FA
MINEURS DE LA FONCTION DÉTERMINANTE DE FREDHOLM,. 55 nant à 7,, 4, ..., /, les valeurs suivantes :
LOI +p—g, ë, NC en 2, — d; 2 + HT a
lit 2HP—g;..,, 4 + P—Q:
Les fonctions a;(x,À,e,n), ba(À,e, n) sont entières en. À et tendent respectivement vers les fonctions entières en À a; (x, À,0,0), b(X, 0,0) quand £ et n tendent vers zéro.
Nous désignerons spécialement par A(x,À,e,n), B(X,e,n) celles des fonctions &;,(#, À, €, n), bah, €, n) qui correspondent au groupement (7),
h=1I+p—g, É=2+p—4, = 3 + pp — 4, ssh lg = Q ÉD
et par A,(x,h,e,n), B,(A.e,n) celles qui correspondent au groupement (2),
É— 0, b—=2+p — 4; l3—=3+p—4, es ty = q+pP—g:. Quand e et n tendent vers zéro R(x, À, e, n) se présente en général
co ë : € RE 5 :
sous la forme —: Mais, si log= tend vers un nombre C n1 nul, n1 infini,
le numérateur et le dénominateur de cette fraction croissent en
A e I ; général tous deux, comme la même puissance de et l’on a alors:
1° D'une part, si p non entier, AT, À 010):
Him R(x, À, ce: 1) Æ — B(s0o, 0). ?
2° D'autre part, si p entier égal à g,
A,(æ,À,0,0)+CA(x,À,0.0)
lim R(æ, À,€, n) = B,(À,0,0) + OB(À,0,0)
En rapprochant ces résultats du cas de,p< 1 (n°29), :onpeus énoncer le théorème suivant :
La solution 5(x,2,n) [formule (80)] de l'équation (58) tend vers une limite finie quand e tend vers zéro et la quantité log= vers une
limite ni nulle, ni infinie C. Cette solution dépend homographiquement du paramètre, GC
quand p est entier. are. à )
D1D21, cette conclusion suppose K(x, y) holomorphe pour x et y dans le domaine (S). Si p 1, elle suppose uniquement cette fonction bornée et intégrable dans (S).
Remarquons enfin que pour p — 1 cette proposition n'est autre que
le théorème bien connu de M. E. Picard (").
36. Nous allons maintenant étudier dans le domaine complexe une classe particulière d'équations intégrales de deuxième espèce ayant des rapports importants avec cerlaines équations du type (77) où p entier, et cela en nous plaçant à un point de vue auquel s’est déjà placé M. Lalesco (?) quand ee HS:
Soient 2 (s) et K(3, 1) des fonctions holomorphes en 3 et { dans le domaine (S) du plan de ces variables et soit p un entier. La classe en question à pour type l'équation
(s—a}r[9(3)—g(3)] = | K(z,4)80(4) de, / A
où À désigne un contour d’extrémités fixes A, B du plan complexe de la variable { tout entier situé dans le domaine S du plan de cette variable et ne passant pas par le point {= a du domaine S, mais pouvant entourer ce point 7, fois dans le sens positif et », fois dans le sens négatif.
En posant
(3—a})r0(3) —=o(s), on peut écrire l’équation en question
(84) a tente #2) +2 f ele at.
Pour À donné la fonction (z)esten général définie dans le domaine (S) du plan de la variable 3 par l'égalité
(é— a)? $(0) dt,
4 , Q rx CP ’1caRD, Annales de l'Ecole Normale, 1911. Mémoire déjà cité. ALESCO, Zntroduction à la théorie des équations intégrales, p. 120.
ie:
es Mg €
es K Si 32) Æq 3 S1 59» > ST — À)9 D LE IR Rate CS = © fas dune. [da TT a 1 y A
y a)P...(— a)P(s— a)P...(sa— a)?
La méthode de résolution de l'équation de Fredholm est, en effet, applicable à l'équation (85), à condition de substituer aux intégrales
rectilignes les intégrales curvilignes f. ;
Nous allons chercher comment varie la fonction DA(A) et ses mineurs et par suite la fonction 2(z) quand A varie, A et B restant fixes.
Partageons pour cela la ligne À en deux parties, l’une comprenant toutes les boucles de À entourant le point {= a, nous l’appellerons C; l’autre constituée par une ligne L joignant A et B sans entourer le point a.
L'égalité (86) nous permet d’écrire
PE TD à 0 &—0 à
DO (— À)T £ Z am) ASE «fau fau fa [dre
x( es Sa) li, lo, #4 S33 S2» +... Su Lis lo, +. +, lp
L RO ue ae (= a),
Effectuons les intégrations suivant la ligne d'intégration Cen appli-
quant le théorème des résidus et en posant 7 = n, — n, B=o à 0 TD — 40 à vw (87) Da()= Ÿ (—2}5 rer J du J de. «fs TD =0 x B=T
(£i — Ma op AE K( en SLT AS S19 -.) Sas Lys 18,
P—1 jeP—1 p—1 dar" 09 1. 1.05 =:
Étudions le terme général de cette nouvelle série et pour cela for-
mons le Tableau
opt (p — 1)! dr 1 (p —1)! dpt dP1 dt + LE (Dal dx? dy; ” al (p—3)! 0xP dy} + 8 dy£"! dP—1 Con)! dr tp) dpt dpt (T) {9x7 1!(p —2)l 0x? Op 21(p — 3)! 9x? Or? e dyr TT dP=1 (pz-a)l dP—1 (p—1)l or—t dpt ox” 11(p—2)l 9aë toys 21(P—3)l ap oyà dre
constitué par pa symboles de dérivations précédés d’un coefficient numérique. Prenons un symbole et un seul. dans chaque ligne et faisons le produit +; des « termes ainsi choisis comme si les 9 des numérateurs n'étaient pas des symboles, mais des quantités. Soient S la somme d’un certain nombre de produits tr; et g une fonction des 24 variables x,, ..., æ4, V1, .…, y Nous conviendrons de représenter par Sg l'opération qui consiste : 1° à effectuer successivement sur £g la dérivation et la multiplication par un facteur numérique que représente chaque symbole de la somme S; 2° à ajouter ensuite tous les résultats obtenus. Il y a p* produits r; et parmi eux
produits x! qui ne contiennent pas deux facteurs d’une même colonne
du Tableau T.
Posons p® (] PEN p—Vr.
AL Tj; x pas hi 1 {|
On pourra écrire
d%iP-1) Fo. se. Sa) li, La, SIRONS ss)
(88) San Sas «ces Sas Os Das + +, 08
dsPT gsP- 1... set RTS Es So Ua MUR TS CRC =|aëx ( ve Es | Vis Vos. Fa; EL TER dB, ti=Y=S
Remarquons que si l’on prend la dérivée du déterminant
K a LS Us + JA Pa Fe
h fois par rapport à æ;, puis li fois par rapport à x; et si l’on fait %;—=%; on obtient un déterminant ayant deux lignes identiques,
donc d2K NE Tone 44) POV Ver (89) ET ? — 0.
0x! 0x ea De même d'K Ge: Cr nee ui fs Voutaen (90) SARA Va ce 0yi dy; fi=Y}
Si maintenant on tient compte que 2 = 0 pour & >p, car alors 0 — 0, l'égalité (87) peut s’écrire, en vertu de (88), (89) et (90),
