MOUVEMENT CONIQUE RÉSISTANT
L’étude du mouvement d’un point qui déerirait une conique sous l’action de la pesanteur et d’une résistance tangentielle a été abordée par le Commandant BATAILLER qui a eu surtout en vue de chercher la relation entre R et v résultant de cette hypothèse.
Nous nous proposons de compléter son travail en cherchant l’hodographe de la résistance, et en cherchant aussi les éléments de la conique osculatrice à une trajectoire en un point.
45. Possibilité d’un mouvement conique résistant. — Cherchons quels sont les arcs d’une conique qui peuvent être trajectoires d’un mouvement résistant, le mobile se déplaçant dans le sens des x croissants. Nous savons qu'il faut et qu’il suffit que y” et y” soient négatifs.
Soit la conique (passant par l’origine) :
y=ax—b+eb (1 +2cx dr)? 0e +1:
les deux valeurs de e correspondent aux deux moitiés de la conique situées au-dessous et au-dessus de la droite (D) : y = ax — b, diamètre des cordes verticales.
Nature de la conique. — Un calcul élémentaire montre que :
a) Si d<0, la conique est une ellipse.
b) Si c?—d<0, la conique est une hyperbole n’admettant pas de tangentes verticales ; nous l’appellerons kyperbole (H.).
c) Sid>0, c?—d > 0, la conique est une hyperbole coupée en deux points réels à tangentes verticales par le diamètre (D). Nous l’appellerons hyperbole (H,). |
Nous ne considérerons pas le cas déjà étudié où la conique est une parabole (d — 0).
Re Calculons les 3 premières dérivées de y(x). On a : y = a+eb(c + dx) (1 +2 cx + dx?) ?, y! —=eb(d—c?) (1 +2 ex + dat) ?,
no
y" en. b(d— ec?) (ce + dæ) (1 + 2cx + dx?)
Pre d1- F1G. 11 a.
Les conditions y! < 0, y’! < 0 donnent :
(27) eb(d— ©) <0, c+dr< 0.
Examinons les différentes coniques.
F1G. 12. Fic. 12 a.
a) Ellipse. d<0, d — c? < 0. Les conditions (27) deviennent : Lo 7 €b >; or, e J- est l’abscisse du centre : l’arc qui convient est l’are AMB
au-dessus de (D) et à droite de la verticale du centre (fig. 11).
Ten b) Hyperbole (H,). d — c > 0. Les conditions (27) deviennent :
rs ——, e b<0;
l'arc convenant est l’arc AMB, au-dessous de (D) et à gauche de la verticale du centre (fig. 12).
c) Hyperbole (H,). d> 0, d— c? < 0. On doit avoir : ZT < — . ceb>o;
l’are convenant est l’arc AMB, situé au-dessus de (D) et à gauche de la verticale du centre (fig. 13).
Ines LES Fic. 13 a.
46. Hodographe de la résistance. — En appliquant les formules (10) donnant les coordonnées X et Y d’un point de l’hodographe, on trouve, après réduction :
3eg (c + dx) (1 RER
ee 2 b(d — c?) vx #8 (C+dx) À 2 d—c?
On peut éliminer facilement x entre ces deux équations : élevons la première au carré, en remarquant que d (1+20cx + da?) = (ce + dx}? + d—ec?, il vient :
pag xa — 28 (C+ dx), 9e? (c+ dx}, 4 (d— ce)? 4 d—ec? ?
