CES
Vas a Ven, on aura
0 0 pour toutes valeurs de &,, n, satisfaisant aux inégalités on ee €, nn < 1.
Comme il résulte de la convergence uniforme de la série D (X,&,n) qu’on peut choisir p tel que simultanément
DA, &,n)— Tale 7) | P
D(A,€;, n)—Ù To (Es n)|£ Lo
on en conclura que IDE; n)=D(X, 17) |Eu
Cette inégalité met en évidence que la suite D(X,e,n) tend vers
une limite finie et déterminée quand € et n tendent vers zéro. CAC NO C1 dinar 0 gx ordre de D(X,e,n) tend vers une limite finie et déterminée quand e et n tendent vers zéro.
Da là la proposition suivante :
La méthode de Fredholm pour la résolution de l'équation intégrale linéaire de seconde espèce s'applique sans modification à la résolution des équations de troisième espèce du type (77) quand PET EL lorsqu'on entend par résoudre (77) chercher la limite de la solution de (78) pour € et n tendant vers zéro.
On établirait de même que D (
181) mineur du
30. Nous rattacherons à ce cas un important théorème de Henri Poincaré (‘), au sujet de l'équation de Fredholm de seconde espèce à limites infinies.
(:) H. Poincaré, Acta mathematica, t. XXXIIL. Mémoire déjà cité.
Considérons l’équation (79) LA [HG OO dt= (y) A où [H(y, 4) < ME, M étant une quantité finie, y et { pouvant varier de 1 à l’æ, g étant un nombre plus grand que 1.
H. Poincaré a montré qu'avec ces hypothèses l’équation (79) est résoluble par la méthode de Fredholm.
Pour établir à nouveau ce théorème, posons
(Piper NE Ch ) SE
y F =) Ja=s(s) ED EUC ns
L'équation (79) peut s’écrire
(a) f D gs) ds = (x)
et de plus |K(x,s)| <M et 2 — qg <1.
L’équation (79) est donc ramenée à une équation du type étudié dans le numéro précédent et le théorème de H. Poincaré résulte immédiatement de cette remarque.
51. Deuxième cas. — p quelconque; f(x) et K(x,y) fonctions holomorphes de x et y dans (S).
Désignons encore par D(X,:,n) la fonction déterminante de CRE Hit pas COUNR La solution de (78) est en général donnée par la formule
æ 2 fo (* ROrON
l'équation (78) et par D (
PS ï) son mineur d'ordre q.
Nous allons chercher ce que devient le second terme de cette somme quand € et n tendent vers zéro.
52. Nous ferons la remarque préliminaire suivante sur la fonc- : TR DEN Le tion K( PERRET Se Vas Pos se.sr Vo Si l’on fait x,= x; dans cette fonction, elle devient identiquement nulle, car le déterminant qui la définit a deux lignes identiques.
Il en résulte que K{
Lis Los co TT
) est divcisible par le déterminant Vis Va ce. Yo
de Vandermonde :
lei ee HO Ur (D RE de ä " ) MOTS MUR Le Gi lequel est identique à
1 (Zi —"a) (x — a) ... (rx, — a)!
PEUT QUES AS CR NRA TO EN PR ME M ire
quel que soit a.
Il suffit de développer ce dernier déterminant pour en déduire
Mis Ts re Æ u É que K ( NE 2) peut être mis sous la forme Masai: JT
à (%, —a)(z;, — a)... (ri, — a) a (ds, Ds, ee, Los Vas Von FE)
(2) désignant une permutation simple £,, &,, t,, ..., 15, des & nom- Me ne élit ie: us Visas Ye NU oc holomorphe des 25 variables x;, y;.
Il en résulte que si & 2 g et g entier, on peut écrire
(81) ss SA Vas Va cou (a — a)(ts—a)...(Z5 —4a)7 D At Los 9) lw; RATES .. +: Ya) À ne (Zn — a)1(æi, — a TL, — aÿT? ARTE CE) .
A4; étant une fonction holomorphe des 25 variables x;, y;.
