Fonctions harmoniques à moyennes bornées

4. Moyenne d’une fonction harmonique dans un ouvert annulaire. — Nous dirons, avec A. Pfluger [1|, qu’un domaine relativement compact G d’une surface de Riemann S est un domaine annulaire si sa frontière se compose d’un nombre fini de courbes régulières, réparties en deux ensembles disjoints C, et C..

Dans un tel domaine G, nous appellerons x la fonction harmonique uniforme qui s’annule sur C, et prend sur C, une valeur constante

. dt : .

À > 0 choisie de façon que 1 nd — 1 ( désigne la normale inté- Co

rieure à G). Si y est la fonction harmonique conjuguée de x (en

général multiforme), ceci s'écrit encore |, dy —1.

Plus généralement, soit G un ouvert, limité par un nombre fini de courbes régulières, dont les composantes connexes G; (en nombre fini) sont des domaines annulaires ; nous dirons que G est un ouvert annulaire. Si nous appelons OC, (resp. G,) la réunion des C; (resp Ci) relatifs aux divers C;, nous pouvons encore définir une fonction æ associée à G, nulle sur C,, et valant À sur C,; on aura, avec des

+ 1 I notations évidentes, F2; i À;

Moyenne. — Nous appellerons moyenne dans G d'une fonction u sousharmonique dans G la fonction de Y définie, pour o << À, par:

mO)= mu; G)— f.,udy.

Si u est harmonique dans G, juf y est sousharmonique pour « > 1;

32 M. PARREAU

nous appellerons moyenne d'ordre x de u dans G la fonction : œ 170 MO)=MUAMLS Ge (0e dy)

2. La moyenne d’une fonction harmonique étant linéaire, celle d’une fonction sousharmonique est une fonction convexe de 1. Plus précisément, la moyenne d'ordre z d’une fonction harmonique possède les propriétés suivantes, établies par R. Nevanlinna [5] pour (eo

TuéorèMe 3. — Si u est harmonique dans G; m,(x, u) est une fonction convexe de à lorsque x 1 ; pour ax 1, m,(A) ne peut étre linéaire que si u > 0 est une fonction linéaire de æ.

Si de plus u est nulle sur C, et vérifie la condition ie on a m,(i, u) >), l'égalité n'ayant lieu que pour w — x lorsque CRETE

On peut toujours supposer u > 0 (en considérant au besoin la meilleure majorante harmonique de |u| dans G(1,, } D RRQ} 1} pour 0,3, A). Si l’on pôse pour simplifier m,—m, on obtient, en dérivant deux fois, intégrant par parties, et appliquant l'inégalité de Schwarz :

Mouelu dy (aff ee) à

du 5 ds =.

d’où la première partie du théorème. Si o — 0 sur Cet [ È =] TASER De ee pie on a Ma(O) — ( [ e à) > 1 (inégalité de Hôlder), d’où m, (1) =

pour À > 0. Quand x > 1, l'inégalité précédente ne peut se trans-

du former en égalité que si 3, St constant sur G,, donc égal à +1, ce qui exige 6 — +.

MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES 33 Remarques : 1) m, (à) est linéaire si w (toujours harmonique dans

= : : du :

‘G) est => o dans G, et est constante si de plus d DS — ce qui a . . . . Co F

heu en particulier lorsque u est harmonique sur toute la surface et

que CG, est le bord d’un compact.

2) POUR GE D'un, QUE mg (1); la seconde partie du théorème est donc vraie dès qu ‘elle l'est pour «— 1. Soit alors U;, la meilleure majJorante harmonique de |u| dans G(o, à):

Un. RU dy

m(X; B)= m0; oi Le >

Moyennes définies à partir de la fonction de Green: Soit G, un domaine relativement compact très régulier de S, et a un point de G. Pour A assez grand, la partie de G, où g(p, a; G,)<<A est un

Le L domaine annulaire G, pour lequel la fonction x associée est — (A — 9).

On peut donc définir la moyenne d’une fonction w sousharmonique dans G, à partir de g; il est immédiat que la moyenne correspondant à la courbe de niveau 9 —1 est égale à la valeur en a de la meilleure majorante harmonique de 4 dans G()= fg > 2{.

3. Fonctions à moyennes bornées. — Considérons, sur une surface de Riemann ouverte S, un domaine relativement compact S, dont le bord C, est composé d’un nombre fini de courbes régulières, et qui n’a pas de (frontière intérieure » (nous entendons par là qu'aucune partie de G, n’est le bord d’un compact de $S situé dans S—$ ). Nous dirons pour abréger que S, est un domaine canonique, et nous appellerons exhaustion canonique une exhaution formée de domaines canoniques.

Dérnirion. — Soit u une fonction sousharmonique dans S —S$, ; nous dirons que ü est à moyennes bornées dans S — $, si pour lout domaine canonique S, 3 S, la moyenne de u dans l'ouvert G—$S, —$, reste bornée par un nombre k qui ne dépend que de $, et u.

Si u est sousharmonique sur S, et si la propriété indiquée est vraie pour tout domaine canonique $, (4 pouvant varier avec S,), on dira que u a ses moyennes bornées sur S.

Taéorème 4. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soushärmonique positive sur S soil à moyennes bornées sur 5 est qu'elle y admette une majorante harmonique.

34 M. PARREAU

En effet, si u sousharmonique >> 0 sur S admet la majorante

harmonique U, on a pour tout GS, — D.

mA, u) mA, U)=m,(o, U) << Max u, Co

donc uw est à moyennes bornées. Réciproquement, supposons u à

moyennes bornées sur S —$,, pour un domaine S, particulier ; soit Us, la meilleure majorante harmonique de w dans un domaine cano-

nique S, > S,. On a (Q Us le, Us, dy = fu d LE: comme 1e dy — 1, on en déduit que min Us, < k, et, d’après le principe de Harnack, que max Us, <#’, de sorte que quand S,—S, Us, tend

Co vers une limite finie, qui est la plus petite majorante harmonique u

de u sur S(*).

Le théorème précédent montre que pour une fonction w sousharmonique sur $ tout entière, la propriété d’avoir ses moyennes bornées sur S — S, est indépendante de $,. On pourra donc se borner à considérer des moyennes définies à partir des fonctions de Green; pour celles-ci, l’équivalence de la propriété indiquée et de l'existence d'une majorante harmonique est immédiate.

4. Fonctions s’annulant sur C,. — Outre les fonctions sousharmoniques sur la surface entière, 1l est intéressant d'étudier celles

qui sont définies sur S — D; et qui s’annulent sur CA

Tuéorème 9. — Pour qu'il existe des fonctions sousharmoniques posilives dans S —$S,, nulles sur G,, et à moyennes bornées dans

S— 5,, qui ne soient pas idenliquement nulles, il faut et il suffit que S soil une surface hyperbolique. Les fonctions en question sont alors celles qui admettent une majorante harmonique.

Soit u sousharmonique > 0 dans S—S,, nulle sur C,; soit $, un domaine canonique contenant S,, Ü—S, — S,, te la fonction associée, A4 son maximum ; soit enfin U, la meilleure majorante harmonique de u dans G. Une application simple de la formule de Green nous donne :

foudre Ucde=— Ac [| sde he [| PU Co G & G d

(1) Dans toute la suite de ce mémoire, nous noterons à la plus petite majorante harmonique d’une fonction sous-harmonique u.

doU . ; à Or ne et fe —, & croissent avec G; leur produit, à moins ° dy

d'être constamment nul, ne peut rester borné que si tous deux le restent, ce qui implique : 1° que S est hyperbolique (*), 2° que pour S,—S, Us tend vers une limite finie (lemme de Johansson).

Inversement, si S est hyperbolique, AG est SA << +; si u admet une majorante harmonique U, on peut toujours supposer que celle-ci s’annule également sur C,, et dans ces conditions

1 udyc < À ML Ci Co dy

donc u est à moyennes bornées.

5. Classes (HM,). — Soit S une surface de Riemann ouverte. Pour tout nombre + > 1, nous appellerons (HM,,) la classe des fonclions harmoniques uniformes u régulières sur S et qui y ont leurs - moyennes d'ordre « bornées, ou encore telles que |[uf* ait une majorante harmonique [af (ce qui revient au même, d’après le théorème 4). L'égalité |u+vf <2*-'(uf +/v}) montre que (HM,) est un espace vectoriel réel ; si a est un point fixe de S, |u|,, — IFROIL est une norme sur (HM,), et pour cette norme, (HM,) est un espace de Banach. En effet, soit (S,) une exhaustion canonique de $, telle que aeS,, et soit l, la frontière de S,; posons

g(P: a; D) —= GP» a).

Au JE a dn( PQ) ia lue= lim (CE [° 1u() EP ae)

et l’inégalité de Minkowski pour les intégrales entraîne à la limite

lu +, <llulk + lol.

D'autre part, soit (u;) une suite de Cauchy dans (HM,) ; si nous désignons par U; : la plus petite majorante harmonique de |u, — we, cela signifie que U, (a) tend vers o quand j et À —; d’après le principe de Hal U,4(p) tend alors vers o uniformément sur

On a

(2) En effet, K= /. "Re ds tend vers fes qui est nul ou > o selon que é v co dY wWw—0ouw%<O.

36 M. PARREAU

tout compact de S. Comme |u(p) — u,(p)} <U,,(p), la suite (u,) converge, A ABnEe sur tout compact, vers une fonction u harmonique sur S. Reste à voir que ue(HM,). Or, en vertu de la convergence uniforme, on a:

Fur B as tion [° D) PE Das € 2 Vin

la meilleure majorante harmonique de 4 * dans S, a donc, lorsque n— wo, une limite finie. |

Nous considérerons également, après L. Ahlfors et L. Sario, les classes (HB) et (HD) des fonctions harmoniques uniformes sur S qui sont bornées ou qui ont une intégrale de Dirichlet finie (c'est-à-dire telles que Ds(u) — [figrad u} ds << ©). On sait que ce sont également des espaces de Banach, si l’on prend comme normes sp lu( p)| dans (HB), |u(a) | V/D(u) dans (HD).

Il est évident que (HB) c (HM,) pour tout «. D'autre part, (HD) est contenu dans (HM.), car la condition Ds(u) < æ signifie que la mesure de Radon y définie par du —|grad u}dc est de masse totale finie; or, on constate aisément que » est la mesure associée à la fonction surharmonique — x” dans la décomposition de F. Riesz ; si u(S) <T oo , le potentiel de Green UF ne peut être identiquement infini, et par conséquent u” + UF est finie, harmonique et majore u*, donc ue(HM,) (°).

Enfin, pour « << $, on a [uŸ < 1 + |uf. donc (HM,) > (HMg). En particulier, (EM) contient toutes les classes de fonctions précédemment envisagées. Remarquons à ce propos qu'on peut encore définir (HM,) comme l’espace des différences de fonctions harmoniques positives. En effet, si [ul a une majJorante harmonique U, on a u—= UÜ — (ÙÜ — x) ; inversement, si u — u, — u,, avec u, et u, harmoniques et >0,ona:lu Lu, +u,.

Si ue(HM,), u* et u- admettent des majorantes harmoniques nuitée y”, etion au—u'—u".Gette décomposition de u en différence de fonctions na de positives possède la propriété extrémale suivante : pour toute autre décomposition u—u, — u, (u, etu, >o), onau<u, et uw’ <u,. Il en résulte que (HM.) est un espace vectoriel étoiles si u et v sont deux fonctions de (HM,),

(3) Cela résulte encore d’une inégalité de R. Nevaxzinna ([5], p. 6).

elles admettent dans cet espace une borne supérieure et une borne inférieure, qui ne sont autres que sup(#, v) et inf(u, v) en s Lorsque ue(HM,,), (HB) ou (HD), il en est de même de w’ et u”. Dans les deux premiers cas, c'est évident. Pour (HD) cela résulte du lemme bien connu suivant lequel une fonction harmonique dans un domaine relativement compact G a une intégrale de Dirichlet

inférieure à celle de toute fonction continue dans G, continûment dérivable dans G sauf sur un nombre fini d’arcs ou de points, et qui prend les mêmes valeurs sur la frontière de G (**). En effet, soit ue(HD), (S, 1) une exhaustion de S, u’ la meilleure majorante harmonique de u* dans $,. Pour m<n,ona

Ds, (u,) < Ds,(u,) <Ds,(&*) < Ds, (u).

Si m reste fixe et n— , ceci nous donne D, (uw) < Ds(u), d'où

finalement Du’) < Ds(u) < 0.