OST O ES

Par conséquent, si f sur C est sommable par rapport à

dg(p ; a) ds dy :

elle est résolutive et la fonction de Wiener correspondante est donnée

LE Ho — dg(P;q) qe Xp=E [SRE

Remarque. — Dans le cas d’un domaine D parabolique, il est intéressant de noter que les résultats ci-dessus nous donnent, lorsque hk est harmonique bornée dans D

(a) => is hp} LP Das

(on aurait >, pour À bornée inférieurement).

D'autre part, en appliquant ceci à k— 1, on voit que: La condition nécessaire et suffisante pour qu’un domaine «non compact» très régulier D de frontière C soit parabolique est que, pour ae€D:

fee M RER (eo!

dv

2. — Potentiels. Fonctions surharmoniques ({°). 9. Potentiels. — Soit S une surface de Riemann hyperbolique, g(p, q) sa fonction de Green. En prenant g(p, g) comme fonction

(7) G£. H. Carrax [1], [2], M. Brecor [3], [4], L. Aurrors [4], R. Baner F3 Kuramocui [1].

fondamentale, on peut édifier sur S une théorie du potentiel analogue à celle de l'espace R” ou d’un domaine admettant une fonction de Green. Cette possibilité repose essentiellement sur le fait qu'une surface de Riemann est réunion dénombrable de compacts, et sur le comportement de g à la frontière (théorèmes 1 et 2).

Nous nous bornerons ici à rappeler les principaux résultats et à indiquer leur démonstration si elle diffère de celle de la théorie

classique. Le potentiel d’une mesure de Radon positive y est la fonction U(p) = g(p, g)du. (q). UF est > o et semi-continue inférieurement. Si elle n’est pas partout infinie, elle est Hi men Le dg(pr a), dy

sur C,, (notations du n° 6) ; U'< = inf, g(p; a)), d’après le théorème 2 et la remarque qui termine la section précédente. De ce fait, et en raison de la loi de réciprocité :

[UV x | 0 du < U'(a) ;

En effet, soit aeS, et €, 1 la distribution de masses Le

si À est assez grand pour que D, ] soit simplement connexe, on retombe sur le critère local bien connu de surharmonicité. De plus, UF est harmonique dans tout ouvert de y mesure nulle.

- Comportement d'un potentiel à la frontière. — Si U* n’est pas identiquement infini, son comportement est analogue à celui de la fonction de Green. On a en effet :

TuéorèMe 1°%. — Une fonction u sousharmonique dans S$S et majorée par UF est << o.

Supposons tout d’abord » portée par un compact K. Soit D un domaine relativement compact contenant K ; d’après le principe de Harnack, il existe, pour aeK, une constante À telle que

g(p, 9) <kg(p. a) quels que soient geK et pe [ D. Donc U*(p)< ku(K) g(p, a) hors

de D, ce qui entraîne le résultat indiqué (théorème 1).

Si y est quelconque, soit (S,) une exhaustion de $, y, la restriction de y à S,, et un —=uw— 1, Quand n—, U, tend en croissant vers UF, et U— 0. Si u << UF, on a u— Ur Ur; or p, est portée par un compact, et u — U"* est encore sousharmonique, de sorte qu'onau< U', et, à la limite, u< 0.

2 M. PARREAU On est déduit immédiatement le :

THéorème 2 5. — Quelque soit & >> 0, l’ouverlt { Ur > ec} est relativement compact ou parabolique.

40. Formules de Gauss et de Poisson. — Détermination des masses par les potentiels. — Soit D un domaine relativement compact, très régulier, de frontière CG. Si le potentiel UF d’une distribution positive est continuement différentiable au voisinage

j ù ; de C, on a, en intégrant la formule : . 4 g(P Dos 1, pour p parcourant C, et geD

D= [ras (formule de Gauss).

Si U' est deux fois continument différentiable, on a la formule de Poisson :

(D)=— [| AUFd5 (ds étant l'élément d'aire dans le plan D

du paramètre).

Dans le cas général, on peut déterminer la masse située dans un ouvert au moyen de la méthode de F. Riesz('*), en introduisant les flux généralisés.

IL en résulte que si deux mesures de Radon ont même potentiel (ou des potentiels qui diffèrent d'une fonction harmonique) elles sont identiques.

11. Représentation potentielle des fonctions surharmoniques. — Le théorème fondamental de K. Riesz est encore valable sur une surface de Riemann :

Taéorème. — Soit f une fonction surharmonique sur une surface de Riemann hyperbolique S. Il existe une mesure de Radon positive ». et une seule telle que, pour tout compact K, la restriction de p. à K ait un potentiel dont la différence avec f soit harmonique à l’intérieur de K. Si UF n’est pas identique à + ©, f— UF est harmonique ; c'est la pe grande minorante harmonique de f.

Soit (V,) une famille dénombrable de « cercles » recouvrant S. . Dans chaque V,, le théorème de Riesz permet d'associer à f une mesure ,; Si V,n V,-£9, y, et u, y coïncident, puisque la masse de

(5) F. Rriesz [1], M. Brecor (Acl. Sci. Ind., n° 139, Hermann, 1934), T. Rano [2].

tout ouvert, pour y, ou ,, se détermine au moyen du flux généralisé de f. Par conséquent, les mesures y, définissent sur S une mesure de Radon y (« principe du recollement des morceaux »).

On peut également remarquer que la mesure w est donnée par

ll : : ; 3 du = — 5, Vds, lorsque f est deux fois continument différentiable ;

si f est quelconque, la formule ci-dessus est encore valable, Afdo étant alors une distribution-forme différentielle de L. Schwartz.

S1 px) est la restriction de y à K, f — U#® à dans K un flux nul à travers toute courbe ou ensemble de courbes C qui est un bord,

donc est harmonique dans K : lorsque K tend vers S, les fonctions f— U*® forment un ensemble filtrant décroissant, leur limite est — © si U— + 0, et f — UF dans le cas contraire; À—f— U" est alors harmonique dansS, etil résulte immédiatement du théorème 1°%, que toute fonction harmonique (ou sousharmonique) dans S inférieure à f est aussi inférieure à À,

En particulier : si f est surharmonique > o sur S,f—U* + k, y étant la mesure de Radon associée, et À une fonction harmonique positive.

On a encore : la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonclion surharmonique sur S soil le potentiel d’une mesure positive est que sa plus grande minorante harmonique soit nulle. De ce fait, une fonction surharmonique positive inférieure à un potentiel est un potentiel.

12. Extrémisation et balayage. — La possibilité d'étendre la théorie du balayage à une surface de Riemann a été signalée par R. Bader [1]. La méthode de minimum de Gauss-Frostman- IH. Cartan (‘”) s'applique d’ailleurs sans modification, et conduit aux mêmes résultats que dans le cas classique, ce qui permet de définir le balayage indépendamment du problème de Dirichlet et de la notion de capacité. Mais comme :l nous a fallu résoudre le problème de Dirichlet pour définir la fonction fondamentale, et comme nous avons déjà utilisé divers résultats concernant les ensembles polaires qui sont établis dans le plan au moyen de la théorie du potentiel, nous ne procéderons pas ainsi, el nous nous appuierons sur les propriétés des familles de fonctions surharmoniques, comme le fait M. Brelot dans son mémoire du Journal de Mathématiques [5].

(19) Cf, O. Frosrmax [1], H. Carrax [1], [2].

20 M. PARREAU

Remarquons d’abord qui si E est un ensemble polaire d'une surface de Riemann hyperbolique S, on peut toujours supposer que la fonction surharmonique associée (qui vaut oo sur E) est positive, et même que c’est un potentiel.

Soit donc S une surface hyperbolique, À un ensemble de points de S, et f une fonction surharmonique positive sur $. L'enveloppe inférieure des fonctions g surharmoniques positives sur S qui majorent f sur À est une fonction quasi surharmonique (chap. 1, n° 10); sa régularisée f{ majore f quasi partout sur À. C'est la plus petite fonction surharmonique => 0 ayant cette propriété, car si g, majore f quasi partout sur À et si > 0, g,-eU majore f sur À, si U° est un potentiel associé à l'ensemble (polaire) des points de À où g, << f. f: est appelée l’extrémale extérieure de f pour À (*).

Les propriétés de l’extrémale extérieure sont les mêmes que dans le cas classique : f{ est égale à f dans À, est harmonique dans [ A; elle croît avec f et A, et plus généralement si f< g quasi partout sur À, f£ << g$; de même, si À € B a un ensemble polaire près (c’est-à-dire si An [B est polaire), FF <fs Si [f—gl<e, LR — gil< e, si f, tend vers f en croissant, (f,)£{ tend vers f£.

Lorsque f est un potentiel UF, f?, qui est plus petite, est également un potentiel UFK. £ est le résultat du balayage extérieur de y sur A.

Si on prend pour À un compact K, on voit que f? est la fonction surharmonique égale à f sur K, sauf aux points-frontière irréguliers pour S—K, età H°F dans S — K (aux points irréguliers, elle vaut. donc lim inf H°7F). En effet, la fonction f, ainsi définie majore f quasi partout sur K; d'autre part, si g est surharmonique >0 et majore f sur K elle appartient à la famille G, du n° 7, donc majore H°7F dans S—K; par conséquent, inf g et sa régularisée majorent f. |

Pour À quelconque, on appellera extrémale intérieure de f pour A l'enveloppe supérieure des f? pour tous les compacts K contenus dans À. On la notera fi. C’est encore la plus petite fonction surharmonique => o sur S qui majore f à peu près partout sur A. En effet, soit © une telle fonction: pour tout compact K c A, l’ensemble 10 En) Î n K est intérieurement polaire et borélien, donc polaire (théorème de G. Choquet), de sorte que 9 > f? ; donc o > fi.

(®) M. M. Brelot, à qui est due la notion d’extrémale (cf. Bull. Sci. Math., 68, 1944, et [5]) appelle f À l’extrémale de f pour ÇA.

Inversement, si K, est un compact contenu dans {fa SJ} n A, on a Ji SJ <f sur K,, qui est donc polaire; {fi f} n A est donc intériéurement polaire.

Si f est le potentiel d’une mesure », fi est celui d'une mesure va, qui est par définition le résultat du balayage intérieur de y sur A.

Lorsque fi —f*, leur valeur commune notée f, et appelée extrémale de f pour A. Cette égalité a lieu pour toute f si A est borélien, puisque l’ensemble {fi < f}nA, borélien lui aussi, est alors polaire.

Remarquons que si @ est la famille des ensembles boréliens B tels

que An [B soit polaire, on a JE OUS. En effet, fi <f» pour

tout BeB ; d'autre part, l’ensemble fes — {fi f} appartient à la famille, et fn, — fi.

Lorsque A est fixé, les extrémales fi et ff sont additives en f. On le voit aisément pour À compact, puisque alors f, vaut Hÿ—* dans S — À, et f dans À sauf aux points-frontière irréguliers pour S — À ; si feet g sont surharmoniques sur S, on a ainsi

ga = fa + ga

quasi partout, donc partout, On passe de là au cas de l’extrémale intérieure (donc de À borélien), puis au cas général en utilisant la remarque de l'alinéa précédent.

L'additivilé, et la continuité évidente de fi et fx par rapport à f, permettent une représentation intégrale des extrémales. Comme la famille de fonctions (Ufs } — Ufs'YaeS, N << Ho, avec D, compact) est totale (*”), on voit que l'application f—f{(p), par exemple, induit sur l'espace vectoriel engendré par cette famille une forme linéaire qui se prolonge par continuité sur l’espace des fonctions continues nulles en dehors d’un compact ; elle définit donc une mesure de Radon positive »,, de masse totale 1, telle que