L'opération u — us est additive

Soient uw et v deux fonctions harmoniques positives ; on vérifie aisément que :

inf(u—v, n) <inf(u, n) Linf(v, n) L inf(u Lv, 2n).

Les mêmes inégalités ont lieu entre les plus grandes minorantes harmoniques ; à la limite, on obtient (u Lv)r — ur + Ve.

D Pour QU Oomallus = U; 1 faut et il suffit que u soit la limile d'une suite croissante de fonctions harmoniques bornées.

C'est nécessaire, puisque uÿ—lim h,, et c'est suffisant, car

sup h est alors > u.

h<u, RE(HB)

3. Pour que us —0o, ül faut et il suffit que inf (u,1) ait sa plus grande minorante harmonique nulle, donc soit un potentiel de Green.

C'est évidemment nécessaire, puisque À, — inf(u, 1) <uü ; inversement, cela suflit, car u => o implique imf(u, n)<inf(nu, n), d'où Rens

Dérinrrion : Nous dirons qu'une fonction harmonique positive u est quasi-bornée (resp. singulière) si elle satisfait à us — u (resp. up — 0).

Il résulte immédiatement des propositions précédentes que (ur)r — us et que (u — ur} — 0: Posons u — ur — us. us est définie par (2) us — lim er. puisque u — h, est visiblement la plus

petite majorante harmonique commune à u — n et zéro. Les formules (1) et (2) montrent que uk et us sont des fonctions croissantes de u. En particulier, toute fonction harmonique positive quasi bornée (resp. singulière) qui minore u est inférieure à ug (resp. us). Si donc u—v—#w, v étant > 0 et quasi bornée, et w => 0 et singulière, on a v— ur et w —us. Donc

Taéorème 19. — Toule fonction harmonique positive sur une surface de Riemann S se décompose d’une seule manière en la somme d’une fonction harmonique quasi bornée et d’une fonction harmonique singulière.

Remarques. — 1) Le théorème 12 est l'application à (HM,) d'un théorème de F. Riesz (*‘) qui peut être énoncé comme suit : dans un espace de Riesz complètement réticulé, soit F une « famille complète »

‘éléments positifs de E (on appelle ainsi une famille qui contient les

(7) F. Resz [3], J. Dreunoxxé [1]. Voir aussi N. BourBaxi, Intégration, chap. 1. Dans la terminologie de N. BourBaxt, une famille complète (généralisée) est appelée une bande.

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minorants >> o de ses éléments, leurs sommes’ finies, et les bornes: supérieures de ses parties majorées) : tout élément positif de E est la somme d’un élément de F et d'un élément disjoint de F. Ici l’ensemble des fonctions quasi bornées n'est autre que la famille complète F (1) engendrée par la fonction 1 ; une fonction singulière est une fonction disjointe de F(1).

2) Les notions précédentes peuvent être étendues aux différences. de fonctions harmoniques positives. On dira qu'une fonction: ue(HM) est quasi bornée (resp. singulière) si (ul l’est. Le théorème 12 est alors valable pour toute fonction de (HM,).

Appliquons ce qui précède à la représentation canonique de Martin ; soit », la mesure canonique associée à 4. Comme la correspondance u— y, est linéaire et croissante, toute mesure canonique associée à une fonction quasi bornée appartient à la famille complète engendrée (dans l’espace des mesures de Radon sur [' (*)) par la mesure de Martin »,. D'après le théorème de Lebesgue-Nikodym, dy, est alors. de la forme fd,, avec f,-sommable. La réciproque étant évidente, on:

THéorèmME 13. — Pour qu'une fonction harmonique ue(HM,) soit quasi bornée, il faut et ul suffit que sa représentation canonique soit de la

forme u(p)— f, K(p:5) J(s) d, (s), f étant une fonction », -sommable sur l'.

Il est clair que dans l'intégrale précédente, on peut remplacer f par toute fonction qui lui est égale »,-presque partout, et seulement par une telle fonction. Chaque fonction harmonique quasi bornée détermine donc une classe de fonctions équivalentes pour »,, et réciproquement, de sorte que l'espace des fonctions harmoniques quasi-bornées est isomorphe (en tant qu’espace de Riesz et aussi en tant qu'espace normé) à l'espace L'(T, »,) des classes de fonctions -sommables définies dans F (*).

20. Revenens à la classification des surfaces de Riemann. La notion de fonction quasi bornée permet de donner de la classe Cys une définition en apparence plus générale : pour qu'une surface S appar-

(5) Car l’ensemble des mesures canoniques est lui-même une famille complète. (5?) La fonction /(s) ainsi associée à u ne dépend pas (à une équivalence près) du point.

de référence a. En effet, u(p) = f.K(p: s)f(s)dv(s), et K(p, s)dv(s) ne dépend pas de:

a (note 43). On peut considérer u, dans une certaine mesure, comme la solution du problème de DrrioLuer pour $, avec donnée f sur l.

tienne à Cup. il faut que toute fonction harmonique quasi bornée qui y est définie soit une constante. Dans ces conditions, le théorème 11 se trouve être la conséquence du suivant, qui en précise les résultats :

TaéorèMe 14. — Soit P({) une fonclion croissante et convexe

pour t > 0, telle que lim = —+ ©. Toule fonction harmonique u

> + © sur une surface de Riemann S qui a ses moyennes d’ordes bornées sur S est quasi bornée, et la plus petile majorante harmonique de œ(|u! l'est également. Si D, (u) << + vw, u est la limite d’une suite (croissante situ > 0) de fonctions harmoniques bornées et à intégrale de Dirichlet fine.

Il suffit de démontrer le théorème pour les fonctions harmoniques positives. Soit 4 une fonction positive de (HM4), non nulle. Si u 1, l'affirmation de l'énoncé est évidente. Sinon, soit G un domaine composant de { UT : 1l est hyperbolique, d’après le théorème 10. Soit w la mesure harmonique de la frontière idéale par rapport à G. w’ son prolongement à S prenant la valeur o dans

0 DRE = G; w’ est sousharmonique et inférieure à inf{u, 1), donc

oh, —= Mie, 1). Ainsi ug est =>o dès que w n'est pas nulle. Appliquons alors le résultat à us, qui appartient aussi à (HM;) puisqu'elle est majorée par u ; nous obtenons us — 0, de sorte que u est quasi bornée.

Si u >o est la limite d’une suite croissante (u,) de fonctions

harmoniques positives bornées, (a) est la limite de la suite croissante (Œ(u,) ): en effet, F(a, \< TO et lim Du, ) majore Du). (a) est donc également quasi bornée.

Enfin, si ? Ds(u) <T + w, le lemme donné au cours de la démonstration du théorème gnous montre que Ds(h,) <D(inf(u,n)) <Ds(u)(°°)

Taéorème 15. — Soit u une fonction harmonique quasi bornée,

dont la représentation canonique est u or K(p, s)f(s)d,(s), et soit ® une fonclion convexe, non constante et croissante dans l’intervalle [o, + co [. Pour que u appartienne à (HM%), ü faut et il suffit

(5) On précise ainsi le résultat de VrrTaxex et Roxpex, selon lequel il existe sur toute surface &Cyn une fonction harmonique non constante bornée et à intégrale de Dirichlet.

finie.

66 M. PARREAU

que ® (|f\) soit v,-sommable ; la plus petite majorante harmonique U de D(u) est alors donnée par U(p) ue K(p, s)P(|f{s)) d,(s).

La nécessité de cette condition résulte de ce que l’espace des fonctions harmoniques quasi bornées est isomorphe (comme espace vectoriel ordonné) à l’espace des mesures (canoniques) « régulières » par rapport à »,, ou encore à L'(l", »,), comme nous l’avons vu à la fin du n° précédent. A la borne supérieure (**) d'une famille majorée de fonctions quasi bornées correspond donc la borne supérieure des mesures canoniques associées aux diverses fonctions harmoniques de la famille (ou encore celle des classes de fonctions sommables associées). Soit alors u une fonction positive de (HM,,) ; soit d'autre part (x,) un ensemble dénombrable partout dense de nombres réels positifs, et pour chaque a soit y —a,x + b, une droite d'appui de la courbe y—%(x) au point (x,, P(x,)). Comme P(u)— sup(a,u + b,), Œ(u)

est la borne supérieure des fonctions a,u + b, dans l’espace de Riesz (HM,).et la mesure canonique associée est sup(a, f+-b,)dy,—d(f)dr,. puisque la classe de (f) est la borne supérieure dans L” des classes des fonctions a, f + b, (*). Donc bu) (p) ne K(p, s) P(f(s))d>,(s). Enfin, si u est de signe variable, on appliquera la formule précédente

PE onaeneñlet{(p)— /.K(p. s)|f(s)|d,(s). et P(@)—d(u)=U,

u car [u| D '(U) implique |u << EP '(U), cette dernière fonction étant surharmonique.

La suffisance se démontre de la même façon, ou au moyen de

l'inégalité de Jensen, qui nous donne

S(u(p))< JLK(, 5) #(/()bd(s).

CorroraiRe. — L'espace de Banach ordonné (HM,,) est isomorphe à L'(1", »,). En effet, si ue(HM.), elle est quasi-bornée, donc de la forme u(p) — fr K(p, s)f(s) dy (s), où f est une fonction de puissance «°° sommable, et lu f. [f(s)l" d,(s).

(51) La borne supérieure d’une famille de fonctions de (HM,) est la plus petite majorante harmonique de son enveloppe supérieure.

(f?) En effet, toute fonction qui majore chaque a, f + b, presque partout majore d(/) presque partout. L