Hodographe de la résistance. Indice p. — Par l’origine

” menons un vecteur OA équipollent au vecteur R;: le lieu de A est l’hodographe de la résistance. Cette courbe jouera un rôle important dans la théorie des mouvements résistants.

Nous rapporterons toujours les coordonnées polaires de À à l'axe Ox changé de sens : elles seront donc R et +. Les coordonnées cartésiennes sont (axes Ox, Oy) :

X——Recosz, Y——Rsinr.

Coordonnées de À pour une trajectoire y = y (x). — La seconde équation (7) donne immédiatement :

(10) À nr at ne

Indice p. — L'élément différentiel du premier ordre de la courbe

hodographe qui présentera le plus d'intérêt dans la suite de cette

étude est l'indice p défini de la façon suivante : la tangente à l’ho-

dographe au point A rencontre Oy en P. Nous appellerons indice p le nombre :

L’équation polaire classique de la tangente en A est :

ANTesE LAN NCA : Ro e sin (6 — +) ;

d \R p s'obtient en faisant 6 — :

1 p 1 FRS

11 es 1 ni = Las T*

(11) GP : ER || ces ; ou, en utilisant la troisième équation (5) :

12 RARE Lu Lt

(12) p F SIN T ne

équation qui peut s’écrire sous la forme équivalente :

dR R — = — (— pR — g sin +).

(3) dt 2

Lore 3 dR L'utilisation de p à la place de A donne des expressions plus

simples ; par exemple, la valeur de y" (x) donnée par l'équation (6)', devient :

1V ERA 5) ga) £ 06 cosir

Expression de p pour une trajectoire y — y (x). — Soient X et Y les coordonnées de A ; on a :

ue dY OP=Y—X —— HN

on en déduit, en utilisant les équations (10) :

(14) eee

10. Application à la trajectoire de Piton-Bressant. — La trajectoire de Piton-Bressant a pour équation y — y(x), y(x) étant un polynôme du troisième degré ; par suite, y"(x) est identiquement nul, p est constamment égal à 4. La tangente à l’hodo-

graphe de la résistance passe par le point fixe P3 (x UN ct /

l’hodographe est donc une droite passant par ce point. Réciproquement on voit facilement que toute droite passant par P, est l’hodographe d’une infinité de trajectoires de Piton-Bressant.