DA()= DL(N + Ÿ ES
T1 La, es Ta |.
x dk Lorna (ya a)” D ( Vi5Y2s Va
LS
On démontrerait de même que
à 1 [—2nriàl® ET) |
Lis Las lys Jo Ya es Ya
De ces deux dernières égalités et des formules (85) et (86) résulte le théorème suivant (*) :
La solution (85) de l'équation (84) dans le domaine complexe (S) du plan 3 est une fonclion polymorphe, en général quotient de deux polynomes de degré p par rapport à un paramètre entier arbitraire n.
(!) Ce théorème a été inséré aux Comptes rendus, 1. 154, séance du 25 mars
6o CH. PLATRIER.
Ce théorème n’est au fond qu'une nouvelle conséquence de la pro-
Li De le : RS ; LA ; di qui à fait l'objet du n° 392.
ET Ya ..., Ya;
Remarquons qu’il s'applique également à l'équation
priété de la fonction K (
(z—a)P[0(z)—g(:)] œil K(z:,4)0(4t) dt.
VA
qui a même résolvante que l'équation (84). En faisant p — 1 dans cette dernière équation, on retrouve alors le théorème énoncé par
M. Lalesco (*).
97. La conclusion du n° 29 concernant les noyaux de la Kr, y) (Yes
noyaux de la forme
forme où p<iet|K(x,y|<M s'étendra facilement aux K(æ, y») = ap = entreoetretp,, P:, ..., px également inférieurs à 1. Si >), Dx Sont quelconques et K (x, y) holomorphe en # et y 42 29 1 q 14 .
dans le domaine (S) contenant le segment réel (0, 1), on étendra éga- K(æ, y) à GPS a PR UP AR ES | En effet, soient alors g,, ga, ..…., gx les entiers immédiatement supé-
rieurs aux nombres respectfs p,, p,, ..., p,. Nous avons vu (n° 32) quek (° Los +...) To SE Ja COCO a 4 monde en &,, 3, .…., ts lequel est à un facteur constant près égal à Pia) Palais) ... Pa(2) PiGai) 4P.(m)2 5. Clean)
Sue eus e TU EU TT ON TARN Nu
Si Gi, 3, ..., Ax SONL COMPTIS
lement aux noyaux les conclusions du n° 55.
) était divisible par le déterminant de Vander-
P,(x), .…, P£(x) étant & polynomes en x linéairement indépendants que nous choisirons ainsi : les g,+ q, +...+ gx 0 polynomes
Qf(x) —— (æ nie an. Le .(æ = ia )h=(æ 1 a;)/7! ( 7 jy ) lie .. (® be à ax )7à
(£ variant de 1 à k et 7 de 1 à g;)
(‘) T. Laursco, /ntroduction de la théorie des équations intégrales (Ouvrage déjà cité).
et les & — ! polynomes
R/(t)=(x—a)h...(x — ax) x!
({ variant de 1 à m — 6).
Cette remarque faite, il suffira de répéter en quelque sorte les raisonnements des n% 351 à 55 inclusivement pour établir la proposition suivante :
Soit E le champ (O à Gi — 61, &i + Mi à A3 — Er, Ar + No À A3 — Es, ..., ap + Mg à 1) et soit 9 (x, E) la solution de l'équation
rs PS ds Pa. , .(S — ax )Pk
p(æ, E)= f(x) +à [— o(s, E) ds, VE LV A
quand À n’est pas nombre fondamental.
La fonction 9(x, E) tend en général vers une limite fonction » 2 ° » € méromorphe de À quand le champ E et les quantités log [l
Ez = > 1 0 2 4] f si log HAE log se tendent 1 especlivement ver Se champ (o — 1)el vers
les constantes finies non nulles C,, CG, .…., Cy.
La limite de 9(x, E) est homographique par rapport à ceux des paramètres C,, C,, .…., Cx dont les indices sont égaux à ceux des CXpOsAnNlS Pi, Pas +, pr entiers; elle est indépendante des autres.
Si pZr, cette proposition suppose K(x,y) holomorphe pour x et y dans le domaine (S) ; si p < 1, elle suppose uniquement cette fonction bornée et intégrable dans (S).
38. SipP,, Ps... px Sont des entiers et @,, &,, ..…, a, des points réels ou non du domaine (S ), si la fonction f (z) admet les points a,, a,,...,ax comme zéros d'ordres respectifs °p;, Ps, -.., pretsiles points A et B extrémités d’une ligne A toute entière dans (S) et ne passant pas par di ds -.., ax sont fixes, on généralisera d’autre part la conclusion du n° 56 en montrant par des raisonnements calqués sur ceux de ce numéro que la solution de l'équation intégrale linéaire de deuxième
espèce K(z,t)
ef) + fan eds
où À n'est pas nombre fondamental, est dans (S) une fonction polymorphe dépendant de k nombres entiers n,, n,, .…, n,3; de plus,
celte solution considérée comme fonction de n; est en général le quotient de deux polynomes de degré p;.
59. Élargissons maintenant les conditions restrictives imposées au domaine (S) et aux fonctions K(x, y) et f(x).
Soient » contours simples X; (2 variant de 1 à 7) qui limitent des domaines S; du plan complexe et qui ne se coupent pas.
Soient Aset L; deux lignes d’extrémités A; et B;, et {; un segment d’axe réel tout entier situés dans le domaine S;.
Soient enfin &,, &;, ..…, @x des points situës dans les domaines S; et par où ne passent point les lignes Ai et L;. Dans ce qui va suivre nous pourrons, sans nuire à la généralité des raisonnements, supposer tou- Jours 4), 4... a: réels.
Considérons deux fonctions K’(z, {) et f’(z) que nous supposerons d’une part holomorphes en 3 et { pour toutes les valeurs de 3 et { intérieures au domaine S =S, + S, +... + 5, du plan de ces variables et d'autre part ne pouvant présenter que des discontinuités finies quand z ou é traversent £,, X,, ..., 2.
Tous les raisonnements des n° 28 à 55 inclus s'appliquent si l’on substitue à K(x, y}, f(y) respectivement K'(x, y) et f'(y) et au champ d'intégration (o — 1) le champ ,+1,+...+ 714, Tous ceux du n° 56 s'appliquent également si l’on substitue à K(3, t), f(4) respectivement K'(z,4) et f'(t), f'(t) admettant les points di, ds... ax Comme Zéros d'ordres respectifs p,, Pa, .., px et si l'on pos A=A,;+A,+...+AretL=L+L,+..+L,.
En reprenant lous ces raisonnements, on voit qu'ils subsistent encore quand les points A;, B; ou les extrémités de /; sont sur le contour Ë; et quand deux contours consécutifs Z;, Y;,, ont une partie commune.
40. Ces remarques faites, nous allons revenir à l'étude des SyS-
tèmes d'équations intégrales linéaires (75) et voir comment se généralisent les propositions que nous avons obtenues dans ce Chapitre concernant l’équation unique.
Soit (S,) un domaine complexe limité par un contour simple E, et tout entier compris entre les deux parallèles à l’axe imaginaire qui passent par les points réels o et 1. Nous ne nuirons pas à la généralité des raisonnements qui vont suivre en supposant que Ÿ, passe par les pointsoetr.
Nous désignerons par (S;) le domaine obtenu en faisant subir au domaine (S,) dans la direction de l’axe réel positif une translation de longueur ? — 1 et nous désignerons respectivement par A,, A; le point et la ligne correspondant au point A, et à la ligne À, après la translation en question.
Soient m° noyaux K,,(x,y) (& et v variant de 1 à m)et f,(x)m fonctions holomorphes pour toutes valeurs de x et y comprises à l'intérieur du domaine (S,) et sur son contour.
Soit enfin A(y)—=(y—a,)}1(y—a,)":...(y— ax)"i, @,,@,..., ax étant des points réels intérieurs à (S,).
Les relations REED ET EVE) HMS A(yY—Y+1)
f(&)= far — ph +1),
valables pour toutes valeurs de æ intérieures à S, et pour toutes valeurs de y intérieures à S,, permettent (n° 16) :
1° De substituer à la résolution du système (55) pour o£x£1 la résolution de l’équation (36) pour o£x=£m, équation où la fonction
H(x,y) devient infinie comme base I fs quandy=a;+Y—1; 2° De substituer à la résolution, pour z dans S,, du système
V= M K , 2.4 (= fe) +2 f gt di (HT 20-01)
(où À, désigne une ligne de (S,) d’extrémités A,B,, ne passant pas par &,, 3, .…, @x et f,(z) une fonction qui admet respectivement p,, Pas «., pr fois les zéros a,, a, ..., a,) la résolution pour z dans
= SSP
(y CH. PLATRIER.
de l'équation
(91) o( = J6)+2 [AC 0 e(0 de
ta
où H(3,4) admet en général p; fois les m» pôles 4 — a;+ v — 1, où la fonction f(z) admet p; fois les points a;+v—1 pour zéros et où A=A,+...+A, se compose de tronçons A; d'extrémités fixes A;, B; ne passant pas par les pôles de H(3, #).
Les remarques des paragraphes 58 et 59 appliquées aux équations (76) et (y1) nous permettent alors dénoncer les théorèmes sui-
vanits :
Taéorème 1. — Soit E le champ (o à a, —e,, a, + n, à a; — &, Ant Mo À y — Eys ..,) x + nr à 1) et soient o,(x, E), o,(x, E), ..…, Pm(x, E) la solution du système d'équations
Kyuv (æ,s)
TT S:f ts Fi ge (rs E) = fe f (s — ai)". .(S — ay )Px gv(s, | ) ds V=
UE EN RTE Là
quand À n’est pas nombre fondamental.
Les m fonctions o,(x,E), …, 0,(x, E) tendent en général vers des limites finies fonctions méromorphes de X quand le champ E et
D € € CYA .
les quantités log log —, +.., log = tendent respectivement vers le [l 2 k
champ (o, 1) et vers les constantes finies non nulles C,, C,, .…, Cr.
Les limites de 9,(x,E), o,(x, E), ..., o,(x, E) sont les quotients de deux polynomes de degré m par rapport à ceux des paramètres C,, GC, .…, Cx dont les indices sont égaux à ceux des exposants Pis Pas. px entiers ; elle est indépendante des autres.
Si un des nombres p,, P:, .…, pxestZ=1, celte proposition suppose que les fonctions K,,(+, y) sont holomorphes pour # et y dans le domaine (S,); si tous ces nombres sont 71, elle suppose uniquement ces fonctions bornées et intégrables dans (S,).
Tuiorème Il. — Le système d'équations intégrales de seconde
espèce V= mm LÉRACENA Eu(3z) —= z DE AREA Co y ( ) Ju PA: à Radio CN ee PNR v=1 +21 (= 1:92. m1) où
Ju(s) —=(5s— ai)(53— a5)P2..,(3 —uz)Px gu(s),
Pis Pas +, px entiers el À non fondamental a pour solution dans (S,) m fonctions polymorphes »,(z), 2,(3),.…., Omn(z). Ces m fonctions dépendent de k nombres entiers n,, n,,..., ny, et, considérées comme fonctions de ni, elles sont en général le quotient de deux polynomes de degré mpi.
