ce que devient la solution de

MINEURS DE LA FONCTION DÉTERMINANTE DE FREDHOLM. 45 l'équation

(77) p(xz) = f(x) +2 f Ro) o(s) ds

quand & est compris entreo et 1.

Nous nous placerons au point de vue de M. E. Picard (‘). Nous supprimerons du champ d'intégration (o — 1) l'intervalle a — eaa+n (e et n étant deux quantités positives aussi petites qu’on veut et non nulles); nous désignerons par E le nouveau champ ainsi défini; l’équauon de seconde espèce

K LS (78) Ce) = f(e)+ à f ET e(s) ds E

admettra en général une solution unique. Nous chercherons ensuite s’il existe une ou plusieurs limites de la solution en question quand € et n tendent vers zéro.

Nous considérerons successivement et uniquement les cas particuliers suivants :

Premier cas. — p<1et f(x), K(x,y) fonctions bornées et intégrables dans le domaine o£æ£1,0£y£1.

Deuxième cas. — p quelconque et f(x), K(x,y) fonctions holomorphes de x et y dans le domaine complexe à contour simple (S) du plan de ces variables contenant le segment réel (0,1).

29. Premier cas. — p <1et f(x), K(x, y) bornés et intégrables

dans le domaine o£æx£1,0£y£1.

Soit|K(x,y)|£M dans le domaine o£x£1,0£y=£1.

Considérons la série définie par l'égalité (5) et relative à l’équation (78). Désignons-la par D (X, €, n). Son terme général de rang 5: T;(e,n) a un module moindre que

1 ds TD RE

a —£ ds Î Tæ

d’après le théorème de M. Hadamard sur la valeur absolue d’un déter-

10 Mo w° |

& | fe

(*) E. Prcarp, Annales de l’École Normale, 1911. Mémoire déjà cité,

minant et d’après la formule élémentaire (*) b b “ (2) (x) dx < Af (x) dx,

où a < b, A limite supérieure de f(x) et # (x) fonction positive entre a et b.

Or le terme entre accolades est inférieur à