RENE
Le coefficient a — A' — À est égal à RJ (0) — R; (0) ; par suite, d’après l'équation générale (13) on a :
ta
Dans le cas du mouvement surosculateur, a est nul ; il en est de même de « (n° 36). Dans le cas du mouvement quasi-surosculateur, a et « ne sont pas nuls, mais doivent être considérés comme des
infiniment petits du même ordre que T.
ne Equations du mouvement relatif. — Soient T, T;, Fe les accé-
lérations absolues, d'entraînement et de Coriolis. Les composantes de ces vecteurs suivant les axes mobiles sont :
dr — R, cos e—gsinr, — R,—zgsinr, | 2o— ES Es Es r; F3 1e dE — R, sine —gcos7, ——£ COST, ne
LA . . . ee LS es = . L'égalité vectorielle classique TR =Ti—Tx;—T, fournit les
équations différentielles du mouvement relatif :
d’é dn rer cos € + R, —20 Te d?n dË FFE si di:
D'autre part, les développements en série de R, coseet R, sine sont
R, cos e—(R,+ At-+B42-+...) cos (ut#-+ Bit...) R+At+BE+ CIS...
BR, sin e—(R,+ At+B +...) sin(xt5+pit+...)=0 Rot8+(BRot+ a A) +... ;
(jusqu'aux termes en {5 le développement de R, cose coïncide avec celui de R,). Les équations du mouvement relatif deviennent
donc :
ME tort +. — Uoo+qt+re +.) À, (24) “ dE ee = a RH (BR Ha A+... + Quoi rit.)
Intégration. — À l’origine, les deux mobiles ont même vitesse et
ET
même accélération : la vitesse et l’accélération relatives seront
d d nulles pour { = 0 ; les développements de et ee seront done de la forme :
dE LIT ELA MP EL di dn — L'i + M" L ..; di /
en portant dans les équations (24) et en identifiant, on trouve :
no en 14 + AA SR RE 15 +
4 30 dn dus - ah Los L3og BRotaA 3cw,— 2aw + 4gb + 6ra ae — mme f 5 er de CE 45 24 TARA 12 +( es 30 23
En intégrant, on obtiendra E et n.
41. Expressions de Ax, Ay, Ar, Av. — Supposons connus les coefficients des développements précédents. Désignons par x, + Ax, Yo + AY, Te + Ar, v, + Av les éléments du mouvement réel à l'instant T. Calculons les expressions de Ax, Ay, Ar, Av.
19 Expression de Ax, Ay. — Les coordonnées E(T) et n(T) de M à l'instant T sont :
aTs bT4 C awg\ T5 T)=—— + — ee E (D) + + (à JE + aw 3aRo + 2bw, + 3ap TL 2, TA UT ONE ; n(T) = D + co HOSEEUS
les expressions de Ax et Ay s’en déduiront par les formules : Ax = E(T) cost, — n (T) sine, Ay = E(T) sinr + n(T) cos Te.
29 Expression de Ar. — La vitesse de M est la somme de sa vitesse relative et de sa vitesse d’entrainement qui ont pour composantes par rapport aux axes mobiles :
SCT) mT) et ve +wn(T), —w ET par suite Ar, angle de cette vitesse avec ME est égal à :
Ar—= Arctg RE .
ET )+v9 +wn(T) é
ae RE
les premiers termes du développement sont :
awo 34 Ro + Boo + aq É Av == TS Fe RS tp e. Sn 12% RE
résultat que l’on aurait pu obtenir en développant par la formule de Mac-Laurin : & = 7, — vo.
30 Expression de Av. — La vitesse absolue de M a pour grandeur :
ve + wn(T) + E(T).
cos AT ©
Vs + AV —
on en tire les premiers termes du développement de Av :
ss a b c aw? d 34 Ro +2bow, +6a no) Ae= jRe 3 LP ou ne }ré+ (£ — %o a 42. Deuxième approximation. — Pour appliquer la théorie du mouvement relatif au calcul d’un arc de trajectoire, il suffirait de connaître les divers coefficients a, b, €... ; x, 8... ; q, r,.… Théo- : riquement, il n’est pas impossible de les calculer jusqu’à un rang 5 quelconque : il suffirait de connaître les dérivées successives de la k fonction de résistance et des fonctions athmosphériques, mais la
complication du calcul, dès qu’interviennent les dérivées secondes de ces fonctions lui ôtent tout intérêt. Nous avons donné plus haut la valeur de a. Le calcul de b nécessiterait la connaissance des dérivées secondes de R ({) dans les deux mouvements, calcul trop compliqué pour être utilisé dans une application numérique. Nous
KT
allons montrer que la consultation des tables de la fonction de
résistance et des fonctions athmosphériques pour les valeurs de v et y correspondant à l'extrémité de l’arc permet de se passer de la Ë. connaissance exacte de b.
Posons y{t) — R,(1) — R,(t), et supposons que lon connaisse la valeur T de y(£) à l'instant T :
L = y(0) = aT +67? + cT*.…;
de cette équation, on tire :
T—aT
à TE
et, en portant cette valeur de b dans (25), il vient : : RTE P ES Nord à gp 2 + 4% pa MAT an 3 Sy he he ee
De ne
On voit que la connaissance de T', aussi bien que celle de b, permet de faire reculer l'erreur sur v jusqu’à l’ordre 4.
Calcul de T et v. — On calculera # et T par approximations successives. Partant d’une première valeur approchée de v :
T2 ne Fr
(ou simplement v, = #, dans le cas d’un mouvement fictif surosculateur ou quasi-surosculateur), on calculera à laide de la table de résistance la valeur approchée R, de R, (T) correspondant à cette vitesse et à l'altitude du projectile (altitude suffisamment connue par le mouvement fictif). L'erreur commise sera d’ordre 3 comme celle entachant e.
De la valeur approchée de R, (T) on déduit une valeur approchée T, de F, et par suite une valeur plus précise de » :
nc a T? reel
l'erreur sera d’ordre 4, puisque F, est multiplié par T. Avec cette nouvelle valeur de on pourra améliorer l’approximation sur R,(T) et sur T, mais l'erreur sur v restera d'ordre 4 à cause des termes négligés. Quel que soit le mouvement fictif utilisé, l'erreur sur # sera d'ordre 4, mais l'emploi du mouvement surosculateur ou d’un mouvement quasi-Surosculateur sera plus intéressant, car, la correction sur # étant moindre, le nombre d’approximations successives sera plus faible.
Corrections sur +, x, y. — L'erreur d’ordre 4 sur + causera, sur les arcs suivants, une erreur de même ordre sur les valeurs ultérieures de 7, +, y. Il est donc peu utile, dans le calcul d’un arc, de pousser Papproximation sur +, &, y plus loin que l’ordre 4.
Dans le cas d’un mouvement fictif simplement osculateur, on pourra se contenter d'effectuer sur + la correction :
& COS To
