Classes (HM,). — Soit S, un domaine canonique de S, de
frontière C,. Les fonctions harmoniques uniformes dans S — 5, nulles sur C, peuvent également étre rangées en diverses classes, selon que leurs moyennes d'ordre 4 sont bornées, qu'elles sont bornées, ou qu’elles ont une intégrale de Dirichlet finie. Nous noterons (H,M,), (H,B), (HD) les classes «relatives » ainsi déterminées. Elles possèdent les mêmes propriétés que les classes « absolues » : si l’on y introduit des normes analogues aux précédentes, ce sont des espaces de Banach (”°) ; elles vérifient les mêmes relations d'inclusion: (H,B)c<(H,M,) pour 1 pi D)e(HM,).
Toutefois, si (H,M,) est contenue dans la classe des différences de fonctions harmoniques positives s’annulant sur G,, elle ne se confond avec cette dernière que lorsque S est une surface hyperbolique ; si S est parabolique, (H,M,) se réduit à la constante o, alors qu’il existe dans S —S, des fonctions harmoniques positives nulles sur C..
(2) Par abus de langage, nous noterons encore } la plus grande minorante harmo-
nique d’une fonction harmonique f (c’est ee ‘F)).
(5) Voir par exemple H. Wexz [1], Farou (Fonctions automorphes, Paris, 1931), S. STorLow [1].
(5) Pour avoir une véritable norme, il faut ici choisir un point a; dans chaque compo-
sante connexe G:; de S — S, et poser ||ulls — > [far al"
38 M. PARREAU Mais cette distinction n’a plus lieu pour « > 1. On a en effet :
Taéorème 6. — Soit S une surface de Riemann ouverte, S, un domaine canonique de S, u une fonction harmonique dans S —S, nulle sur G,, mais non identiquement nulle. Si pour à 1, ju admet une majorante harmonique, S est hyperbolique, donc ue(H, M,).
du :
ds = 1. Soit alors dv
On peut toujours supposer que u vérifie 1
& U une majorante harmonique de [uf nulle sur G,, et soit S, un domaine canonique contenant S,, et G—S, — Se Avec les notations déjà employées, on a, en tenant compte de la propriété extrémale signalée dans le théorème 3 :
doU A8< flufde< f. Udye= Ac J. ed G CG Co dY
a—1 IL en résulte que A reste inférieur à al * ds) , ce qui
implique, comme nous l'avons déjà vu, que S est hyperbolique.
7. Généralisation. Moyennes d'ordre Ÿ ; classes (HM,) et (H,M4). — Selon une idée de M. R. Nevanlinna [8], on peut généraliser la notion de moyenne d'ordre z, et la notion correspondante de classe (HM,), ou (H,M,), de la façon suivante. Soit ®({) une fonction convexe et strictement croissante de la variable réelle positive {, telle que (0) —o (cette dernière hypothèse n'ayant d’ailleurs rien d’essentiel). Pour toute fonction sousharmonique positive u, on sait (*’) que (u) est elle-même sousharmonique. Soit alors G un ouvert annulaire (cf. n° 1) d'une surface de Riemann $S, x la fonction harmonique associée à G, u une fonction harmonique uniforme dans G. Nous appellerons moyenne de u dans G relativement à ® (ou moyenne d'ordre æ de w dans G) la fonction de À définie, pour 0oLI1< À, par
m0) = mas 2) = 87 [,#(uldy)
La première partie du théorème 3 ne subsiste pas obligatoirement pour ce genre de moyennes. Toutefois, la propriété de minimum exprimée par la seconde partie est encore vraie ; en effet :
@7) P. Moxrez [1], M. Brezor (Act. Sci. Ind., n° 139, Hermann, 1934).
THéoRèME 3%. — Soit u une Jonction harmonique dans G, nulle sur
C,, et telle que LE
«lo peut avoir lieu que siu—+x, lorsque ®(t) n’est linéaire dans aucun intervalle.
La démonstration est fondée sur l'inégalité de Jensen : soit w une mesure positive sur un espace compact E, f'une fonction v.- DIE définie dans E, et ® une fonction convexe pour toute Valeur prise par f. Dans ces conditions,
(Je AE )dy. ee) AE A os
Soit alors U) la meilleure majorante harmonique de |u| dans GO)={e 2}; on a P( [,U,dy) << [ #0) = E(my0)).
À dy = [ ds > à car en tout point de C DE Co
dU, du
dv 2 dv croissante. Enfin, l'inégalité de Jensen ne peut se transformer en égalité, lorsque f est continue, que si est linéaire dans l’ensemble des valeurs prises par f sur le support de » ; par conséquent, si n'est linéaire dans aucun intervalle, et si m4(A, u)—1, on doit avoir [u|— à sur TEEN , doncu—= x.
Soit maintenant S, un domaine canonique. Si pour tout 5,25, Mm(X, u; S, —S,)reste inférieur à une constante ne dépendant que de $, (ou encore si E(lu]) està moyennes bornées dans S —S,, ce qui revient au même puisque lim US æ) nous dirons
que u a ses moyennes Ÿ bornées dans S — S,.
ds — 1. On a alors mp (À; u) >X, et l'égalité ne
; donc m&(àx) >), puisqu'on a supposé ® strictement
Dériirion. — Nous appellerons (HM,) l'ensemble des fonctions harmoniques u définies sur la surface S tout entière et qui possèdent la propriété ci-dessus indiquée pour un (ou pour tout) domaine canonique S,. Si S, est fixé, nous appetllerons (H,M4%) l’ensemble des fonctions harmoniques dans S —S,, qui s’annulent sur le bord C, de S, et qui ont leurs moyennes d’ordre ® bornées dans S —$,.
@8) J. V. L. Jensen [1], p. 186 ; A. Zxemunp [1], chap. 1v.
ho M PARREAU
En vertu du théorème 4 (n° 3), (HM3%) est encore l’ensemble des fonctions harmoniques u sur S pour lesquelles d(}u]) admet une majorante harmonique. Quelle que soit P, on a
(HB) c (HM4) © (HM ,);
en effet toute fonction bornée est a fortiori à moyennes bornées, d'autre part, si (|u|) est majorée par la fonction harmonique U, on a [u| SP '(Ü), et p “(Ù) est surharmonique, donc |u| admet une majorante harmonique. Toute fonction de (HM%) est ainsi la différence de deux fonctions harmoniques positives (dont on peut toujours supposer qu'elles appartiennent aussi à (HMx%)). Soient enfin ® et W deux fonctions convexes et croissantes dans 10<St<+Ho!; si PT, (HMyy) € (HM 3): 3 LSF<LAP+E, (k, k, étant des constantes), (H Mwy)— (HM).
La classe (H, M3) ne se confond pas en général avec celle des fonctions w harmoniques dans S—$,, nulles sur G,, et telles que P(lu|) ait une majorante harmonique; il en sera ainsi seulement si S est hyperbolique (théorème 5). Toutefois cette restriction est superflue pour une catégorie importante de fonctions æ. En effet:
Tuéorème 6°. — Soit P(f) une fonction croissante et convexe
pour t>o (elle que lim Htc. Soit S une surface de
L> + 00 Riemann, S, un domaine canonique de S. S'il existe dans S —S$S, une Jonction harmonique u nulle sur GO, et telle que (lu) admette une majorante harmonique, la surface $ est hyperbolique, et ue(H,M5).
La démonstration est la même que celle du théorème 6, et utilise la propriété extrémale exprimée par le théorème 3 bis.
Remarque. — En général, (HM;) n’est pas un espace vectoriel. En effet, si u et v sont harmoniques sur $ et telles que P(lu)) et P(lv}) soient des majorantes harmoniques, il n’en résulte pas forcément que E(lu+-v|) en admette une. Supposons par exemple
que S soit le demi-plan fRz = 0}, et que a" log/z, DEEE
Il est facile de voir que e* < V2 R(z*), donc que
Te
mais e* (et a fortiori e*l“l) n’admet pas de majorante harmonique dans le demi-plan, car s’il existait une fonction h(z) harmonique
MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES 4x
h() !Rz
A rayon argz — ta vers e=inf 4) (théorème de Julia-
dans ÎRz se 0! et supérieure à |z
tendrait pour z2— , sur tout
Le sous la forme donnée par Landau et Valiron| 1 |), ce ou I
Rz cos8
Pour que (HM,) soit un espace vectoriel, il suffit que
P(2t) < A. PE)
pour { assez grand, puisque D estconvexe. Dansle cas général, on peut considérer à la place de (HM,,) l’espace vectoriel (HMY) engendré par (HM5); c'est encore l’ensemble des fonctions harmoniques sur S pour lesquelles :l existe une constante + -£o telle que
pue(HM).
8. Interprétation des fonctions de (HM;) au moyen de l’unifor-
misation (*”). — Soit S une surface de Riemann ouverte, S son revétementumiversel. Saufen deux cas exceptionnels (surfaces paraboliques
simplement ou doublement connexes), S est une surface de Riemann hyperbolique, qu'on peut identifier au. cercle unité 1 2 { Nous supposerons cette identification faite une fois pour toutes, et nous
appellerons p(z) la projection de ze$ sur S. Les automorphismes T du cercle unité qui satisfont à l'équation fonctionnelle p(Tz) — PG) formentun groupe proprement discontinu Ü de substitutions linéaires, dépourvu de substitutions elliptiques, et les fonctions harmoniques (resp. analytiques) sur S correspondent d'une façon biunivoque aux fonctions harmoniques (resp. analytiques) dans {l:|<1} aulomorphes par rapport au groupe (4. Si ue(HM%)s, il est clair que u( p(2))e(HM4)s ; réciproquement, si v est une fonction harmonique
dans $, automorphe par rapport à (, et telle que b(|v|) admette une
Ê ES majorante harmonique, V — ®(|v}) est elle-même automorphe (car V(T2) > V(2) pour toute Te), de sorte que la fonction harmonique sur S à laquelle est associée v appartient à (HM3)s. Or, on sait
que si lim BE (HM,)s est la classe des fonctions harmo-
(29) Cf. R. Nevanzinwa [8].
L2 M. PARREAU
niques représentables par une intégrale de Poisson-Lebesgue
J(e)do,
NE Fa Tr
Gi) 27 J, 1—+r— 2rcos (0 —)
avec fe. Pour que la fonction (1) soit automorphe par rapport à G, il faut que f Je soit, c'est-à-dire que (Te) — (+) presque partout, pour toute TeG (en posant arg(Te*) — To, pour simplifier
les notations). Si lim #0 << +, on peut remplacer (4) par #;
la fonction u(p(reït)) est alors représentable par une intégrale de Poisson-Stieltjes
27 TE r?
du(o), @) “fe 1 +7 — 2r cos (5 — o) #(Q)
où L est une mesure vérifiant du(To) — ae). du(®) pour toute TeG. ?
