ETC

pour toute fonction surharmonique f continue et bornée. Pour passer au cas général, nous nous appuierons sur le lemme suivant :

Lemme. — Toute fonction surharmonique f positive sur S est la

(0) H. Carran [1], p. 80. Si foua ue \')du — 0, quelque soit a, pour À et \

assez grands, U# est harmonique, donc 1 — 0.

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limite d’une suile croissante de fonctions surharmoniques continues et bornées.

Supposons d’abord que f est un potentiel de Green U°. Pour

1 > o fixé, nous poserons f,(p) — | f(g)dér. (a) Nous avons encore AD) = JU )de, (9) = [02 (g)de(g) = J gx(p. a)de(g). en posant 9,(p, q) —inf|g(p, q), x]. On en déduit que /, est surhar-

monique; en effet, pour tout aeS et tout nombre / > 0,

J. SP) (P)— 1 fl gp; 9)du(q)dea (P)—= Î [ Î CP; 4)dea Xp) Jdu(g) < [ya Ddu(g) = (0).

D'autre part, la continuité en p de g,(p,q) est uniforme par rapport à geS. En effet, si p—p,, g(p, q), considérée comme fonction de q, tend vers g(p,, q) uniformément sur tout compact de S—{p,}, d’après le théorème de Harnack. Si C est le bord d’un

‘voisinage compact de p,, contenu dans D,,,,:., on aura

1g(P, g)— gps ge pour geC, dès que p appartiendra à un voisinage V. de p,;, mais alors |g,(p, q) — g,(p,, g)l est << e sur toute la surface. Il en résulte que f, est continu, car soit un point a voisin de p, et tel que

Uf(a) < © ; si g(a,g9)>m>o sur C,ona

LAC) — A(p)| < = U*(a) pour peV..

Soit alors (S,) une exhaustion de S, et (à,) une suite croissante de nombres positifs tendant vers + æ. Posons f,(p)—.f; (p) pour PES» et PP)" pour peS —S,. La fonction f, ainsi définie est surharmonique continue ; c’est d’ailleurs un potentiel de Green U'r. Elle est bornée par 1,u(S,) ; pour n— , elle tend en croissant vers f.

Lorsque f— UF + h (h harmonique > 0), on posera fa Ur Linf(h, n).

Il nous reste enfin à montrer que la mesure qui effectue la repré-

sentation intégrale de fi(p)[resp. fi(p)] est (e,)arresp. (e,)i]. Cela

résulte immédiatement de la formule de réciprocité

gCp, ga — g(q, pha(resp. g(g, p)à — g(g; phà),

qu'on établit comme dans le mémoire cité de M. Brelot, en se ramenant au cas de À compact. Si p et q appartiennent à S— A, on a éneltet (D, qi = 0(p. q)— g(p, q; S — A), d'après la propriété extrémale de la fonction de Green.

Plus généralement, on a encore sur une surface de Riemann

JSKpdu(p) = Kp)dui(p) et [ACGp)de(p)— [Ap)dei(p).

13. Potentiels sur les surfaces paraboliques. — Sur une surface parabolique on ne peut définir des potentiels possédant toutes les propriétés indiquées plus haut (puisque, par exemple, une fonction surharmonique ne peut avoir de minorantes harmoniques). Toutefois, ou peut obtenir une partie des résultats précédents en partant d’une Jonction fondamentale h(p, q) de signe variable mais toujours symétrique en p et q, harmonique en p pour q fixe et pq, et ayant en q un pôle logarithmique d'ordre 1.

Pour établir l'existence de h(p, q), nous nous appuierons sur les deux faits suivants :

1° Soit (S,) une exhaustion de la surfaco parabolique S, g,(p, q) la fonction de Green de $,. Pour q et q, fixes sur S, la famille des fonctions y,(p ; q, 4) —= gp; 4) — KP; 4) est normale, d’après un lemme de Johansson [1] selon lequel les ,(p; q, q,) sont bornées dans leur ensemble hors de tout voisinage de q et q,. De plus, la limite d’une suite partielle convergente est harmonique sur S sauf en q et q,, où elle a les singularités de y,, et est bornée hors d’un voisinage de ces points. Deux quelconques de ces fonctions limites diffèrent donc d'une constante, de sorte que, pour p, fixe, la suite (D 3 1%) — an Pos 4 G) converge ; sa limite ;(p, p, : q, q,) n'est autre que la partie réelle de l'intégrale normale de 3° espèce dont toutes les périodes réelles sont nulles. On peut encore dire qu'une suite partielle 4,,(p ; 4, 4.) est convergente, uniformément sur tout compact de S —{q, q,}, dès qu’elle converge en un point.

2° Lorsque p, et g sont fixes sur S, la famille des fonctions LP 3 Po 9) = JAP; 4) — In(P5» 9) est également normale. En effet, M. Heins{1] a montré qu'il existe des constantes y, telles que les fonctions u,(p)— g,(p, g) —v, soient bornées dans leur ensemble sur tout compact S—{q}. Il en est alors de même pour les {,, puisque Ÿ,(p ; Ps, 9) —un(p) — (Po):

Prenons alors sur S deux points fixes p, et q,. Par une double extraction, on peut trouver des entiers n,— oo tels que les suites de

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fonctions d,(p: p,. q,) et La(p: 4 P,) Soient convergentes. En remplaçant p et q dans la dernière, et en remarquant que

VAT der Di) Pie dr)

on voit que la suite y,,(p; g, q,) converge pour p—p, et q quelconque, donc pour tout couple (p, q) de points de S. Posons alors k4(p; q) = tp: 4: 6) + Yni(P 3 Pos Lo) nt 4) — In Por Lo) - Pour k— , h}{(p, q) tend vers une limite A(p, q) qui satisfait à toutes les conditions indiquées plus haut, et en outre à la suivante : quand p varie seul, h(p, q) — A(p, q') reste bornée hors d'un voisinage de get q'; autrement dit, le comportement de A(p, q) à la frontière ne dépend pas de q.

La fonction À(p, q) n’est d’ailleurs pas déterminée de façon unique par ses propriétés, même si l’on tient compte de celle que nous venons d'exprimer. En effet, si u(p) est harmonique sur $,

Rp, g9)—=A(p, q) +u(p) +w(q)

possède les mêmes propriétés que À; inversement, toute fonction qui satisfait aux conditions imposées à À peut être mise sous cette forme.

Le potentiel —} d'une mesure w (c’est-à-dire la fonction U“(p) —A(p, q)du(q)) ne sera donc en général déterminée qu’à une fonction harmonique près. Toutefois, si p est de masse totale nulle, U"(p) est déterminé à une constante près ; U#( p) — UF(p,) ne dépend pas de h. On retrouve là un résultat signalé par L. Ahlfors [4] pour les potentiels définis sur les surfaces closes.