Fonctions harmoniques positives et frontière idéale
9. Comparaison des classes (HM;) et (H,M3). — IL est intéressant de savoir si les espaces de fonctions harmoniques à moyennes bornées (resp. bornées, à intégrale de Dirichlet finie) dépendent des propriétés de S « à distance finie » ou ne dépendent que des propriétés de la surface Qau voisinage de la frontière idéale ». Ceci nous amène à comparer les classes (HM,) et (H,M3). Nous avons à ce sujet le théorème suivant :
Taéorème 7. — Soit S sur une surface de Riemann hyperbolique, et S, un domaine canonique de S, de frontière C,. Il existe entre les fonctions harmoniques positives sur $S et les fonctions harmoniques positives dans S —S, nulles sur CG, une correspondance biunivoque, linéaire, continue, croissante, et qui conserve la propriété pour une fonction harmonique d'être bornée, d’avoir ses moyennes d’ordre bornées, ou son intégrale de Dirichlet finie. Cette correspondance se prolonge aux différences de fonctions harmoniques positives ; elle applique (HM3) sur (H,M%). En particulier, les espaces de Banach (HM,) et (H,M,,) [resp (HB) et (H,B), (HD )et (H,D)] sont isomorphes.
Démonstration. — Soit u une fonction harmonique positive sur S ;
nous lui associerons la fonction à — u — H$—, qui est nulle sur C, et qui vaut en quelque sorte x à la frontière idéale, puisque la soluüon du problème de Dirichlet extérieur y est associée à zéro. Si (S,) est une exhaustion canonique de S, telle que S 257 u est d'ailleurs la limite de la suite décroissante Hé). en notant u, la fonction définie sur C, u C, qui vaut # sur OC, et o sur C,. à est encore la plus grande fonction harmonique (ou sousharmonique) dans S — S,, nulle sur OC, qui minore u.
Inversement, soit v une fonction harmonique positive dans S— 5, s'annulant sur C,. On sait que la fonction (v, o) égale à v dans S —S$, et à o dans 5. est sousharmonique sur S ; nous allons voir que sa plus petite inajorante harmonique v existe, c’est-à-dire que la suite des fonctions v, — H°* a une limite finie quand n — +. Soit w, la mesure harmonique de GC, par rapport à S,—S$, ; comme S est hyperbolique, o = lim w, est => O au moins dans une compo-
sante connexe de S—S,. Une double application de la formule de Green (à v, etw,, puis à v et w,) nous conduit aux égalités suivantes, dans lesquelles » désigne la normale intérieure à S n —S,:
fe a+ [v a ds Eee — 9; Co Cn dy
puisque v, est harmonique dans $, ;
dv dU Ar —= | —ds—— ds cs dY Ce [02 ce dy £ do dv Mais v, — v sur C,; par conséquent, |. D ds NES = Gites C7 Co dY
don
| d Comme v, > 0 si vo, et 0LE< <
dw sur CG, avec 0< ce sur
. dw la une composante connexe de C, au moins, | Den os est bornée, de Co
sorte que v, ne peut tendre vers + + uniformément sur tout compact (°”).
(#0) On peut également débnir v au moyen du procédé alterné de Scawarz. Soit SE D So+ Si vo = v, WRe Hi on = v+HS—S, on voit à l’aide d’un lemme de ro ([3], lemme 2) que les suites (tn) et Ca ‘convergent uniformément, la limite étant la même dans S4— S,. La fonction harmonique ainsi définie. sur S majore (v, o) mais est inférieure à toute majorante harmonique de cette fonction ; c’est donc v.
44 M. PARREAU
Les applications u — à etv —v sont visiblement additives et croissantes ; nous allons montrer qu'elles sont biunivoques et réciproques l'une de l’autre. Il suffit pour cela d'établir que DU el DEV) Tout d’abord, v < v entraîne v LV n) < ©, donc v D — TD; si v, 7, ON à +0, —0+0, —7, d'OU TS SON CNED: ainsi Ü —v. D'autre part, à <u, car u majore (ù, 0); ce qui précède montre que Les à, donc (u— u)—0. Oru—o implique u — 0, car cela équifautau-}fs So, et u, définie sur S tout entière, ne peut être associée à zéro à la frontière idéale que si elle est identiquement nulle (théorème 1). Par conséquent, u — u.
Si u (resp. v) est bornée, ü (resp. ) l’est également, et a même borne. Si p({) satisfait aux conditions du début du n° 7. et si p(u) admet une majorante harmonique U, b(&) est majorée par Ü : inversement, si P(v) est majorée par V nulle sur C,, on a
