DD (NN D AVE

cette dernière fonction étant surharmonique et positive,

(v, o)Z DT (V) entraîne v<d'(V), ou (5) LV. Enfin, si Ds(u) < + , Ds s,(ù) re également << +, et réciproquement; on a plus

précisément, en posant M — max :

(1) Ds(u) < Ds s(u) < Ds(u) + MDs-5, (0).

Nous supposerons tout d'abord que S est un domaine canonique d’une autre surface de Riemann S*. Soit C la frontière de Sy u=Uu sur C, tandis que u<u< ù+-M(1 —w) dans S—S, (ceci est

d’ailleurs vrai quelle que soit S). On en déduit que sur C

DHL du SOU dw dy < d à d Fe du .dU d Or, D (7 =— | u—ds,; D SU) = = — > su) c © s—s(à) GE Ci 0 ë ce és

On a donc, puisque 4 > 0, Di{u) = D a(à) =: Di(e) M le ads

= Di(u)+M [ due Ddo ne fau C.Q.F. D Co y a d

Lorsque S est quelconque, on applique (r)aux domaines d'approxi-

mation S,, et on voit sans peine que la double inégalité est encore vraie à la limite.

La correspondance u—u s'étend de manière évidente aux différences de fonctions harmoniques positives, et ne cesse pas d'être DIUIMOQMNCARRST D, 2, u, — 0 LeS100, — 0, 0, 0,).. Elle applique (HM,;,) sur (H M); puisque ue(HM,,) équivaut à ae(HM). et que la propriété est vraie pour les fonctions positives ; c’est donc un isomorphisme algébrique de (HM,) sur (H,M,) (resp. de (HB) sur (H,B), de (HD) sur (H,D)). Nous allons voir que c’est même un isomorphisme d'espaces normés. Pour cela, il suffit, d’après un théorème de Banach (°), de montrer que c'est une application continue. Or, quand S — 5, est connexe, c’est évident, parce que lu), llull, si les deux normes sont définies à partir du même point a€S —$S, ; dans le cas général, il existe donc une constante K,, telle quel ü,| < K,|lu|, ; pour les fonctions à intégrale de Dirichlet finie, la définition de ||u}} et les inégalités (1) montrent qu'on a encore

< Ko ||u\b.

Remarque 1. — L'application u—ù est également bicontinue sur loule boule de (HM,) ou de (H,M,) pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

En effet, une boule de (HM,) est compacte pour cette topologie (*”), et u—üù, qui est biunivoque et visiblement continue, d’après la formule u—u— H$, est alors un homéomorphisme de la boule sur son image. En particulier, si une suite de fonctions positives vE(H,M,) converge uniformément sur tout compact vers v, v, tend vers ©, puisqu'une suite convergente de fonctions harmoniques est nécessairement bornée sur tout compact.

Remarque n. — Soient S, et S, deux surfaces de Riemann hyperboliques, V, (resp. V,) un «cercle» de S, (resp. S,), et Le la surface de Riemann symétrique de S, (c'est-à-dire définie par le paramétrage conjugé). On peut raccorder 5, et $, en une surface de Riemann S,

(81) S. Baxacn, Théorie des Opérations linéaires, Warszawa, 1932, chap. 11, théorème 5, p. 41. L’inégalité || à [|a > ka [[u||, peut d’ailleurs se démontrer au moyen de la formule de GREEN.

(2) En effet, les fonctions de (M) qui vérifient fu |(a) < M sont bornées dans leur ensemble sur tout compact, d’après le principe de Harnack. D'autre part, si u, est limite uniforme sur tout compact d’une suite (ou d’un filtre) de telles fonctions u, il existe une

suite partielle (ou un filtre plus fin), nes laquelle fu] converge, de sorte que fus existe,

et que [] (DJ< M.

A6 M. PARREAU

telle qu'une courbe simple C la morcelle en deux domaine G et G,

conformément équivalents l'un à S,— V,, l’autre à S,— V,.. Le théorème précédent montre alors que (HM,) s est la somme directe: de deux sous-espacesisomorphes à (HM,)s, et (HM, s, respectivement. Par exemple, à partir d’une surface hyperbolique pour laquelle (HM,) est de dimension 1, on peut obtenir des surfaces telles que dim (HM,,) soit un entier quelconque.

10. Frontière idéale. Frontière de Martin. — Le théorème 7 nous amène à chercher une définition plus précise de la frontière idéale d'une surface de Riemann hyperbolique S, afin que la connaissance de cette frontière nous renseigne sur les classes de fonctions harmoniques positives sur $. D'une façon générale, ilest avantageux de considérer la frontière idéale non plus globalement comme nous l'avons fait jusqu'ici, mais comme un ensemble l de points-frontière idéaux, dont l’adjonction à S donne un nouvel espace topologique S (qui ne sera pas forcément l’espace sous-jacent d’une autre surface de Riemann). Les éléments-frontière peuvent être définis de diverses manières : comme limites (idéales » de filtres sans point adhérent sur S, ou plus particulièrement par complétion de S pour une structure uniforme compatible avec la topologie de S, ou par immersion de S dans un espace compact E tel que la topologie induite sur $ par celle de E coïncide avec la topologie de S; dans ce dernier cas, S est l’adhérence de S dans E, et F-—S— S est la frontière de S dans S, puisque S, localement compacte, est ouverte dans S(*).

Ainsi posé, le problème d’ajouter à S une frontière idéale est. susceptible de nombreuses solutions. On peut prendre par exemple: T— {A}, où A est le point à l'infini d'Alexandroff(*) ; c’est ce qu'on fait implicitement lorsqu'on considère la frontière idéale de façon globale, sans la différencier en points. M. Brelot(*) a montré qu'au moyen de ce point À on peut ramener la solution du problème de Dirichlet extérieur à celle du problème de Dirichlet ordinaire.

Les méthodes précédentes conduisent également à la frontière idéale de Kerekjarto-Stoïlow (**), dans laquelle chaque point-frontière.

(8) N. Bourgaxr, Top, gén., I, $ 10, propos. 12.

(85) Ibid., $ 10, th. 4.

(5) Cf. M. BreLor [4] pour l’espace R', et M. Brezor et G. Cnoquer [1] pour un espace de Green.

(6) B. vox KerésArTé [1], et S. Sroizow [1].

est défini par un filtre sans point adhérent ayant une base formée de domaines «non compacts» à frontière compacte. l' est alors un ensemble totalement discontinu, et S est connexe et localement connexe.

Mais toute définition purement topologique de la frontière idéale présente l'inconvénient de ne pas tenir compte de la «force» de la frontière (*"), c’est-à-dire de la plus ou moins grande abondance des fonctions harmoniques ou analytiques de catégories données au voisinage de la frontière ou d’une de ses composantes. C’est ainsi par exemple qu'elle ne permet pas de distinguer la frontière idéale du cercle unité de celle du plan complexe fini, alors que la première de ces surfaces est hyperbolique et la seconde parabolique.

Pour obtenir une réalisation ponctuelle de la frontière idéale qui soit satisfaisante à ce point de vue, il nous faut faire appel à la topologie de R. S. Martin (*), qui introduit des éléments-frontière définis par les fonctions harmoniques elles-mêmes. Ce procédé conduit à une représentation intégrale des fonctions de (HM,) dans laquelle chacune d’elles est associée de manière unique à une mesure de Radon sur [portée par un sous-espace [', de l. La méthode et les démonstrations de R.S. Martin s'étendent sans modification aux surfaces de Riemann hyperboliques, lorsqu'on dispose des résultats du chapitre précédent concernantle problème de Dirichlet extérieur etle balayage ; aussi n’en rappellerons-nous que les grandes lignes.

Soit donc S une surface de Riemann hyperbolique, a un point fixe de S, et soit K(p, q) la « fonction de Green normalisée » de pôle

, définie pour a par K __9Cp.9) q).

q pour ga par K(p,q) oi)

K(p, a) — 0 lorsque p Æ a, et K(a, a) — 1. Pour geS, ces fonctions

forment une famille F normale dans S —{ A) donc relativement

si q—a, on pose

compacte dans l’espace C,— C{S —{a}, R.) des fonctions continues sur S a, à valeurs dans [0, +], muni de la topologié de la convergence compacte. Or, F est homéomorphe à $, car si l’on pose

KP) =K(p, q), l'application biunivoque g—f, de S sur F fait

(87) Cf. L. Sarro [2], Introduction.

(8) R. S. Marin [1]. Voir aussi J. Dexx [1], M. Brecor [7]. Dans la suite l'indice

supérieur lb indiquera que les notions correspondantes sont prises dans la topologie de

Marin. Par exemple, a lb sera l’adhérence-Marrin de A (dans S).

(39) L'ensemble des valeurs prises par les fonctions K(p, q) est le segment fermé {[o, + ©]; l’équicontinuité des K(p, q) est relative à cet espace de valeurs ; elle équivaut à l’équicontinuité au sens ordinaire des fonctions e — K@,4).

A8 M. PARREAU

correspondre au voisinage K(q,: 9) >) 1 de g,eS l’ensemble des f, telles que fade) >> À. qui est un voisinage de f, dans le sous-espace F,de C; (2

Si fa identifie S et F, on peut prendre comme frontière idéale de S l’ensemble F — F(F étant l’adhérence de F dans DE chaque élément-frontière idéal sel' est donc défini par une fonction harmonique positive K(p, s), limite uniforme sur tout compact de fonctions K(p, g), pour des geS (et dont on dira justement qu'ils tendent vers.

s). La fonction K(p, r) est donc définie pour pes et re —SuT: elle est harmonique en p pour r fixe (et =£ a), et continue en r pour p fixe (puisque obtenue en prolongeant K(p, q) par continuité). On

peut remarquer que la structure RG S est métrisable (par

: Éd K(p.r,) K(p,r,) |

POP la distance d(r,,r,) — sup RCE a RS r, et r, ES), ce qui permet de définir légalement par complétion : on appellera suite déterminante d’un élément sel une suite de Cauchy dans S (munie de la structure uniforme induite) qui a pour limite s. Soit maintenant u une fonction harmonique positive sur $ et A. un compact de S. L’extrémale w,(cf. chap. 11, n° 12), associée à zéro à la frontière idéale, est un potentiel de Green; elle peut donc

se mettre sous la forme ux(p) — fK(p; q)dua(q), où u\ est une

mesure positive portée par la frontière de A, et de masse totale u(a) <'u(a). Lorsque A tend vers S, u tend vers w, et uA, consi-

dérée comme mesure de Radon sur S, a au moins une limite vague u, portée par l'; on a ainsi u(p) à K(p. a)du(s). Il peut exister plusieurs mesures positives sur l qui vérifient l'égalité précédente, mais R. S. Martin a montré qu'il y en a toujours une et une seule (dite mesure canonique associée à uw) qui ne charge que l’ensemble T,, des points minimaux (on dit qu'un point sel est minimal si K(p, s} est une fonction harmonique minimale, c’est-à-dire si toute fonction. harmonique positive qui la minore lui est proportionnelle Ce

lorsque » est la mesure canonique associée à u, KP, s)du(s) est

appelée la représentation canonique de u. La possibilité d’une représentation intégrale et l’unicité de la représentation canonique s'étendent

(#0) C£. N. BourBaxt, Top. Gén., X, & 2, propos. 7. (#) Réciproquement, toute fonction harmonique positive minimale est une fonction

K(p, s) (MARTIN, loc. cit).

de façon évidente aux fonctions de (HM,): on notera que l’ordre des mesures canoniques est le même que celui des fonctions, puisqu’à une fonction positive est associée une mesure positive : (HM) est isomorphe à l’espace vectoriel ordonné des mesures canoniques. Lorsque S est un domaine relativement compact d'une autre surface de Riemann S*, et que sa frontière C par rapport à S* est très régulière, on peut idendifier la frontière de Martin L à C (cf. de la Vallée Poussin Er et J. Deny (loc. cit.)) ; si seC, la fonction

0) ù associée est K(p, ere 92 ne gt «47 : Mais si la frontière a da=s

de S est quelconque, il n’en es a de même ; on sait du reste que deux domaines plans conformément équivalents peuvent avoir des frontières très différentes (par exemple, un domaine dont la frontière est totalement discontinue peut être appliqué sur un domaine borné (*)). Si S est simplement connexe, les éléments-frontière de Martin coïncident avec les bouts-premiers ; d’une façon générale, la frontière de Martin apparaît comme la « frontière conforme » de la surface de Riemann $. Aussi est-ce à elle que nous réserverons dans la suite la notation l et le nom de frontière idéale (*).

11. D'autre part, le théorème 7 nous montre que la frontière de Martin d'une surface de Riemann $ ne dépend pas de la surface tout entière, mais seulement de l'extérieur d’un compact (d’ailleurs arbitraire) de $ : si l'on peut trouver, sur deux surfaces de Riemann S' et S° des domaines canoniques $; € S' et S; c S° tels que S — S, et S°— 5, soient en correspondance biunivoque et conforme, S' et S° ont même frontière de Martin. Cela résulte de la proposition plus générale suivante :

Soit S, un domaine canonique d’une surface de Riemann hyperbo-

ligue S ; soient G;(1 Lim) les domaines composants de $ —$,, el soit C® la frontière de G; dans S. La frontière de Martin T de S est la réunion d’'ensembles fermés disjoints V, dont chacun est homéomorphe

(2) Cf. L. Auzrors et À. BeurziNG [1], remarques finales. (#3) Il est à remarquer que la frontière de Marrin ne dépend qu’en apparence du point a choisi sur S. En effet, si on remplace a par b, on obtient comme limites de fonctions de

GREEN nrmalisées les fonctions K,(p, s) — ds : L'espace topologique [ est donc Ke S indépendant du point a. Si y, est la mesure canonique associée à u, lorsque le point de

référence est a, on a duy(s) — K(b, s)du(s), de sorte que la mesure K,(p, s)du.(s) ne

dépend pas de a.

5o M. PARREAU

à la partie T® de la frontière de Martin de G; qui n'est pas identifiable à C0).

Remarquons d’abord que les résultats du théorème 7 et de la remarque 1 qui le suit s'étendent aux fonctions harmoniques positives sur S réguhères sauf en des singularités isolées (il suffit d'appliquer ce théorème à la surface obtenue en ôtant de $ ces singularités). Par exemple, si ges — S,, g(p, q) se trouve ainsi définie par

9(P+ 9) — Hi. WP), et est égale, comme nous l'avons vu plus haut, à la fonction de Green de pôle q de S —S$ ; elle est donc nulle dans tout G; ne contenant pas q. S1 (g,) est une suite déterminante d'un élément sel, K(p, 9.) == JP: 4) tend vers K(p; s), puisque K(p, q,) tend vers

(a+ Qn) ; K(p, s) uniformément sur tout compact. Or, K(p, q,)—0 si p

n'appartient pas à la composante connexe de q, dans S—$, ; par conséquent, les points q, appartiennent au même domaine G; à partir d’un certain rang, car s’il y avait deux domaines G; contenant une

infinité de q,, K(p; s) serait identiquement nulle, donc aussi K(p,s), ce qui est absurde, puisque K(a, s)— 1.

On en déduit que, pour i£ j, G:lb n G1lb — ÿ (sans quoi il existerait un sel' qui aurait une suite erminente dans G:; et une autre dans G;j); si l’on pose FT an Gb, (T°), cn constitue une partition de l'en ensembles fermés disjoints (qui sont donc ouverts dans l).

S1nous appliquons ce qui précède à un domaine G;, nous voyons que la frontière de Martin de la surface de Riemann G; se décompose en deux ensembles fermés disjoints, dont l’un est homéomorphe à C(: nous appellerons l’autre T°. Soit alors (q,) une suite déterminante dans S, qui tend vers sel',; nous supposerons que tous les g, sont

JCP; Gn) … K(P; U)

dans G;, ainsi que le point a. Comme rie K(p, 5) JP 7 K(a, qi)

=: \ on voit que (q,) est également une suite déterminante dans K(a, s

G;, et qu’à l'élément-frontière sel"; correspond un élément-frontière

K(p. s), K(a, s) un raisonnement tout à fait analogue, que toute suite déterminante dans G; qui ne tend pas vers un point de C® est une suite détermi-

tend vers

s'eT®, défini par la fonction = Inversement, on peut voir, par

nante dans S, et qu'à tout s'el ® est associé un élément s de l. La correspondance biunivoque ainsi établie entre l,et T® est visiblement bicontinue ; on peut identifier ces deux ensembles.

Plus généralement, soit D un domaine de S. On peut définir la « frontière idéale de D relativement à S » (au sens de Martin) par F(D)=F n Ddb; c’est un sous-ensemble fermé de F, qui est vide si D est relativement compact, et qui est également ouvert dans d'après ce qui précède, si D est &non compact », mais à frontière compacte.

Revenons alors à la frontière idéale de Kerekjarto-Stoïlow ; soit « un élément de cette frontière, défini par une base de filtre D (x) formée de domaines «non compacts » à frontière compacte. Nous poserons GED): comme ([ )D—r: on a aussi l'(x)

pes DEGX«)

1 D) Ab, La première égalité montre que I (+) est l'intersection

DE) d’ensembles à la fois ouverts et fermés dans l'; la dernière, que T(2) est connexe. Il en résulte que l'() est une composante connexe de l.-En outre, si2=£f, l'(x) n l($)—9, car on peut toujours trouver De (x) et De) tels que D, n D, —#("), ce qui entraîne, comme nous l'avons vu, que DAb na Ddb—#. La frontière de Kerekjarto- Sloïilow est donc l’espace quotient de T par la relation d'équivalence dont les classes sont les composantes connexes de T'.

12. Si à est un élément de première espèce, c'est-à-dire si ®(2) contient un domaine quasi simple D, le théorème de représentation conforme de Kœbe (*) permet de prolonger S en une surface de Riemann S’ pour laquelle l’élément-frontière + a disparu : l'(2) est ainsi identifiable à la frontière de Martin du complémentaire d’un compact du plan complexe. En particulier, si x est isolé, on peut choisir D doublement connexe, de sorte que l'(x) se réduira à un point isolé si D est parabolique, et sera homéomorphe à une courbe simple fermée si D est hyperbolique (on dira que z est parabolique dans le premier cas, hyperbolique dans le second).

Considérons maintenant la surface de revêtement universel S deS, et le groupe automorphe ( correspondant (nous supposerons que Sest (##) En effet, si (S,) est une exhaustion canonique de S, on peut toujours prendre pour

x) un ensemble de domaines composants d’ouverts É S, cf. Sroizow [1], p. 87). (5) Kæse [r]. Voir aussi Farou (Fonctions automorphes, Paris, 1931), etc.

52 M. PARREAU

le cercle unité {| 1{, cf. n° 8). On sait (**) que les éléments-frontière isolés de Kerekjarto-Stoïlow sont associés de façon biunivoque aux classes mod y de points doubles de substitutions paraboliques, s'ils sont paraboliques, aux classes d’arcs complètement réguliers

de Le 1?,s'ils sont hyperboliques (un point-frontière de S est dit régulier si (e y est encore proprement discontinu et un arc ouvert de {!:|— 1} est dit complètement régulier si tous ses points sont réguliers et si ses extrémités sont les points doubles d’une même substitution hyperbolique de G).

Plus généralement, nous allons montrer qu’à toute classe de points réguliers de ele I s , et à toute classe de points doubles de substitutions paraboliques, correspond un point-frontière de Martin. Nous utiliserons pour cela le lemme suivant, dans lequel g(z, €) et K(:, €) désignent. la fonction de Green et la fonction de Martin relatives à S (°) :

LEemmEe. — Soit ca un point-frontière du cercle unité. Pour O<Tp<Tr<1, il existe une constante À, ne dépendant que de reto,

telle que pour |z|<< 1, |2—6 > r, et El 1, Ê —E€,|< pon ait.

Si Ÿ, est un point régulier, il existe un voisinage de 7, dans S où la fonction p(z) (projection de S sur S) est univalente: pour z donné, on pourra supposer, en restreignant au besoin ce voisinage,

qu'il ne contient pas les points Tz(TeG). Comme g(p(z), p(o)) — D yTE MO) EM sene K(Tz, {), où 2 est fixé, TEG TE

converge uniformément en * pour {<< 1 et|{ — {,|assez petit, d’après. (1);elle représente donc une fonction harmonique de z. Lorsque|?|<< 1 KUTET on à (3) = ( ) K(T(o),. € p(o). Si —{,, la fonction (3) converge simplement (donc uniforÿ & K {Arte mément sur tout compact de S) vers HER donc p(£) tend

— K(p(z), p(Q)), si l'on prend pour a le point

(#5) Cf. Kæss (Acta Math., Lo, 1916, p. 250), L. Bresersaca (Lehrbuch der Funktionen-theorie, IL, Berlin, 1927), G. Juzia (Leçons sur la représentation conforme des. domaines multiplement connexes, Paris, 1934) pour les domaines plans, M. Onrsura [1] pour les surfaces de RrEmanx.

(#7) Ge lemme se rattache aux considérations de M. BreLor [8] sur l’activité de la frontière. Nous la démontrerons plus loin sous une forme plus générale (n° 17, inégalité 1).

vers un point-frontière de Martin s(E, ). De plus, le même raisonnement montre que si (= 1 et —6,, s(f) tend vers s(£,). Enfin. si appartient au même arc régulier que &,, et n’est pas équivalent at, suivant G, s(£) £s(t dcr Linéalita 1) permet encore de voir que K(p(2), s(£)) reste bornée quand z—€,. Il en résulte que les s(1) associés aux points d’un même arc régulier forment un sous-ensemble de l homéomorphe à un arc de courbe simple.

Si €, est le point double d’une substitution parabolique T, (dont nous supposerons qu'elle engendre le sous-groupe G) des substitutions paraboliques de G ayant pour point double €), on a

(4) KT, ARR K (2, To): La série (2) ne converge plus, mais il suf-

fira de considérer la série (5) 2 K(Tz, £,), où 96 est un ensemble de en RS 1E76 substitutions linéaires ayant un représentant et un seul dans chaque

classe à droite modulo + Or, la série (5) converge, car si z est donné, on peut toujours choisir 46 de façon que Tz reste hors d’un voisinage de &,, lorsque Te6. La fonction harmonique représentée par (5), automorphe d'après(4). est une fonction harmonique mimmale de p(2), donc définit un point-frontière de Martin, dont on vérifie aisément qu'il est isolé.

4, — Application à la Classification

13. Classes absolues. — Nous allons maintenant appliquer des résultats du début de ce chapitre à la classification des surfaces de Riemann, en définissant de nouvelles classes et en examinant leurs relations avec celles que nous connaissons déjà(*). Nous commencerons par les classes (absolues », c’est-à-dire définies au moyen de fonctions harmoniques sur la surface entière. Dans tout ce qui suit, d désignera une fonction convexe et strictement croissante dans [o, + |, ef « un exposant > 1.

Dérinirion 1. — Nous dirons qu'un surface de Riemann S appartient à la classe Crus (resp. Cnms Cnr; Cr) st éoule fonction harmonique uniforme qui a ses moyennes d'ordre ® bornées sur S (resp. qui a ses moyennes d’odre x bornées, qui est bornée, qui a une intégrale de Dirichelet finie) est constante, autrement dit si (HM) (resp. (HM,,), (HB), (HD)), est de dimension 1.

Cam, est encore la classe des surfaces de Riemann sur lesquelles.

(#8) Voir Sarro [2].

54 M. PARREAU

toute fonction harmonique positive est constante. D'après le critère d’hyperbolicité de Brelot, (chap. 11, n° 2), toute surface parabolique possède cette propriété, de sorte que €, € Cum, (*): d'autre part, on a vu plus haut que (HB) c (HM,,) < (HM,) pour toute fonction du type indiqué, et que (HM,,) = (HM:) pour «<< $, et (HD) € (HM,). donc Cum, € Cam S1 4 LP, et Cam, € Can.

Il est clair que d et kb + / (k et / constantes) définissent la même

TE Le Œ(é : = classe de surfaces ; en particulier, si lim PC) O0 Cote CM > +

14. Classes « relatives ». — A chaque classe & absolue » on peut associer une classe relative définie de façon analogue, mais à partir de fonctions qui n'existent que dans un voisinage de Ja frontière idéale, et qui s'annulent sur le bord de ce voisinage.

Dérinirion 2. — Soit S une surface de Riemann, S, un domaine canonique de S, de bord C,. On dira que S appartient à la classe «relative » Cu (resp. Coms Cr: Cp) st l’espace vectoriel (H,M4) (resp. (HM,), (H,B). (H,D)) est réduit à 10}, c’est-à-dire si toute fonction harmonique dans $ —$S, nulle sur C, et à moyennes d'ordre bornées dans S—S, (resp. à moyennes d'ordre x bornées, bornée, à intégrale de Dirichlet finie) est identiquement nulle.

Les théorèmes 5 et 7 montrent que cette propriété ne dépend pas du domaine $, choisi. Plus précisement, le théorème 5 est équivalent au suivant :

Taéorème. — Les classes relatives Camus: Cas: Cp sont identiques à la classe ©, des surfaces de Riemann paraboliques.

CoroLLAIRE. — Les classes relatives sont contenues dans les classes absolues correspondantes.

Cela peut d’ailleurs se voir directement, car ue(HM;) implique

I S—S —(o—H-*)HMs).

Remarquons que le théorème précédent ne serait plus vrai pour Cam, Si l’on avait défini (H,M,) comme l’espace vectoriel des fonctions harmoniques dans $ —$S, nulles sur C, et telles que lu! admette une majorante harmonique.

Revenons aux classes absolues. Si SeCrm,, deux cas se présentent :

ou SeC,, et (HM;)—{o}, ou S est hyperbolique, et, en vertu du

(#) Cette inégalité est due à P. J. Myrserc [1].

théorème 7, (H,M%) est isomorphe à (HM%), donc est de dimension 1. Dans les deux cas, si w est la « mesure harmonique de la

frontière idéale » par rapport à S—S,, (H,M,) est l’ensemble des. fonctions kw, où 4 est une constante réelle. Nous sommes ainsi conduits aux critères suivants, donnés par R. Nevanlinna [6] et L. Sario [4] pour Cus et Cup.

CRITÈRE 1! (Nevanlinna). — Pour qu'une surface de Riemann $S appartienne à Cam à faut et il suffit que loute fonction har monique

dans S —S$, nulle sur G, et à moyennes d'ordre bornées dans S — $

Ô soil Droportionnelle à à w.

CRirÈèRE 2 (Sario). — Pour qu'une surface de Riemann $ appartienne à Camus ü faut et il suffit que toute fonction ue(H M4) telle que de ds —0 soit identiquement nulle.

Co 07

En effet, soc si w=Z0. D'autre part, si la condition est

remplie, et si PA est hyperbolique, soit ue(H M) : il existe uneconstante À telle que u— ho ait un flux nul à travers C,. On a

alors u— kw, car —( — ko)e(H,M).

15. Surfaces de genre fini. — Lorsque $ est de genre fini, on peut. toujours la considérer comme immergée dans une surface de Riemann close S*. On sait qu'il y a alors équivalence entre l'appartenance de S à une classe relative et la possibilité de prolonger harmoniquement sur S*— S — E toute fonction harmonique définie au voisinage de E dans S et possédant la propriété de borne qui entre dans la définition de la classe relative (*”). Voyons-le ici pour les classes Crms- Soit Sune surface de Riemann de genre fini appartenant à Cam, ©'est-à-dire parabolique (E est alors polaire), S, un domaine canonique de $, de bord C,, et u une fonction harmonique dans S$ — $, (donc aussi

sur C,) et à moyennes d'ordre bornées dans So Soit G l’ouvert S*—S,, et u— HS; la fonction —(ù—), nulle sur C,,

appartient à (H,M3), puisque v est bornée dans G; elle est donc:

(50) C’est la notion d’ « Hebbarkeit » de Sarro [x], [4)).

56 M. PARREAU

identiquement nulle et v, égale à u dans G—EÆ, constitue un prolongement harmonique de u sur E.

: P(4 : x Lorsque lim LOPRTEU on peut encore exprimer ceci de la > + l façon suivante (compte tenu du théorème 6 ?*) HÉORÈME ©. — Soi E un ensemble compact e olaire d’une T 8 Soit E bl pact et l d

surface de Riemann S, et soit u une fonction harmonique définie -dans [E au voisinage de E, et telle que ® (|u]) admette une majorante harmonique pour une fonclion % satisfaisant à la condition

lim ee th Er D quement sur E (°”).

Nous rappellerons aussi que pour les surfaces de genre fini, les classes absolues sont confondues avec les classes relatives (**). En effet, soit S une surface de Riemann hyperbolique contenue dans une surface close S*, et S, un domaine canonique de S. L'ensemble E—S*—S$ étant de capacité © o, on peut trouver une mesure de Radon y portée par E, de masse totale nulle, et dont le potentiel de

— + 0. Alors la fonction u est prolongeable harmoni-

Green dans S* —S$, est borné (ce qui implique que y est d'énergie finie) ; la restriction de ce potentiel à S — S$, est une fonction harmonique bornée et à intégrale de Dirichlet finie, nulle sur le bord C, de S,, et de flux nul à travers C,. Il résulte alors du critère n° 2 donné plus haut que SéCur et SéCnn : a fortiori SéCum,. Donc :

Taéorème. — Si % désigne l’ensemble des surfaces Riemann de genre fini, on a #0 Camy —% n €, pour toute fonction D convexe et. -croissante.

16. Le résultat précédent ne s'étend pas aux surfaces de genre infini. Pour ces surfaces, l’hyperbolicité n’entraîne pas forcément l'existence de fonctions harmoniques bornées (ou à intégrale de Dirichlet finie) non constantes.

Lorsque S est hyperbolique et appartient à Cu, la fonction 1, -qui est alors minimale, d’après la définition même de Cyy, définit un élément-frontière de Martin s, [voir section 2, n° 10, note er tel que K(p,s,)—1. La mesure de Martin », (mesure canonique

(51) Le théorème est encore vrai si l’on suppose seulement E fermé dans S, d’après le théorème 2 de M. BreLor [3], et le théorème 14 établi plus loin.

(62) L. Sario [2].

associée à la fonction 1) se réduit donc à la masse ponctuelle e,,, et par conséquent toute partie de la frontière de Martin l qui ne contient pas le point s, est de mesure harmonique nulle. En particuber, soit S, un domaine canonique de S$, et soient G(1 Li< m)

les domaines composants de S—S$S,; K(p,s,)—w est la mesure

harmonique de par rapport à S—$,, et vaut dans chaque G; la mesure harmonique de I(G:;) par rapport à G;. Or on a vu au n° 11 que K(p, $,)—0 dans tous les G; sauf un seul, celui dont l’adhérence dans S contient s. L'ouvert S—S, à donc une seule composante hyperbolique. Autrement dit, s'il existe sur une surface de Riemann S deux domaines non compacts à frontière compacte qui sont hyperboliques, S&Cur (°?).

Lorsque SeCam,, toute fonction harmonique positive sur $S est une constante. Si S est de plus hyperbolique, on a alors K(p, s)—1 pour tout sel", puisque K(a, s)— 1 ; donc F—fs,{. Par conséquent, une condition nécessaire et suffisante pour que SéC, appartienne à

Cum, sera que aie: — 1 (la limite étant prise suivant le filtre a=rg(a, q) l

des complémentaires des parties relativement compactes de S). A fortiori, S n'a qu'un élément-frontière de Kerekjarto-Stoïlow, de sorte que le complémentaire de tout domaine canonique est connexe ; tout domaine non compact à frontière compacte est un voisinage de la frontière idéale. Donc :

Tuéorème. — Si une surface hyperbolique a une frontière de Martin non connexe, elle n'appartient pas à Cru:

On peut donner de ce théorème une démonstration directe : soit 5, un domaine canonique de S, tel que $ —S, ait deux composantes connexes G, et G, ; l’une au moins, G, par exemple, est hyperbolique. Soit GC; la frontière dans S de Gj{i— 1,2); il existe dans G, une fonction harmonique positive À, nulle sur C,, et dans G, une fonction harmonique positive k, nulle sur C, ; on peut toujours supposer que = ds — 0. Le procédé alterné de Sario nous permet alors i=1, i de construire une fonction harmonique À sur S telle que |} — h;| soit borné dans G;; À est donc bornée inférieurement, et SéCum,.

En particulier si €, -£Cur, Cum (ms, Car on peut toujours construire des surfaces hyperboliques dont la frontière de Martin n'est

(53) L. Sarro [4].

58 M. PARREAU

pas connexe. Par exemple, si SeCup, soit S'—S —); A: , Où q, estunm point quelconque de S. Toute fonction harmonique bornée sur 5 étant harmoniquement prolongeable sur q,, S'ECns; mais S'éCrm,, Car g(p: q) est une fonction harmonique positive non triviale sur 5’.

17. Domaines «non compacts ». — Plusieurs des résultats précédents, notamment le théorème 6 et les deux critères qui en découlent, nous ont montré l'importance pour la classification des surfaces de: Riemann des propriétés des domaines non relativement compacts à frontière compacte situés sur ces surfaces. Nous allons voir que ces résultats s'étendent en partie aux domaines (non compacts » à frontière quelconque.

Dérinirion 3. — Soit sur une surface de Riemann S un domaine G dont la frontière CG est très régulière (par exemple consiste en un ensemble localement fini de courbes analytiques). Nous dirons que G appartient à la classe de domaines D (resp. Din, Dioue) SÈ toute fonction harmonique dans G qui s’annule sur CG et qui est bornée (resp. à intégrale de Dirichlet finie, à moyennes d'ordre & bornées dans G) est identiquement nulle.

Si P(D—t{ (x > 1), la classe PA, correspondante sera notée: Dr, : lorsque $ sera fixée, on omettra l'indice supérieur $.

Toutes les classes ainsi définies contiennent les domaines relativement compacts très réguliers de $ ; elles ont entre elles les relations d’inclusion évidentes Davy € Dai: Dam, € Dry pour 1 La L 2. De plus, la classe D se confond avec celle des domaines très. réguliers paraboliques (chap.1r, n°3), d’après le principe dumaximum.

Dym, ne contient que des domaines relativement compacts, car. dans tout domaine (non compact » très régulier G d’une surface de. Riemann $, il existe une fonction harmonique positive s’annulant régulièrement à la frontière.

En effet, soient S, et S, deux domaines canoniques de S, tels quérs,sS,r.et.soit G Ja fronhere/de Sa =0Gas ver ÉE [S il existe une constante M telle que :

PRE: ; DR Da GPA M pour p et aeG, et geG:.

Puisque g(p, q: G) s’annule sur C, il suffit de prouver (1) pour pet, == Gin Ge Of C, ne rencontre C qu'en un nombre fini de points, pour chacun desquels il existe un voisinage où a lieu une inégalité de genre indiqué, puisque G est très régulier (chap. 1, n°8).

La partie de y, extérieure à ces voisinages est relativement compacte dans G, on peut donc lui appliquer le théorème de Harnack, qui donne encore une inégalité analogue ; en rassemblant ces résultats, on obtient la formule annoncée.

Soit alors (g,) une suite de Cauchy pour la structure uniforme de Martin de G, n'ayant pas de point d’accumulation dans $, et soit s

l'élément frontière qu'elle définit. K(p,s; G)— lim K(p, 4,; G) est inférieure à M dans G,, donc s’annule sur CnG,; comme G, est arbitraire, K(p, s ; G) s’annule sur C.

Ün raisonnement analogue nous montre que si une fonction u sousharmonique dans G et qui s’annule sur C admet une majorante harmonique, sa plus petite majorante harmonique U s’annule aussi sur C. En effet, soit (S,) une exhaustion canonique de S, et G,—= Gn$,; si (u, o) désigne la fonction égale à u dans G et à o sur G, U est la limite de la suite croissante de fonctions U,—H}, ; or, en toul point reC, il existe un voisinage V de r'tel que pour peV n G (et n assez grand) on ait U,(p) << M. U,(a) (aeG). U,(p) est donc bornée au voisinage de r par M. U(a), et par conséquent s’annule au point r.

Ceci nous montre en particulier que toute fonction harmonique dans G qui s’annule sur C et qui est bornée (resp. à intégrale de Dirichlet finie, à moyennes d'ordre bornées dans G) est la différence de deux fonctions harmoniques positives, nulles sur C, et ayant la même propriété de borne (voir plus haut, n°5). Dans la définition 3, on peut donc imposer aux fonctions harmoniques considérées la condition d’être positives.

THéoRèME 9. — Pour qu'une surface de Riemann S appartienne à Cure (resp. Cnn), & faut et il suffit que pour tout couple de domaines très réguliers G,, G,, tels que G, n G,—#, l’un au moins appartienne

De B (resp. à. 1) (6).

He Re aube est évidente, car si S&Cnr (resp. Cap) la condition indiquée n'est pas remplie; en effet, si ue(HB) (resp. (HD)) n’est pas constante, soit ktune valeur prise par w, et telle que la courbe de niveau {u—k} ne passe pas par un point où grad u— 0; les ouverts Îu Et ki et fu LS k} ne sont pas vides, et aucune de leurs composantes connexes n'appartient à D (resp. Dip).

(5%) Pour Cyy, ce théorème al été donné indépendamment par R. Nevanzinxa [7] et H. L. Roypex [1]. Voir aussi À. Mort [1].

60 M. PARREAU

Inversement, montrons que s’il existe sur S deux domaines hyperboliques G, et G, d’intersection vide, SÉ Cas AO OL to le A PDU mesure en monique de l'(G;) par rapport à G;, (6;, 0) — w; la fonction

sur S égale à w, dans G;, à o dans [ G;; w; est sousharmonique sur

S (chap. 1, n° 6) et 1, elle a donc une plus petite majorante harmonique Q, < 1 ; de plus w, =£ o implique sup w;— 1, et a fortiori Gi

sup Q,—1. Comme G,nG,—9, wi<wz est < 1, et par suite S

Q + Q,< 1 ; les fonctions Q, et Q, ne peuvent donc être constantes. Pour démontrer le théorème pour Cu, nous avons besoin du lemme suivant :

LEemme. — Soit u une fonction sousharmonique sur une surface de Riemann S, continue sur S et continûment différentiable sauf sur un ensemble localement fini de courbes régulières ou de points. Alors,

Ds(u) < + w,u a des majorantes harmoniques et sa plus petite majorante harmonique U vérifie l'inégalité D$(U) < Ds(u).

La dernière partie est immédiate, d’après le thérème de minimum déjà utilisé plusieurs fois. En effet, Soit (S,) une exhaustion de $, U, la meilleure majorante harmonique de u dans S,; on a D,(U,) < Ds,(u) <'D(u) et on en déduit, comme au n° 5, que DS(U) < Du). Reste à voir que U existe. Supposons d’abord que w soit nulle dans un ouvert A ; soit S, un domaine canonique de $, tel que S, c A ; l’exhaustion (S,) sera choisie de façon que S,=S8,. Soit alors NS == HT PSN Om AV uv EDS Vapeur) Les fonctions V,, qui s’annulent sur le bord C, de S, et ont leurs intégrales de Dirichlet uniformément bornées, forment une suite normale (**) donc convergent vers une fonction harmonique V nulle

sur C,. Le théorème 7 nous montre alors que V—U est la plus petite majorante harmonique de x sur S. On passe au cas général en appliquant le résultat précédent à (u — k)*, où k est le maximum de u sur un compact de S d'intérieur non vide.

Revenons au théorème à démontrer, et supposons que sur SéCun il existe deux domaines très réguliers Fa et G,, ne se rencontrant pas, et dont aucun n'appartient à D}. Il existe dans chaque Gi(i=— 1, 2) une fonction harmonique u; > o vérifiant DG{u;) << © ; ui —(u;, 0) est sousharmonique sur $ et remplit les conditions du lemme, puisque D(u;) — Du), elle a donc une plus petite majo-

(55) S. Srorzow [1], chap. 11, p. 46.

MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES 6r

rante harmonique U, à intégrale de Dirichlet finie, qui est constante du fait que SeCun. Il résulte que u; est bornée ; en la multipliant au besoin par une constante, on peut toujours faire en sorte que

supiu,— 1 6t alors 1. Mais ui Eur, donc U -ÆU,< 1, Gi 2

d’où contradiction.

18. D'autre part, les théorèmes 6 et 6 peuvent être généralisés de la façon suivante :

TaéorèMe 10. — Soit G un domaine non compact très régulier d'une surface de RiemannS, et ({) une fonction croissante et convexe

pour 0 t<T+ w, telle que lim Eee —+- 0. S'il existe dans G > +o l üne fonction harmonique u non constante qui s'annule à la frontière C de G, et telle que d (lu) ail une majorante harmonique, G est hyperbolique. En d'autres termes, pour une fonction ® satisfaisant à la condition indiquée, on à Das, —= Dir Nous supposerons que u est s dans G (ce qui est toujours

possible, d’après une remarque faite au numéro précédent) et que P(o)—0o. Nous avons vu que U — p(u) s’annule également sur C. Soit (S,) une exhaustion canonique de S, G,—G 0 S,, w,— Hi {où 9 —0 sur C et o — 1 dans G); pour que G soit hyperbolique, . Al faut et il suffit que lim 6, —w soit >> 0. Or, si C, est la frontière de

‘Set si y, —C, n G, on a pour aëS, (d'après la formule de Green):

u(a) — fu dy,, U(a) — £ Udy ;u.(a)—= : dy MIpntePe) se

en posant sur y, dy, Rs < int

Appliquons alors l'inégalité de Jensen ; nous obtenons :

fi udy, ch d(udy, — f Udrs re

u(a)\ U(a) . w,(a) P(A DR ve (a étant fixé dans G), on voit ainsi que C ) reste bornée; d’après la condition 1 imposée à D, 1l en est de même de },, ;

soit encore : |

62 M. PARREAU

donc w,(a) reste supérieur à une constante strictement positive, G'OHF4D;

Les théorèmes 9 et 10 nous donnent immédiatement :

Taéorème 11. — Si d est une fonction croissante el convexe telle (4 are | que lim Fo + 00, da classe Crmy coïncide avec Cu. L> +

Il suffit de montrer que Cr € Camp: Or, soit S une surface de Riemann EC : il existe sur S une fonction harmonique 4 > 0, non constante, appartenant à (HM;,). Si inf u(p) < k <Z sup u(p), soit G.

Es pES un domaine composant de fu > k?, G, un domaine composant de iu > k ;: G, et G, sont hyperboliques et ne se rencontrent pas, donc SéCns-

CorozLaiRE 1. —- Pour touts >> 1, Cum, — Cne-

CorozzaiRe 2 (Théorème de Virtanen-Royden). — S'il existe sur une surface de Riemann S une fonction harmonique non constante à intégrale de Dirichlet finie, S n'appartient pas à Cas (”)-

En effet, Ce — Cam, € Cap.

19. Décomposition canonique d’une fonction harmonique positive. — Soit S une surface hyperbolique, une fonction harmonique positive sur S. La famille des fonctions harmoniques sur S bornées

et inférieures à w est filtrante pour <, car si À, et À, sont deux telles

fonctions, sup(4,, À) est bornée et inférieure à u, et majore h, et A,. L'enveloppe supérieure de cette famille est donc harmonique (chap. IT, n° 5); nous la noterons ug.

On peut encore définir ux de la façon suivante: pour n— 1, 2, … soit À, la plus grande minorante harmonique de la fonction surharmonique positive inf(u, n); la suite (A,) étant croissante et majorée par & a une limite h, , qui est égale à us. En effet, À, < us a priori;

d'autre part, si À est bornée par M et inférieure à u, on a Ah, pour n > M, donc h< h, , de sorte ques Sup he PINS

h Lu, RE(HB) généralement, le même raisonnement montre que si (k,) est une suite croissante de nombres posiüfs ayant pour limite + w, on a

(1) ug— lim inf(u, k,).

C5) KL. Virraxex [1], H. L. Rovpex [1].

On en déduit aussitôt les trois propositions suivantes :